第六章 第一节 向量的概念及线性运算（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量的概念及线性运算，依据新课标要求覆盖向量的几何表示、线性运算及共线向量定理等高考核心考点，通过梳理近五年真题明确“线性运算几何意义”“共线向量参数求解”等高频题型，构建“概念辨析-运算推理-真题应用”的备考体系。 课件亮点在于“真题母题+多维探究”模式，以2022新高考Ⅰ卷向量线性运算题为例，通过“几何意义图解”“参数方程法”培养学生的运算能力和推理意识，总结共线向量定理应用的“三步骤”，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托课时测评精准定位学情，提升复习效率。

第一节　向量的概念及线性运算 高三一轮复习讲义　湘教版 第六章　平面向量、复数 课程标准 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.　 2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.　 3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.　 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.向量的有关概念 向量 既有______又有______的量 零向量 如果向量a的大小|a|=___，就称a是零向量，记作0.规定：所有的零向量______ 单位 向量 长度为___的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a，都可得到与它方向______的唯一单位向量e=a. 模 向量a的大小，也就是向量a的______，称为a的___，记作_____ 相等 向量 ____________、长度相等的向量称为相等向量，向量与相等，记作 相反 向量 长度相等、____________的向量a，b称为相反向量，记作b=－a.若b=－a，则________ 大小 方向 0 相等 1 相同 长度 模 |a| 方向相同 = 方向相反 a=－b 2.向量的线性运算 (1)向量的加法运算 ①向量加法的定义 定义：求_________的运算称为向量的加法. 零向量的加法性质：任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=0+a=___. 向量和 a ②向量求和的法则 三角形 法则 已知平面上两个非零向量a，b，在该平面上任取一点O，分别 作=a，=b，则向量叫作a与b的和，记作______，即 a+b=+=.将两个向量表示为首尾相接的有向线段来 求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则 平行四边 形法则 已知两个方向既不相同也不相反的非零向量a，b，从同一点O 出发作有向线段=a，=b，以为邻边作平行四边 形OACB，则对角线就是a与b的和，即=________ ③向量加法的运算律 加法交换律：a+b=______. 加法结合律：(a+b)+c=__________. a+b a+b b+a a+(b+c) (2)向量的减法运算 ①向量的减法的定义 定义：已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法，记为x=______，x称为b与a之差.减去一个向量a，等于加上它的______________，即b－a=_________. 作法：在平面内任取一点O，从同一点O出发作=a，=b，则向量=a－b，如图所示. b－a 相反向量－a b+(－a) ②向量减法的物理意义 等式=的物理意义就是：位置的改变量=____________________. 即向量等于终点向量减起点向量. 终点位置－起点位置 (3)向量的数乘运算 ①定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个______，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|=______. 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ=0或a=0时，λa=0a=___或λa=λ0=___. ②求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 向量 |λ||a| 同向 反向 0 0 ③数乘运算律： 设x，y为任意实数，a，b为任意向量，则有(x+y)a=______；x(ya)=_____；x(a+b)=_______. ④线性运算： 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是______.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=____________. xa+ya (xy)a xa+xb 向量 λμ1a±λμ2b 3.共线向量 (1)定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们称a，b共线或a，b平行，用符号______表示，记作_______.规定：零向量与所有的向量平行. (2)共线向量的判定 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b⇔存在实数λ，使得_____________. 微提醒　只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性. “∥” a∥b b=λa或a=λb 常用结论 (1)三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔=λ⇔=·+t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔=x+y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x+y=1). (2)向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则=. (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则++=0⇔P为△ABC的重心，=. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 自主检测 1.(多选)下列说法正确的是 A．|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关 B．若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b C．若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上 D．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 √ √ 2.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 与.故选C． 3.(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是 A．= B．= C．=－ D．= √ √ √ 4.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，=a，=b.下列命题正确的是 A．=a+b B．=－a+b C．=－a－b D．++=0 5.(用结论)若a，b满足|a|=3，|b|=5，则|a+b|的最大值为_______，最小值为_______.  √ √ √ 8　 2 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　平面向量的有关概念 自主练透 A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等.故选D． 1.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为 A． B． C． D． √ 2.(多选)下列命题中的真命题是 A．若|a|=|b|，则a=b B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a=b，b=c，则a=c D．a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b √ √ A不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B正确.因为=，所以||=||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||=||，∥方向相同，因此=；C正确.因为a=b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b=c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a=c；D不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.故选BC． 3.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充分条件是 A．a=－b B．a∥b C．a=2b D．a∥b且|a|=|b| √ 因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且=，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．当a=2b时，==，故a=2b是=成立的充分条件.故选C． 4.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是 A．= B．= C．= D．= √ 根据相等向量的定义，分析可得不平行，不平行，所以==均错误，平行，但方向相反，故不相等，只有方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以=.故选D． 向量有关概念的四个关注点 1.平行向量就是共线向量，二者是等价的. 2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模可以比较大小. 3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. 4.是与a同方向的单位向量. 规律方法 考点二　平面向量的线性运算 多维探究 典例1 角度1　向量加、减法的几何意义 (1)已知在边长为2的等边三角形ABC中，向量a，b满足=a，=a+b，则|b|= A．2 B．2 C．2 D．3 √ 如图所示，设点D是AC的中点，由题可知b==+=2，所以|b|=2||=2=2.故选C． (2)若向量a≠0，b≠0，且|a|=|b|=|a－b|，则向量a与向量a+b所在直线的夹角是_____(用弧度表示).  设=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，  则a+b=，a－b=.因为|a|=|b|=|a－b|，所以||=|| =||，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA=.在菱形 OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a+b所在直线的夹角为. 利用向量加、减法的几何意义解决问题的方法 1.根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题. 2.平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解. 规律方法 典例2 角度2　向量的线性运算 (1)(2025·湖北武汉高三四调)正六边形ABCDEF中，用和表示，则= A．－+ B．－+ C．－+ D．－+ √ 设正六边形边长为2，如图，设AD，EC交于点O，有OD=1， AO=3，则=+=(+)+(+)=－+. 故选B． (2)(多选)(2025·河北邯郸模拟)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB=2CD=2BC，则下列结论正确的是 A．=2 B．||=2|| C．=+ D．=+ √ √ √ 由题意，显然△APB∽△CPD，故有===，即AP=2PC，PB=2PD，则=2，故A正确；又四边形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即||=2||，故B正确；在△ABD中，=+=+ =+()=+，故C正确；又== =+，所以D错误.故选ABC． 平面向量的线性运算的求解策略 规律方法 典例3 角度3　根据向量线性运算求参数 在△ABC中，=2=2，P为线段DE上的动点，若=λ+μ，λ，μ∈R，则λ+μ等于 A．1 B． C． D．2 √ 如图所示，由题意知，==，设=x，所以=+=+x=+x=x+ =x+，所以μ=x，λ=，所以λ+μ=+x=. 　　与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值. 规律方法 对点练1.(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则= A．3m－2n B．－2m+3n C．3m+2n D．2m+3n √ =+=+3=+3()=－2+3，所以=－2m+3n.故选B． (2)(2024·江西上饶模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC=2CM，连接AM，点N为AM上一点且=，若=λ+μ，则λ+μ= A． B． C．－ D．－ √ 由题意，知===+×=+= －+，又=λ+μ，所以λ=－，μ=，则λ+μ=.故选A． (3)(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a+b|=1 ，则|a－b|= _______.  法一：如图，四边形OACB 为平行四边形，设=a，=b，利用平行四边形法则得=a+b，因为|a|=|b|=|a+b|=1，所以△OAC 为正三角形，所以|a－b|=||=2××|a|= . 法二：因为a，b为单位向量，且|a+b|=1，所以(a+b)2=1 ，所以1+1+2a·b=1，所以a·b=－，所以|a－b|2=a2+b2－2a·b=1+1－2× =3，所以|a－b|= . 考点三　共线向量定理的应用 师生共研 设两向量a与b不共线. (1)若=a+b，=2a+8b，=3.求证：A，B，D三点共线； 证明：因为=a+b，=2a+8b，=3， 所以=+=2a+8b+3=2a+8b+3a－3b=5=5，所以共线. 又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线. 典例4 (2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. 解：因为ka+b与a+kb共线， 所以存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb)， 即ka+b=λa+λkb， 所以(k－λ)a=(λk－1)b. 因为a，b是不共线的两个向量， 所以k－λ=λk－1=0，所以k2－1=0，所以k=±1. (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值? 解：因为ka+b与a+kb反向共线， 所以存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb)(λ<0)， 所以所以k=±1. 又λ<0，k=λ，所以k=－1. 故当k=－1时，两向量反向共线. 变式探究 注意：证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 规律方法 对点练2.(1)若a，b是两个不共线的向量，已知=a－2b，=2a+kb，=3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于 A．－1 B．1 C． D．2 √ 由题意知，==a－b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得=λ，即a－2b=λ[a－(k+1)b]，整理得(1－λ)a=[2－λ(k+1)]b，因为向量a，b不共线，所以解得λ=1，k=1.故选B． (2)(2025·四川成都检测)在△ABC中，=，P是线段BD上一点，若=m+，则实数m的值为 A． B． C． D． √ 因为在△ABC中，=，所以=m+=m+，因为P是线段BD上一点，所以m+=1，则m=.故选C． 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则= A．3m－2n B．－2m+3n C．3m+2n D．2m+3n √ 因为点D在边AB上，BD=2DA，所以=2，即=2，所以= 3－2=3n－2m=－2m+3n.故选B． 返回 教材呈现 (湘教版必修二P21T6)如图，在△OAB中，C为直线AB上一 点，且=2.求证：=.  点评：高考题与教材习题都是考查向量的线性运算，设 问的本质也是一样，涉及相同的知识点，相似度极高. 课 时 测 评 返回 1.化简2(a－3b)－3(a+b)的结果为 A．a+4b B．－a－9b C．2a+b D．a－3b √ 2－3=2a－6b－3a－3b=－a－9b.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.已知a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是 A．a+b=0 B．a=b C．a与b反向共线 D．存在正实数λ，使a=λb √ 因为a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则a与b同向共线.故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知=a+5b，=－2a+8b，=3，则 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 √ =+=－2a+8b+3=a+5b=，又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，=2，且=λ+μ，则λ+μ等于 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 因为=+=4=4×(+)=2+2，所以λ=μ=2，所以λ+μ=4.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且++=0，则△ABC的内角A等于 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 由++=0，得+=.又O为△ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，知四边形OACB为菱形，且∠CAO=60°，因此∠CAB=30°.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为 A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ √ 由于c与d反向共线，则存在实数k使c=kd(k<0)，于是λa+b=k[a+(2λ－1)b]，整理得λa+b=ka+(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以λ=k，且2λk－k=1，整理得2λ2－λ－1=0，解得λ=1或λ=－，又因为k<0，所以λ<0，故λ=－.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE=2DE，则下列结论中正确的有 A．= B．+= C．= D．=+ √ √ 因为四边形ABCD为平行四边形，所以=，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则，可得+=，故B正确；根据向量的减法法则可得=，故C错误；由题意知，=+=+ =+，故D正确.故选ABD． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.设向量a，b不平行，向量ta+b与a+3b平行，则实数t的值为________.  因为向量ta+b与a+3b平行，所以存在实数k使得ta+b=k(a+3b)，即(t－k)a=(3k－1)b，因为向量a，b不平行，所以解得t=k=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(知识融合)已知向量=·losin θ+·log2cos θ，若A，B，C三点共线，则tan θ=________.  由题意，向量=·losin θ+·log2cos θ，又A，B，C三点共线，则由共线定理知losin θ+log2cos θ=1，即losin θ－locos θ=1，即lo=1，可得=，即tan θ=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.在△ABC中，点D在线段AC上，且满足||=||，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足=x+y，则+的最小值为_________.  由题意知点D满足=，故=x+y=x+3y，由点Q，B，D三点共线可得x+3y=1，x>0，y>0，则+=· =4++≥4+2，当且仅当=，即x=，y=时等号成立. 4+2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是 A．||=||=|| B．++=0 C．=+ D．S△MBC=S△ABC √ 如图，M为△ABC的重心，则++=0，故A错误， B错误；=+=+=+()=+ ，故C错误；由DM=AD，得S△MBC=S△ABC，故D正 确.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.已知在▱ABCD中，点E为CD的中点，=m=n(mn≠0)，若∥，则= A．1 B．2 C． D．－2 √ 由题意设=λ，则=+=－m+n=λ=λ，即－m+n=－λ+λ，所以=2.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 A．若=，则=+ B．若=2－3，则点M，B，C三点共线 C．若点M是△ABC的重心，则++=0 D．若=x+y且x+y=，则△MBC的面积是△ABC面积的 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，=+=+=+=+，故A正确；对于B，假设点M，B，C三点共线，则=λ，即=λ，整理得=－λ+(1+λ)·，故当λ=－2时，即=2，与条件中的=2－3不一致，所以点M，B，C三点不共线，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的 重心，则点M在AH上，且MA=2MH，则+=2，则 ++=0，故C正确；对于D，由于=x+y， 且x+y=，所以3=3x+3y，其中3x+3y=1，不妨设=3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(2025·贵州贵阳模拟)在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，若=+μ，则实数μ的取值范围是_________.  由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.因为点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，所以=λ(0<λ<1).因为=+，且=+μ=+2μ=+，所以=1，即μ=.因为0<λ<1，所以0<μ<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)(2025·湖北武汉模拟)在△ABC中，点D满足=，当点E在线段AD上移动时，记=λ+μ，则 A．λ=2μ B．λ=μ C．(λ－2)2+μ2的最小值为2 D．(λ－2)2+μ2的最小值为 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由=，得=(+).又点E在线段AD上移动，设=k=k(+)=k+k，0≤k≤1，所以λ=k，μ=k，故A错误，B正确；+μ2=+=k2－2k+4=+2，当k=1时，有最小值，故C错误，D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得==r，当r=________时，B，M，N三点共线.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 如图，连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由 正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中 点，且AG=a，则=+=+，又==r (r>0)，则==，故=+，即 =+，若B，M，N三点共线，由共线定理知+=1，解得r=或－(舍). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 向量的概念及线性运算 $