第七章 第六节 空间向量的概念与运算（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念与运算”核心模块，依据课标要求覆盖空间向量线性运算、数量积、方向向量与法向量等高考必考点，通过教材梳理构建知识网络，结合近五年高考真题分析明确“向量法证平行垂直”“异面直线夹角计算”等高频考点权重，归纳出共线共面判定、模长计算等常考题型，精准对接高考评价体系。 课件以“考点探究+课时测评”为特色，如典例2通过平行六面体模型训练空间向量数量积应用，培养学生数学思维，课时测评中正方体动点轨迹问题等真题变式，帮助学生掌握坐标法解题技巧。教师可依托分层训练和易错点分析（如法向量方向判断）指导复习，学生能提升空间观念与运算能力，高效冲刺高考。

第六节　空间向量的概念与运算 高三一轮复习讲义　湘教版 第七章　立体几何与空间向量 课程标准 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.　 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．　 4.理解直线的方向向量及平面的法向量．　 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．　 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 03 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.空间向量的基本概念 名称 定义 空间向量 在空间中，既有______又有______的量 相等向量 方向______且长度______的向量 相反向量 方向______、长度______的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量 共面向量 能平移到____________的向量 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 2.空间向量的有关定理 共面向量 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得______________ 空间向量 基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个____________，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的_____________：p＝xe1＋ye2＋ze3.上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则___________________． 把{e1，e2，e3}称为空间的一组___，e1，e2，e3叫作________．(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在________________下的坐标． p＝xe1＋ye2 不共面向量 实数倍之和 x＝x′，y＝y′，z＝z′ 基 基向量 基{e1，e2，e3} 微提醒　(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基．(2)一组基是指一个向量组，而一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 3.向量线性运算的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： (2)当a≠0时，由向量的数乘可知，若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则当a∥b时，(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)，其中λ∈R，即a∥b⇔____________________⇔____________________ . 运算 坐标表示 加法 a＋b＝_________________________ 减法 a－b＝________________________ 数乘 λa＝_______________，λ∈R (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) (x1，y1，z1)∥ (x2，y2，z2) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 4.向量的数量积及运算律 (1)数量积的定义：非零向量a，b的数量积a·b＝________________． (2)数量积的表示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则   向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝________________ a·b＝________________ 模 |a|＝__________ ＝_______________ 夹角的 余弦值 cos θ＝________ cos〈a，b〉＝_______________________ 垂直 a⊥b⇔a·b＝___ a⊥b⇔____________________． |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2 0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 5.空间直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 平面的法向量 (1)定义：如果非零向量v与直线l______，就称v为l的方向向量． (2)已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个__________，就可以确定这条空间直线的位置 (1)定义：如果非零向量n所在直线与平面α______，则称n为平面α的法向量． (2)给定一点A和一个向量n，那么过点A，且以向量n为法向量的平面完全确定 平行 方向向量 垂直 微提醒　直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量，且不唯一． 6.空间线面位置关系的判定 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(x1，y1，z1)，v2＝(x2，y2，z2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 l1⊥α1 v1∥n1 n1＝kv1 a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1，k为非零常数 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 l1∥l2 v1∥v2 v2＝kv1 x2＝kx1，y2＝ky1，z2＝kz1，k为非零常数 l1∥α1 v1⊥n1 v1·n1＝0 x1a1＋y1b1＋z1c1＝0 α1∥α2 n1∥n2 n2＝kn1 a2＝ka1，b2＝kb1，c2＝kc1，k为非零常数 常用结论 (1)三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． (2)四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔ (其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 自主检测 1.(多选)下列说法正确的是 A．空间中任意两个非零向量a，b共面 B．空间中模相等的两个向量方向相同或相反 C．若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＝0 D．若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α √ √ 2.已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则 A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 √ 因为n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，所以α，β相交但不垂直．故选C． 3.在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝c，则下列向量中与相等的向量是 A．－＋c B．＋c C．－＋c D．＋c √ ＝c＋＋c.故选A． 4.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_______． ＋2＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120˚＋0＋2×1×cos 120˚)＝2，所以＝，所以EF的长为. 5.(用结论)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______． 因为P，A，B，C四点共面，所以＋t＝1，所以t＝. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　空间向量的线性运算 自主练透 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以.所以－＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．故选B． 1.在空间四边形ABCD中，＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为 A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) √ 2.在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝c，则等于 A． B． C． D．－ √ ＝＋＋＝－＝－＝－.故选D． 3.(多选)如图所示，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设＝c，则下列等式成立的是 A． B．－a C． D． √ √ 对于A，利用向量的平行四边形法则 ，故A错误；对于B，利用向量的平行四边形 法则和三角形法则，得 －a，故B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以，故C错误；对于D，，故D正确．故选BD． 4.如图，已知四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，，AC1与平面EFG交于点M，则＝_______． 由题可设(0<λ<1)，因为，所以，因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝. 用已知向量表示某一向量的三个关键点 1.要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． 3.在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　　 规律方法 考点二　空间向量基本定理及其应用 师生共研 典例1 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； 解：由题知， 所以， 即， 所以共面． (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：由(1)知，共面且有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 规律方法 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 且同过点P 且同过点M 对空间任一点O， 对空间任一点O， 对空间任一点O，＋(1－x) 对空间任一点O，＋(1－x－y)　　 对点练1.(1)(多选)下列说法中正确的是 A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 √ √ 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，向量a，b共线，但不能得到|a|－|b|＝共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若因为＝1，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得＝λ，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确．故选CD． (2)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则λ＝________． ，即，整理得，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. －2 考点三　空间向量数量积及其应用 师生共研 典例2 如图，已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，底 面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD ＝120˚. (1)求线段AC1的长； 解：设＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120˚＝－1. 因为＝a＋b＋c， 所以＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝， 所以线段AC1的长为. (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； 解：因为＝b－c， 所以 ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2， ＝|b－c|＝ ＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)求证：AA1⊥BD. 证明：由(1)知＝b－a， 所以＝c·b－c·a＝－1＋1＝0， 即＝0， 所以AA1⊥BD. 空间向量数量积的三个应用 规律方法 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝ 2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 对点练2.(1)已知a＝(－1，3，1)，b＝(2，0，－4)，c＝(3，－2，3)，则a·(b＋c)＝________． －12　 因为b＋c＝(5，－2，－1)，所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12. (2)在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则＝_______． 因为P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，所以PO ⊥平面ABC，所以PO⊥AO，所以＝0， ＝··sin 60˚＝，故＝ 2＝2＝4－. 考点四　向量法证明平行、垂直 师生共研 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3， BC＝，点E和F分别为BC和A1C 的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； 典例3 证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，  所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E(0，0，0)，C，A(0，2，0)，B，A1，则F. ， ＝， ＝. 设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝－2，得y＝，z＝0，所以n＝. 因为×(－2)＋1××0＝0， 所以⊥n. 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 证明：因为EC⊥平面AEA1，所以＝为平面AEA1的一个法向量． 又EA⊥平面BCB1，所以＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量． 因为＝0，所以⊥，故平面AEA1⊥平面BCB1. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系； 第二步：建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素； 第三步：通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系； 第四步：根据运算结果解释相关问题． 规律方法 注意：运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外.　　 规律方法 对点练3.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90˚，PD⊥平面ABCD，AD＝1， AB＝，BC＝4. (1)求证：BD⊥PC； 解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC 于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在的直线分别 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，  则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B，C. 设PD＝a，则P(0，0，a)， 证明：＝， 因为＝3－3＝0，所以BD⊥PC. (2)设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求λ的值． 解：由题意知，， 因为，所以， ＋ ＝. 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， 则即 令z＝1，得x＝a，y＝0，所以n＝(a，0，1)． 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0， 所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0. 因为a≠0，所以λ＝. 返回 课 时 测 评 返回 1.已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝－2a，则x等于 A．(0，3，－6) B．(0，6，－20) C．(0，6，－6) D．(6，6，－6) √ 由b＝－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x等于 A．－6 B．6 C．－4 D．4 √ 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与相等的向量是 A．－ B．－ C． D． √ 因为BM＝2MC′，所以，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，＝＋＝.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 A．(1，－1，1) B． C． D． √ 对于选项A，·n＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C、D；对于选项B，有，所以·n＝0，因此B项正确．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(多选)给出下列四个说法，其中正确的是 A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．若a为直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量 C．若，则 D．在三棱锥P-ABC中，若＝0，则＝0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，当a＝－b时，满足a·b<0，但〈a，b〉＝π，不是钝角，故A错误；对于B，当λ＝0时，λa＝0，不是直线l的方向向量，故B错误；对于C，由，得3，则，所以，故C正确；对于D，过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，连接CO并延长，交AB于点M，连接AO并延长，交BC于点N，连接BO并延长，交AC于点T(图略)，由＝0，可得PA⊥BC，则AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC，则PB⊥AC，从而＝0，故D正确．故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则下列说法正确的是 A．向量c＝(－8，5，6)与a，b垂直 B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面 C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为 D．向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以解得即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos 〈a，b〉＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为，故D错误．故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝______． 因为m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(2，3，3)是平面α的一个法向量，l⊥α，所以m∥n，所以，解得a＝，所以a＋b＝2. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是________． 由题意，设，其中λ∈[0，1]，则·＝＝1－λ∈[0，1].因此的取值范围是[0，1]. [0，1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(10分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝c，试用向量法解决下列问题： (1)求的模长；(4分) 解：因为点E，F，G分别是棱BC，AD，AB的中点， 所以 －， 因此2＝(c2＋b2＋a2－2c·b＋2b·a－2c·a)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为正四面体的所有棱长为1， 所以2＝＝， 所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)求的夹角．(6分) 解：由(1)可知＝， 同理＝， 所以cos 〈〉＝ ＝ ＝＝0， 所以的夹角为90˚. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(10分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH；(4分) 证明：因为E，H分别是线段PA，AB的中点， 所以PB∥EH. 因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， 所以PB∥平面EFH. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)PD⊥平面AHF.(6分) 证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)． ＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， 所以＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. 所以⊥⊥， 所以PD⊥AF，PD⊥AH. 因为AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， 所以PD⊥平面AHF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.如图，在空间四边形OABC中，OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝，∠AOB＝，点M，N分别在OA，BC上，且OM＝2MA，BN＝CN，则MN＝ A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为OM＝2MA，BN＝CN，所以 .又OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝ ∠BOC＝，∠AOB＝，所以 ＝＝2，所以，所以＝.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知ABCD -A1B1C1D1为正方体，则下列说法中正确的是 A． B．＝0 C．向量与向量的夹角是60˚ D．正方体ABCD -A1B1C1D1的体积为 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由向量的加法运算得到，因为A1C＝A1B1，所以，故A正确；因为，AB1⊥A1C，所以＝0，故B正确；因为△ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝60˚，又A1B∥D1C，所以异面直线AD1与A1B所成的角为60˚，但是向量与向量的夹角是120˚，故C错误；因为AB⊥AA1，所以＝0，故＝0，故D错误．故选AB． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，点M是AC的中点，PB＝1，则的最小值为________． － 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 连接EC，如图，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则 PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，即有BC⊥PB.因为点 M是AC的中点，则＝， 又AE⊥PB，·[]＝≥－，当且仅当＝＝时，等号成立，所以的最小值为－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1C内的一个动点．若点E满足⊥，则的最大值为_________，最小值为__________． 2 －1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 如图，建立空间直角坐标系，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)， B(2，2，0)，设E(x，2，z)，x∈[0，2]，z∈[0，2]， 所以 ＝(x，2，z－2)，＝(x，0，z)，因为⊥，所以 ＝x2＋z(z－2)＝0，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0，2]， z∈[0，2]，则动点E的轨迹为以(0，2，1)为圆心，1为半径 的半圆，将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2，0)， M(0，1)，N(0，2)，所以＝，所以min ＝－1；显然当点E在点N处(即立体图形中的C1点)时，max＝，因此，，最小值为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(6分)(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，CD的中点，G为线段PC上的动点(含端点)，则下列说法正确的是 A．对任意点G，都有B，E，G，F四点共面 B．存在点G，使得A，E，G，F四点共面 C．对任意点G，都有AG⊥平面PBD D．存在点G，使得EG∥平面PAF √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，以点A为坐 标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，如图，设PA＝AB＝2，则A(0，0，0)，B(2， 0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)， F(1，2，0)，设＝(2λ，2λ，－2λ)，其中0≤λ≤1， 则＝(2λ，2λ，2－2λ)，，设，则解得m＝n＝λ＝，故存在点G，使得A，E，G，F四点共面，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 ，设， 所以解得故A错误； ，若 AG⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，则＝－4λ ＋4－4λ＝4－8λ＝0，解得λ＝，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 设平面PAF的法向量为n＝ ，则 即取x＝2，则n＝(2，－1，0)， ＝(2λ－1，2λ，1－2λ)．若EG∥平面PAF，则·n＝4λ－2－2λ＝2λ－2＝0，解得λ＝1，故当点G与点C重合时，EG∥平面PAF，故D正确．故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(10分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.  (1)求证：PA⊥平面ABCD；(3分) 证明：因为PA＝AD＝1，PD＝， 所以PA2＋AD2＝PD2，所以PA⊥AD. 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，说明理由．(7分) 解：存在．证明如下：以点A为原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E， 故， . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则x＝－1，z＝－2，则n＝(－1，1，－2)． 假设侧棱PC上存在一点F，且＝(－λ，－λ，λ)，使得BF∥平面AEC，即·n＝0. 又因为＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， 故·n＝(－1)×(－λ)＋1×(1－λ)＋(－2)×λ＝1－2λ＝0，解得λ＝， 所以存在点F，且点F为PC的中点时，使得BF∥平面AEC. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 空间向量的概念与运算 $