第九章 第三节 一元线性回归模型及其应用（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元线性回归模型及其应用，涵盖相关系数、最小二乘法、回归方程构建与预测等高考核心考点，按“概念辨析-统计计算-模型应用”逻辑架构知识点，通过自主检测梳理基础，考点分类讲解（相关性判断、系数计算、回归应用）突破难点，配合真题再现和课时测评，形成系统复习链条。 讲义突出数学眼光、思维与语言的融合，如通过散点图观察数据相关性培养直观想象，用最小二乘法推导回归方程发展逻辑推理，设置分层练习（基础巩固、能力提升）和变量替换转化非线性模型等活动，帮助学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第三节　一元线性回归模型及其应用 【课程标准】　1.了解样本相关系数的统计含义.　2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.　3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 1.成对数据的统计相关性 (1)相关关系：如果两个变量所取的值之间存在着既有某种规律性而又不十分确定的关系，称这两个变量之间存在着相关关系. (2)散点图：由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图. (3)线性相关：如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为线性相关. (4)相关关系的分类：正相关和负相关. (5)如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则它们就是函数关系. 2.相关系数 (1)rxy===. (2)性质：①rxy的取值范围是[-1，1].当0<rxy≤1时，称变量x和变量y正相关；当-1≤rxy<0时，称变量x和变量y负相关；当rxy=0时，称变量x和变量y不相关. ②|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近. ③|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低. ④rxy具有对称性，即rxy=ryx. ⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量，rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系. 学生用书⬇第266页 ⑥当rxy>0.8时，y有随着x的增加而增加的趋势，这时我们认为变量x和变量y是高度正相关的；当rxy<-0.8时，y有随着x的增加而减少的趋势，这时我们称变量x和变量y是高度负相关的. 3.一元线性回归模型 (1)找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程. (2)如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y=+x来近似刻画，则称y=+x为y关于x的一元线性回归方程，其中称为回归系数. (3)最小二乘法：使“竖直距离平方和最小”的方法叫作最小二乘法.用最小二乘法得到的回归直线方程为=x+，其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率.其中==-. 【常用结论】 (1)回归直线过样本中心(). (2)求时，常用公式=. (3)回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误. 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．相关关系是一种非确定性关系 B．散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段 C．回归直线=x+至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点 D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 答案：ABD 2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) 答案：D 解析：观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D． 3.对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　) A．-0.82 B．0.78 C．-0.69 D．0.87 答案：D 解析：由样本相关系数的绝对值|r|越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r=0.87的绝对值最大.故选D． 4.(用结论)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的回归方程可能是(　　) A．=0.4x+2.3 B．=2x-2.4 C．=-2x+9.5 D．=-0.3x+4.4 答案：A 解析：由题意，x与y正相关，故排除C，D，将()代入回归方程检验得A正确.故选A． 考点一　成对数据的相关性自主练透 1.(2023·上海卷)已知某校50名学生的身高与体重的散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 答案：C 解析：由题图可知，身高越高的体重不一定就越重或越轻，但总体上来说，样本学生的身高和体重之间具有明显的相关性，个子高的学生往往更重一些，所以身高与体重成正相关.故选C． 2.已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据： x 3 4 5 6 7 y 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3 根据表格中的数据求得经验回归方程为=x+，则下列说法中正确的是(　　) A．>0，>0 B．>0，<0 C．<0，>0 D．<0，<0 答案：B 解析：由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以<0.又=×=5，=×(3.5+2.4+1.1-0.2-1.3)=1.1，即1.1=5+，所以=1.1-5>0.故选B． 3.(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 学生用书⬇第267页 答案：A 解析：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A． 4.对两个变量x，y进行线性相关分析，得到样本相关系数r1=0.899 5，对两个变量u，v进行线性相关分析，得到样本相关系数r2=-0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 答案：C 解析：依题意，得r1=0.899 5，r2=-0.956 8，所以x，y正相关，u，v负相关，|r1|<|r2|<1，所以u，v的线性相关性较强.故选C． 判定两个变量相关性的方法 1.画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关. 2.样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强. 3.回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关. 考点二　样本相关系数师生共研 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下： x(千克) 2 4 5 6 8 y(千克) 300 400 400 400 500 (1)由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合)； (2)求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 附：相关系数r=， 经验回归方程=+x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ==-≈3.16. 解：(1)由已知数据可得==5， ==400， 所以 (xi-)(yi-)=(-3)×(-100)+(-1)×0+0×0+1×0+3×100=600， ==2， ==100， 所以样本相关系数r===≈0.95>0.75. 所以可用经验回归模型拟合y与x的关系. (2)===30， =400-5×30=250， 所以经验回归方程为=30x+250. 当x=15时，=30×15+250=700(千克)， 即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克. 样本相关系数r的统计含义及应用 1.由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关. 2.可根据|r|的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测. 对点练1.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得xi=60，yi=1 200，(xi-)2=80，(yi-)2=9 000，(xi-)(yi-)=800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)； 学生用书⬇第268页 (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：样本相关系数r=≈1.414. 解：(1)由已知得样本平均数=yi=60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000. (2)样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数r===≈0.94. (3)分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样. 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 考点三　回归模型及其应用多维探究 角度1　回归模型的辨析 (1)一组实验数据构成的散点图如图，以下函数中适合作为y 与x 的回归方程模型的是(　　) A．=ax+b B．=ax2+c C．=blogax+c D．=bax+c (2)(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i=1，2，…，20) 得到如图所示的散点图. 由此散点图，在10 ℃ 至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是(　　) A．y=a+bx B．y=a+bx2 C．y=a+bex D．y=a+bln x 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)由散点图中各点的变化趋势知，各点不在一条直线上，排除A；由散点图中各点呈单调递减趋势，排除B；又图中点的横坐标有正有负，故排除C．故选D． (2)由散点图可以看出，随着温度x 的增加，发芽率y 增加到一定程度后，变化率越来越慢，符合对数型函数的图象特征.故选D． 角度2　一元线性回归模型 某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表： x 20 25 30 35 40 y 167 160 150 143 130 (1)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程=x+； (2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离. 参考公式：经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为===-. 解：(1)由题意可得==30，==150， xiyi=20×167+25×160+30×150+35×143+40×130=22 045， =202+252+302+352+402=4 750， 所以===-1.82， 则=-=150+1.82×30=204.6， 故所求经验回归方程为=-1.82x+204.6. (2)当x=50时，=-1.82×50+204.6=113.6，即年龄为50岁的人的最大可视距离约为113.6米. 运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤 第一步：确定研究对象，明确哪个是自变量，哪个是因变量； 第二步：依据散点图或计算其相关系数，判断变量间的线性相关性； 第三步：若线性相关，则运用最小二乘法建立一元线性回归方程； 第四步：根据建立的一元线性回归方程进行预测. 角度3　非线性回归模型 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2013年以来的乡村经济收入y(单位：亿元)进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值1-10分别对应2013年至2022年. 学生用书⬇第269页 (1)若用模型①y=a+bx，②y=a+b拟合y与x的关系，其样本相关系数分别为r1=0.851 9，r2=0.990 1，试判断哪个模型的相关程度更强? (2)根据(1)中相关程度更强的模型，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并估计该县2026年的乡村经济收入(精确到0.01). 参考数据：ti==ti，≈3.606，≈3.742，≈3.873. (xi-)2 (ti-)2 (xi-)·(yi-) (ti-)·(yi-) 72.65 2.25 126.25 4.52 235.48 49.16 参考公式：对于一组数据，…，(tn，yn)，回归方程=t+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==-. 解：(1)因为r2更接近1，所以y=a+b的相关程度更强. (2)根据题中所给数据得=+t， 所以==≈10.88， 则≈72.65-10.88×2.25=48.17， 所以非线性回归方程为=48.17+10.88.2026年的年份代码为14， 当x=14时，=48.17+10.88×≈88.88， 所以估计该县2026年的乡村经济收入为88.88亿元. 有些非线性回归分析问题并不给出回归公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题，使之得到解决. 其一般步骤为： 对点练2. “绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 (1)请根据散点图判断，y=bx+a与y=cx2+d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测2025年该新能源汽车的年销售量.(精确到0.1) 参考数据：=22.72，(wi-)2=374，(wi-)(yi-)=851.2(其中wi=). 解：(1)根据散点图可知，y=cx2+d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. (2)令w=x2，则=w+. 易知=11，==≈2.28， =-≈22.72-2.28×11=-2.36， 所以=2.28w-2.36， 所以y关于x的经验回归方程为=2.28x2-2.36. 令x=6，得=79.72≈79.7. 故预测2025年该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 学生用书⬇第270页 [真题再现]　(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 根部横截面积xi 材积量yi 1 0.04 0.25 2 0.06 0.40 3 0.04 0.22 4 0.08 0.54 5 0.08 0.51 6 0.05 0.34 7 0.05 0.36 8 0.07 0.46 9 0.07 0.42 10 0.06 0.40 总和 0.6 3.9 并计算得=0.038，=1.615 8，xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r=≈1.377. 解：(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积===0.06， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量===0.39. (2)(xi-)(yi-)=xiyi-10　=0.013 4， (xi-)2=-10=0.002， (yi-)2=-10=0.094 8， 所以 ==≈0.01×1.377=0.013 77， 所以样本相关系数r=≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以=， 所以Y==1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. [教材呈现]　(湘教版选择性必修二P184例3)一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如下： 零件个数x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)y与x之间是否线性相关? (2)如果y与x之间线性相关，求回归直线方程. (3)据此估计加工110个零件所用的时间. 点评：该高考题考查相关系数的求法，考查计算能力，与教材中例题相似度较高. 课时测评77　一元线性回归模型及其应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-7，每小题7分，共49分) 1.对变量x，y由观测数据得散点图①，对变量y，z由观测数据得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　) A．变量x与y负相关，x与z正相关 B．变量x与y负相关，x与z负相关 C．变量x与y正相关，x与z正相关 D．变量x与y正相关，x与z负相关 答案：B 解析：由散点图可知，变量x与y负相关，变量y与z正相关，所以x与z负相关.故选B． 2.已知两个变量具有线性相关性，现通过最小二乘法求回归方程=x+，将已知数据代入公式Q=(yi-bxi-a)2计算后得到的代数式为3a2+13b2+12ab-2b+3，使上述代数式取值最小的a，b的值即为回归方程的系数，则回归方程为(　　) A．=-x+2 B．=-x-2 C．=x+2 D．=x-2 答案：D 解析：3a2+13b2+12ab-2b+3=3(a+2b)2+(b-1)2+2，当即时上式最小，故=x-2.故选D． 3.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶量x(单位：克)与食客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y=ekx-c来拟合y与x的关系，根据以下数据： 茶叶量x/克 1 2 3 4 5 ln(100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的回归方程为(　　) A．=e0.043x+4.291 B．=e0.043x-4.291 C．=e0.043x+4.291 D．=e0.043x-4.291 答案：A 解析：由表中数据可知==3，设z=ln(100y)，则z=kx-c，=×(4.34+ 4.36+4.44+4.45+4.51)=4.42.(xi-)(zi-)=(-2)×(-0.08)+(-1)×(-0.06)+0+1×0.03+ 2×0.09=0.43，(xi-)2=(-2)2+(-1)2+0+ 12+22=10，所以k===0.043，所以c=0.043×3-4.42=-4.291，故ln(100y)=0.043x+4.291，即=e0.043x+4.291.故选A． 4.(多选)已知变量x，y之间的经验回归方程为=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间成负相关关系 B．可以预测，当x=20时，=-3.7 C．m=4 D．该经验回归直线必过点(9，4) 答案：ABD 解析：由-0.7<0，得变量x，y之间成负相关关系，故A正确；当x=20时，=-0.7×20+10.3=-3.7，故B正确；由表格数据可知=×(6+8+10+12)=9，=×(6+m+3+2)=，则=-0.7×9+10.3，解得m=5，故C错误；由m=5，得==4，所以该经验回归直线必过点(9，4)，故D正确.故选ABD． 5.(多选)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高(单位：cm)和臂展(单位：cm)进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176 cm，根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的回归方程为=1.2v-34，则下列结论正确的是(　　) A．这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．这10名志愿者的身高和臂展呈负相关 C．这10名志愿者臂展的平均值为176.2 cm D．根据回归方程可估计身高为160 cm的人的臂展为158 cm 答案：AD 解析：对于A，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于B，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B错误；对于C，因为这10名志愿者身高的平均值为176 cm，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176-34=177.2(cm)，故C错误；对于D，若一个人的身高为160 cm，则由回归方程=1.2v-34，可得这个人的臂展的估计值为158 cm，故D正确.故选AD． 6.某智能机器人的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示： 广告费用x(万元) 2 3 5 6 销售额y(万元) 28 31 41 48 根据此表可得回归方程为=5x+，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为 　　　　万元.  答案：57 解析：由表格，得==4，==37，所以37=5×4+，即=17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8+17=57(万元). 7.已知变量x和变量y的一组随机观测数据为(2，30)，(4，40)，(5，60)，(6，50)，(8，70).如果y关于x的回归方程是=6.5x+17.5，那么当x=5时，残差等于　　　　.  答案：10 解析：由已知条件可知，当x=5时，观测值为60，将x=5代入回归方程=6.5x+17.5，可得=6.5×5+17.5=50，所以残差等于60-50=10. 8.(14分)(2025·河南郑州名校联盟改编)某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y(cm)与身高x(cm)之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： x 159 165 170 176 180 y 67 71 73 76 78 (1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(6分) (2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01).(8分) 参考数据：xiyi=62 194，≈8.6， ≈16.8. 参考公式：相关系数r=，回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==-. 解：(1)由表中的数据和附注中的参考数据得 xi=850，=170，yi=365，=73， =112+52+02+62+102=282， ≈8.6，=xiyi-yi=62 194-170×365=144， 所以r=≈≈0.997. 因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)由=73及(1)得===≈0.51， =-=73-×170≈-13.81， 所以y关于x的回归方程为=-13.81+0.51x. (说明：根据=-=73-0.51×170≈-13.70，得出=-13.70+0.51x也正确) 9.(17分)(2025·浙江温州二模)红旗淀粉厂2025年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x(万元)与年收益y(万元)的8组数据： x 10 20 30 40 50 60 70 80 y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用y=bln x+a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；(7分) (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%.2025年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.(精确到0.1万元)(10分) 附：①回归直线=v+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ==-·. ② yi ln xi (ln xi)2 yiln xi 161 29 20 400 109 603 ③ln 2≈0.7，ln 5≈1.6. 解：(1)==5，=-5×=2， 所以回归方程为=5ln x+2. (2)设该企业2025年投入x万元用于生产食品淀粉，则投入(200-x)万元用于生产药用淀粉，则y=5ln x+2+·，0≤x≤200， y'=-==0，得x=50， 所以其在上单调递增，上单调递减， ymax=5ln 50+2+15=5+17≈36.5. 故年收益的最大值约为36.5万元. 10.(20分)(2024·河北承德模拟)某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，得下表： 浓度x(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 (1)以x为解释变量，y为响应变量，在=x+和=+lg x中选一个作为灭死率y关于浓度x(mol/L)的回归方程，不用说明理由；(6分) (2)(ⅰ)根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选回归方程； (ⅱ)依据(ⅰ)中所求回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少mol/L?(14分) 参考公式：对于一组数据，…，，其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为===-. 解：(1)根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选=+lg x. (2)(ⅰ)令ui=lg xi，则=+u， 所以可得如下数据： u -12 -10 -8 -6 -4 y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 则==-8， ==0.5， =++++=360， uiyi=×0.1+×0.24+×0.46+×0.76+×0.94=-15.6， 所以==0.11，=0.5-0.11×=1.38， 所以=1.38+0.11u，即=1.38+0.11lg x. (ⅱ)依题意=1.38+0.11lg x≥0.8，即0.11lg x≥-0.58，即lg x≥-， 所以x≥1，即要使灭死率不低于0.8，则该灭草剂的浓度至少要达到1 mol/L. 学生用书⬇第271页 学科网（北京）股份有限公司 $