第七章 第三节 空间直线、平面的平行（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面、平面与平面平行的判定及性质定理，按“定理梳理-方法提炼-真题应用”逻辑架构，通过考点精讲（判定与性质定理对比）、典例剖析（构造平行四边形等策略）、分层训练（基础检测到综合应用），帮助学生构建知识网络，突破证明难点。 讲义采用“双路径证明”“真题-教材联动”创新策略，如直线与平面平行证题中，既用中位线构造平行关系，又通过比例转化证线线平行，发展学生推理能力与空间观念。设置三级练习配合即时反馈，确保高效突破，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第三节　空间直线、平面的平行 【课程标准】　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明．　2.能利用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 学生用书第183页 【常用结论】 (1)平行关系中的三个重要结论 ①垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. ②垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. ③平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (2)平行关系有关的性质 ①夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． ②两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ③同一条直线与两个平行平面所成的角相等． 【自主检测】 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 B．若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条 C．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β D．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 答案：ABC 2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案：D 解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C．故选D． 3．下列命题正确的是(　　) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案：D 解析：A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．故选D． 4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为____________． 答案：平行四边形 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形． 5．(用结论)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 答案： 解析：因为α∥β，所以，所以AB＝. 考点一　直线与平面平行的判定与性质多维探究 角度1　直线与平面平行的判定 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ， 求证：PQ∥平面BCE. 证明：法一：如图所示，过P作PM∥AB交BE于点M，过Q作QN∥AB交BC于点N，连接MN， 因为正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，所以AE＝BD，又AP＝DQ，所以PE＝QB，又PM∥AB∥QN， 所以，所以， 又AB綊DC，所以PM綊QN， 所以四边形PMNQ为平行四边形，所以PQ∥MN， 又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，所以PQ∥平面BCE. 法二：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，则PM∥平面BCE， 因为PM∥BE，所以， 又AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以，所以， 所以MQ∥AD， 又AD∥BC，所以MQ∥BC，所以MQ∥平面BCE， 又PM∩MQ＝M，所以平面PMQ∥平面BCE， 又PQ⊂平面PMQ，所以PQ∥平面BCE. 1．线面平行的证明方法 (1)定义法：一般用反证法． (2)判定定理法：关键是在平面内找或作一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程． (3)性质定理法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 2．构造平行直线的常用方法 (1)构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线． (2)构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形．　　 学生用书第184页 角度2　直线与平面平行的性质 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，E，F分别是棱PC，AB上的动点．若E是PC的中点，且BE∥平面PFD. 证明：F是AB的中点． 证明：如图，取PD的中点M，连接ME，MF， 因为E是PC的中点， 所以ME∥CD，且ME＝， 又BF∥CD，所以BF∥ME. 因为BE∥平面PFD，平面BEMF∩平面PFD＝MF，BE⊂平面BEMF，所以BE∥MF， 所以四边形BEMF为平行四边形， 所以BF＝ME，即BF＝， 又底面ABCD是菱形，所以BF＝AB，则F是AB的中点． 线面平行性质的应用 证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行． 注意：应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤．　　 对点练1．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l. 证明：(1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 证明：(1)如图，取PB的中点G，连接FG，EG， 因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC， 因为四边形ABCD为长方形， 所以BC∥AD，且BC＝AD， 所以DE∥FG，DE＝FG， 所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. (2)由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. 考点二　平面与平面平行的判定与性质师生共研 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1， 又B1C1∥BC， 所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面． (2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， 所以EF∥BC， 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，AB＝A1B1，所以A1G綊EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. [变式探究] 1．(变条件、变设问)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA. 证明：如图所示，连接HD，A1B，BC1， 因为D为BC1的中点， H为A1C1的中点， 所以HD∥A1B， 又HD⊄平面A1B1BA， A1B⊂平面A1B1BA， 所以HD∥平面A1B1BA. 2．(变条件、变设问)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M， 因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点， 连接MD， 因为D为BC的中点，所以A1B∥DM. 因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， 所以DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， 所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， 所以DC1∥平面A1BD1， 又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， 所以平面A1BD1∥平面AC1D. 学生用书第185页 注意：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．　　 对点练2．如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l. 证明：(1)由题设知BB1綊DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1綊B1C1綊BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面B1D1C＝l， 平面ABCD∩平面A1BD＝BD， 所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 考点三　平行关系的综合应用师生共研 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为棱PD上一点，N为BC的中点． (1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB； (2)是否存在点M，使PB∥平面AMN成立，若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由． 解：(1)证明：取AP的中点E，连接EM，EB，如图①所示． 因为在△PAD中，M为PD的中点，E为AP的中点， 所以EM∥AD，EM＝AD. 因为在平行四边形ABCD中，N为BC的中点， 所以BN∥AD，BN＝AD. 所以BN∥EM，BN＝EM， 所以四边形BNME为平行四边形． 所以MN∥BE，因为MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)假设存在点M，使PB∥平面AMN成立． 连接BD，与AN交于点O，连接OM，如图②所示． 因为PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN＝OM，PB⊂平面PBD，所以PB∥OM. 易知△BON∽△DOA， 所以， 所以存在点M使PB∥平面AMN成立，且M为PD上靠近点P的三等分点． 解决存在性问题一般先假设有关的元素(点、直线、平面)存在，然后从这个元素满足的结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件．若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明即可．　　 对点练3．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 解：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于点M，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以， 又因为， 所以， 所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA. 证明如下： 如图，因为， 即，故， 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 学生用书第186页 [真题再现]　(2024·全国甲卷节选)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，M为AD的中点． 证明：BM∥平面CDE. 证明：因为BC∥AD，EF＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD， 四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，又因为BM⊄平面CDE， CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE. [教材呈现]　(湘教版必修二P171T17)如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在对角线AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明) 点评：这两道题目的设问本质是一样的，都是考查直线与平面平行的判定这个知识点．高考题借助构造平行四边形证明线线平行，而教材题是通过比例关系证明线线平行，但本质都是达到证明线面平行的目的．从证题的思路和方法上来说是一致的． 课时测评55　空间直线、平面的平行 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8，每小题5分，共40分) 1．如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 答案：B 解析：由线面平行的性质定理可知EF∥PB.故选B． 2．已知两条不同的直线a，b及两个不同的平面α，β，下列说法正确的是(　　) A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面 D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交 答案：C 解析：若α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b没有交点，故a与b平行或异面，故A、B错误，C正确；若α∩β＝b，a⊂α，当a∥b时，a与β平行，故D错误．故选C． 3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图，连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以.又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即，所以.故选D． 4．(2025·河南许昌模拟)如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论中错误的是(　　) A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1 C．平面A1C1B∥平面ACD1 D．三棱锥D1-ADC的体积为 答案：D 解析：根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，则四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC，又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；同理可证，BC1∥平面ACD1，A1C1∩BC1＝C1，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确；VD1-ADC＝S△ADC·DD1＝，故D错误．故选D． 5．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则(　　) A．OM∥PA B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA 答案：BC 解析：由题意知，OM是△BPD的中位线，所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，所以OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交于点M，故D不正确．故选BC． 6．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　) 答案：AC 解析：对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图①所示，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图②所示，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，所以AB∥OD，因为OD与平面DEF相交，所以直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选AC． 7．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________． 答案：8 解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8. 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为________． 答案：2 解析：如图所示，易知截面是菱形．分别取棱D1C1，AB的中点 E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，则菱形A1ECF为符合题意的截面．连接EF，A1C，易知EF＝2，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝. 9．(10分)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1；(4分) (2)平面EFG∥平面BDD1B1.(6分) 证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1， 所以直线EG∥平面BDD1B1. (2)如图，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD. 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， 所以FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 10．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM. 试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC. 解：E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下： 如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF. 因为M，F分别为AD，CD的中点， 所以MF∥AC. 因为MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以MF∥平面ABC， 又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC， 因为MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF， 所以平面MEF∥平面ABC. (每小题6分，共24分) 11．如图，在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：D 解析：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1交AB于点H，过H作HG∥AC交BC于点G，过G作GN∥CC1交CB1于点N，连接MN，则平面MHGN∥平面ACC1A1，所以MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．故选D． 12．(2025·山东烟台模拟)在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动．若PA1∥平面AMN，则PA1的最小值是(　　) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：如图所示，取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF.因为M，N分别是棱BC，CC1的中点，所以A1E∥AM，EF∥MN，又因为A1E∩EF＝E，AM∩MN＝M，A1E，EF⊂平面A1EF，AM，MN⊂平面AMN，所以平面A1EF∥平面AMN.因为PA1∥平面AMN，且P点在右侧面，所以点P的轨迹是线段EF，且A1E＝A1F＝，所以当点P位于EF的中点O处时，PA1最小，此时，PA1＝A1O＝.故选C． 13．(多选)(2025·江西萍乡模拟)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45˚ 答案：ABD 解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；因为BD∥QM，MN∥AC，所以，因为DM与CM不一定相等，所以AC＝BD不一定成立，故C错误；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，易知∠PMQ＝45˚，故D正确．故选ABD． 14．(2025·河北张家口模拟)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为正方体棱的中点，则满足直线EF∥平面ACD1的点F的个数是________． 答案：5 解析：如图，分别取AB，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点M，N，I，H，G， 连接ME，EN，NI，IH，HG，GM，BC1，所以GH∥AD1，EN∥BC1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1，所以EN∥AD1，又EN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以EN∥平面ACD1.同理EM∥平面ACD1.又因为EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面ENIHGM，所以平面ACD1∥平面ENIHGM.所以平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面ACD1平行，则满足直线EF∥平面ACD1的点F可以是M，N，I，H，G中的任何一个，所以点F的个数是5. 15．(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PA＝PD＝2，AB＝4，DC＝1，AD＝BC＝2. (1)求四棱锥P-ABCD的体积；(5分) (2)在线段PA上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)取AD的中点G，连接PG，如图所示． 因为PA＝PD＝2， 所以PG⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，即PG是四棱锥P-ABCD的高． 因为PA＝PD＝2，AD＝2，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PA⊥PD，PG＝. 梯形ABCD的高为 ， 故S梯形ABCD＝， 所以四棱锥P-ABCD的体积V＝. (2)在线段PA上存在点M，使得DM∥平面PBC，且， 理由如下：如图，过点D作DE∥CB交AB于点E，则， 过点E作EM∥PB交PA于点M，连接MD，则. 因为DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，所以DE∥平面PBC. 因为ME∥PB，PB⊂平面PBC，ME⊄平面PBC，所以ME∥平面PBC. 又因为DE∩ME＝E，DE，ME⊂平面MDE， 所以平面MDE∥平面PBC. 因为DM⊂平面MDE，所以DM∥平面PBC. 所以在PA上存在点M， 使得DM∥平面PBC，且. 学科网（北京）股份有限公司 $