7.6 空间向量的概念与运算（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第七章 立体几何与空间向量 01 [课标要求] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．　 2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　 3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．　 4.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理． 7．6　空间向量的概念与运算 01 03 02 04 题型一 题型三 题型二 题型四 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十八) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十八) 空间向量的概念与运算 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 相等 相等 相反 【必备知识】 1．空间向量的有关概念 名称 概念 零向量 长度(模)为 的向量 单位向量 长度(模)为 的向量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 长度 而方向 的向量 0 1 相同 唯一 xa＋yb 名称 概念 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量 共面向量 平行于同一个 的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得 ． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ ． 平行或重合 平面 b＝λa (3)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组{x，y，z}，使得p＝ ． 3．空间向量的数量积及坐标运算 (1)数量积 两个非零向量a，b的数量积：a·b＝ ． xa＋yb＋zc |a||b|cos〈a，b〉 (2)空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 类型 向量表示 坐标表示 数量积 a·b 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ＝0 模 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3 ⊥ 4.用空间向量研究直线、平面的位置关系 (1)直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 设点A,B是直线l上 的任意两点，称为直线l的方向向量，一条直线的方向向量有 个 平面的法向量 直线l 平面α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量 不重合 无数 无数 u1·u2 u⊥n u·n u∥n u＝λn (2)空间中直线、平面位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量 l1∥l2 ⇔ ⇔∃λ∈R，使得 l1⊥l2 ⇔ ⇔ ＝0 u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量 l∥α ⇔ ⇔ ＝0 l⊥α ⇔ ⇔∃λ∈R，使得 n1，n2分别是平面α，β的法向量 α∥β ⇔ ⇔∃λ∈R，使得 α⊥β ⇔ ⇔ ＝0 n1∥n2 n1＝λn2 n1⊥n2 n1·n2 u1∥u2 u1＝λu2 u1⊥u2 【必记结论】 1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　　 ) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　　 ) (3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＝0.(　　 ) (4)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．(　　 ) √ × √ × 2．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　 ) A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 解析：选C.对于A选项，b＝(b＋c)＋(b－c)，A共面； 对于B选项，a＝(a＋b)＋(a－b)，B共面； 对于C选项，a＋b，a－b，c不共面； 对于D选项，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，D共面． 3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，则＝(　　 ) A．－a－b＋ B．－a－b＋ C．a＋b＋ D．a＋b＋ 解析：选A.因为，所以， 因为， 所以 －b－a. 4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 解析：2＝＝2＝＋2＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以＝，所以EF的长为. 答案： 5．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________． 解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋1×m＝0，解得m＝10. 答案：10 题型一　空间向量的运算 【例1】　(1)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D.由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4)． 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得， 所以解得所以x＋y＝5. (2)(多选)如图所示，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设＝c，则下列等式成立的是(　　 ) A． 　 B．－a C． 　 D． 解析：选BD.对于A，，故A错误； 对于B， －a，故B正确； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 思维升华　空间向量线性运算中的三个关键点 【对点练习】　1.(1)已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝－2a，则x等于(　　 ) A．(0，3，－6) B．(0，6，－20) C．(0，6，－6) D．(6，6，－6) 解析：选B.由b＝－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)． (2)(2024·北京海淀区质检)在三棱柱A1B1C1­ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝c，则等于(　　 ) A． B． C． D．－ 解析：选D. ＝－ ＝－． 题型二　空间向量基本定理的应用 【例2】　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　 ) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 解析：选CD.由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，且＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得＝λ，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． (2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝. ①判断三个向量是否共面； ②判断点M是否在平面ABC内． 解：①由已知得， 所以＝＋， 即 所以共面． ②由①知共面且过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 思维升华　应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 对空间任一点O， 对空间任一点O， 对空间任一点O， ＋(1－x) 对空间任一点O， ＋(1－x－y) 【对点练习】　2.(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则λ等于(　　 ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选B.， 即， 整理得， 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. (2)(2024·金华模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，且满足＋(1－x－y)，则的最小值是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.因为＋(1－x－y)， 由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面， 即点E在平面ACD1上，所以 的等边三角形， 则2×sin ，S△ACD＝， 由等体积法得＝ ×1，解得d＝，所以. 题型三　空间向量的数量积及应用 【例3】　如图，已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点． (1)求证：EG⊥AB； (2)求EG的长； (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈c，b〉＝〈a，c〉＝60°， 所以， 所以＝·a＝ cos 60°－2 ＝×12＝0， 所以⊥，即EG⊥AB. (2)因为 所以＝2＝(－2b·a－2c·a＋2c·b＋a2＋b2＋c2) ＝＝， 所以＝，即EG的长为. (3)由题意得△ABC，△ACD，△ABD均为等边三角形且边长为1， 所以AG＝EC＝， 又(b＋c)，＝＝b－， 所以(b＋c)·＝ cos 60° ＝， 设异面直线AG和CE所成角为θ， 则cos θ＝＝， 所以异面直线AG和CE所成角的余弦值为. 思维升华　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【对点练习】　3.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 解：(1)设＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. 因为＝a＋b＋c， 所以＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝， 所以线段AC1的长为. (2)因为＝b－c， 所以＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋1－4＝－2， ＝|b－c|＝ ＝ ＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：由(1)知＝b－a， 所以＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即＝0， 所以AA1⊥BD. 题型四　利用空间向量证明平行、垂直 【例4】　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，2AB＝2AD＝CD＝4，AD⊥CD，AB∥CD，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：BC⊥平面BDE. 证明：(1)法一(几何法)　取DE中点N，连接AN，MN， 由三角形中位线性质可得MN∥CD且MN＝CD， 又因为AB∥CD且AB＝CD， 所以MN∥AB且MN＝AB， 所以四边形ABMN是平行四边形， 所以BM∥AN， 又AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF， 所以BM∥平面ADEF. 法二(向量法)　因为平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD， 所以DE⊥平面ABCD， 又DC⊂平面ABCD，所以DE⊥DC， 如图，以D为原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则B(2，2，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，E(0，0，2)，M(0，2，1)， ＝(－2，0，1)， 易知n′＝(0，1，0)为平面ADEF的一个法向量， 因此·n′＝0，所以⊥n′， 又BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF. (2)法一(几何法)　因为BD＝2CD＝4， 所以BD2＋BC2＝CD2，所以BD⊥BC， 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， DE⊥AD，DE⊂平面ADEF， 所以DE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC， 又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以BC⊥平面BDE. 法二(向量法)　由(1)可得＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， ＝(－2，2，0)， 设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z), 则取x＝1，得y＝－1，z＝0， 所以n＝(1，－1，0)是平面BDE的一个法向量， 因为＝－2n，所以BC⊥平面BDE. 【对点练习】　4.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝AB，PB⊥AC. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：在△ABC中， 因为BC＝2AB，AC＝AB， 所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB， 又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB， 又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD. (2)假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB， 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， PH⊥AB，PH⊂平面PAB， 所以PH⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D，P， 则＝＝＝ ＝， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， 则 取n1＝. 设，其中0≤λ≤1. 则＝， 连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC， 平面PAC∩平面BEQF＝EF， 所以AC∥EF. 取与同向的单位向量j＝(0，1，0)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量， 则 取n2＝. 由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2， 则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝. 故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，此时. 【基础巩固题】 1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)等于(　　 ) A．18 B．－18 C．3 D．－3 解析：选B.因为b＋c＝(－2，－2，4)， 所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18. 2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2， 又|a|＝＝， 所以cos〈a，b〉＝， 又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　 ) A．(1，－1，1) B． C． D． 解析：选B.对于选项A，＝(1，0，1)，·n＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有，所以·n＝0，故B正确． 4．如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　 ) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：选B.∵， ∴， ∵⊥⊥，∴ ＝cos (180°－120°)＝1×2×＝1. ∴＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴＝3. 5．(2024·陕西西安模拟)已知点P在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1的表面上运动，则的最大值为(　　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C.取AB中点O，连接PO，如图， 则＝·＝－1， 当P在正方体表面上运动时，运动到D1或C1处时，PO最大， 所以max＝D1D2＋DA2＋AO2＝9， 所以的最大值为8. 6．(多选)给出下列四个说法，其中正确的是(　　 ) A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．若a为直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量 C．若，则 D．在三棱锥P­ABC中，若＝0，则＝0 解析：选CD.对于A，当a＝－b时，满足a·b<0，但〈a，b〉＝π，不是钝角，故A错误； 对于B，当λ＝0时，λa＝0，不是直线l的方向向量，故B错误； 对于C，由，得3，则，所以，故C正确； 对于D，过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，连接CO并延长，交AB于点M，连接AO并延长，交BC于点N，连接BO并延长，交AC于点T(图略)，由＝0，可得PA⊥BC，则AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC，则PB⊥AC，从而＝0，故D正确． 7．(多选)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则下列说法正确的是(　　 ) A．向量c＝(－8，5，6)与a，b垂直 B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面 C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为 D．向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8) 解析：选BC.对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以解得即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos 〈a，b〉＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为×(3，0，4)＝，故D错误． 8．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________． 解析：因为l⊥α，所以m∥n，所以，解得a＝，所以a＋b＝2. 答案：2 9．(人教A版选择性必修一P48)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 E，F，C(0，1，0)，G. (1)＝＝， 则＋×0＝0，∴⊥，∴EF⊥CF. (2)设EF与CG所成角为θ，＝， 则cos θ＝＝， 所以EF与CG所成角的余弦值为. (3)CE＝. 10．如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明：(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点， ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)． ＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， ∴＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥⊥，∴PD⊥AF，PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， ∴PD⊥平面AHF. 【综合应用题】 11．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　 ) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 解析：选A.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)， B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)， ＝(2，0，2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，0)． 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一 个法向量为n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 12．(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　 ) A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1­A1D1M的体积不变 解析：选ACD.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A1(3，0，3)，D1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)， 设M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z∈(0，3)，＝(3，y，－3)， ＝(0，3－y，z)，而D1M⊥MN， 则＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y)． 对于A，连接A1M，＝(0，y，－3)，则＝y(3－y)－3z＝0， 则⊥，MN⊥A1M，故A正确； 对于B，＝(3，y－3，0)，＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0， 即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误； 对于C，＝(0，0，z)，则线段BN的长度＝z＝ ，当且仅当y＝时等号成立，故C正确； 对于D，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1 的距离均为3，而V三棱锥C1­A1D1M＝V ，所以三棱锥C1­A1D1M的体积为定值，故D正确． 13．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，，AC1与平面EFG交于点M，则＝________． 解析：由题图知，设(0＜λ＜1)， 由已知，得， 所以. 因为M，E，F，G四点共面， 所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝. 答案： 14．如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，点M是AC的中点，PB＝1，则的最小值为________． 解析：连接EC，如图， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，即有BC⊥PB. 因为点M是AC的中点，则＝， 又AE⊥PB，· ＝ ≥－， 当且仅当＝＝时，等号成立，所以的最小值为－. 答案：－ 15．如图，已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则＝________． 解析：如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO， 则O在AE上且AO＝2OE， 所以 ＝＝. 故， 答案： 由于S，M，N，O四点共面， 于是＝1， 因此. 16．如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC， 连接A1O，如图所示， 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， 所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AO cos 60°＝3， 所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO， 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABCD， 又BO⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD， 所以A1O⊥BO，A1O⊥CO， 所以以O为原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B，C(0，1，0)，D， A1，C1， 由于＝＝， ＝0×＋1×0＋×0＝0， 所以⊥，即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1， 设，P(x，y，z)， 则(x，y－1，z)＝λ， 从而有P， 则＝， 又＝(0，2，0)，＝， 设平面DA1C1的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则则 取n1＝(1，0，－1)， 因为BP∥平面DA1C1，所以n1⊥， 即n1·λ＝0，解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1. $