第八章 第三节 圆的方程（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第三节　圆的方程 【课程标准】　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.　2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.圆的定义与方程 [微提醒]　当D2+E2-4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2+E2-4F=0时，此方程表示一个点；当D2+E2-4F<0时，它不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外. (2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上. (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 【常用结论】 (1)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (3)圆心在任一弦的垂直平分线上. 【自主检测】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．确定圆的几何要素是圆心与半径 B．(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆 C．方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0 D．若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0 答案：ACD 学生用书⬇第217页 2.下列各点中，在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是(　　) A．(0，2) B．(3，3) C．(-2，2) D．(4，1) 答案：B 解析：由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0，2)在圆内；由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3，3)在圆外；由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2，2)在圆上；由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4，1)在圆内.故选B． 3.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x-1)2+(y-1)2=1 B．(x+1)2+(y+1)2=1 C．(x+1)2+(y+1)2=2 D．(x-1)2+(y-1)2=2 答案：D 解析：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r==，则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D． 4.若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为　　　　　　　.  答案：(-∞，-2)∪(0，+∞) 解析：由题意，知(2a)2+(-4a)2-4×(-10a)>0，解得a<-2或a>0. 5.(用结论)点M，N是圆x2+y2+kx+2y-4=0上的不同两点，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的半径等于(　　) A．2 B． C．3 D．9 答案：C 解析：由结论(3)可知直线x-y+1=0经过圆心，所以-+1+1=0，k=4.所以圆的方程为x2+y2+4x+2y-4=0，即(x+2)2+(y+1)2=9，所以圆的半径为3.故选C． 考点一　圆的方程自主练透 1.圆心在x轴上，且过点(-1，-3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是 (　　) A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2-10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2-10x=0 答案：C 解析：设圆心坐标为(t，0)，因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|即为半径，则根据题意得=|t|，解得t=-5，所以圆心坐标为(-5，0)，半径为5，该圆的方程是(x+5)2+y2=25，展开得x2+y2+10x=0.故选C． 2.已知直线3x+4y-4=0与圆C相切于点T，圆心C在直线x-y=0上，则圆C的方程为(　　) A．+=13 B．+=25 C．+=13 D．+=25 答案：D 解析：由题意，设C(a≠0)，圆C的半径为r，所以kCT==，解得a=-3，所以圆心C(-3，-3)，半径r===5，所以圆C的方程为+=25.故选D． 3.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　　　.  答案：(x-1)2+(y+1)2=5 解析：法一：设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则解得所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 法二：设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则M， 所以解得 所以☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0，即(x-1)2+(y+1)2=5. 法三：设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB==-，AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为y-=3，即3x-y-4=0.联立解得M(1，-1)，所以r2=|MA|2 =(3-1)2+[0-(-1)]2=5，所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 4.若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y=-2x+3上运动，则当圆的半径最小时圆的方程为　　　　　　　　　.  答案：+= 解析：设圆心坐标为(a，-2a+3)，则圆的半径r= == .当a=时，rmin=，故所求圆的方程为+=. 求圆的方程的两种方法 考点二　与圆有关的轨迹问题多维探究 角度1　直接法 已知A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=2|MB|，则点M的轨迹方程是　　　 　　 　　　.  答案：x2+y2-x+4=0 解析：设M(x，y)，则|MA|=，|MB|=.因为|MA|=2|MB|，所以=2，整理可得，3x2+3y2-20x+12=0，即x2+y2-x+4=0.所以点M的轨迹是圆，方程为x2+y2-x+4=0. 角度2　定义法 已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2=4x B．x2+y2-2x-2y-3=0 C．x2+y2-2y-3=0 D．y2=-4x 答案：B 解析：因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1，又AM与圆相切，且|AM|=2，则|AC|==，设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5，即x2+y2-2x-2y-3=0，所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.故选B． 角度3　相关点代入法 已知O为坐标原点，点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 解：设P(x，y)，N(x0，y0)， 因为四边形MONP为平行四边形，则=+，即(x，y)=(-3，4)+(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2+y2=4上， 所以+=4，故(x+3)2+(y-4)2=4， 易知直线OM的方程为y=-x， 联立 得或 所以点P的轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4除去点和. 学生用书⬇第218页 圆有关的轨迹问题的四种求法 对点练1.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC=-1， 又kAC=，kBC=， 所以·=-1， 化简得x2+y2-2x-3=0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). 法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x=，y=，所以x0=2x-3，y0=2y. 由(1)知，点C(x0，y0)满足(x0-1)2+=4(y0≠0)，将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1(y≠0). 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 对点练2.已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|=|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. 解：(1)设动点P的坐标为(x，y)， 因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|=|PM|， 所以=·， 整理得x2+y2=2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2. (2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)， 因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点， 所以=2， 即=2， 解得 又点A在轨迹C上运动， 由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2， 化简得(x-4)2+y2=， 即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=. 考点三　与圆有关的最值问题多维探究 角度1　利用几何意义求最值 已知点(x，y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x+y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 解：(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y=kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得k=-2+或k=-2-，所以的最大值为-2+，最小值为-2-. (2)设t=x+y，则y=-x+t，t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距，所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得，圆心到直线的距离等于半径， 即=1，解得t=-1或t=--1，所以x+y的最大值为-1，最小值为--1. (3)=，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(-1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，-3)到定点(-1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1，2)的距离为，所以的最大值为+1，最小值为-1. 学生用书⬇第219页 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 角度2　利用对称性求最值 已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　.  答案：2 解析：因为圆C：x2+y2-4x-2y=0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r=的圆.设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，所以解得故A'(-4，-2).连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，|PA|+|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|+|PQ|=|A'P|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|- r=2. 求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路： 1. “动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离. 2.“曲化直”：即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 角度3　建立函数关系求最值 (2025·重庆模拟)设点P(x，y)是圆：x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0)，则·的最大值为　　　　.  答案：12 解析：由题意，知==(-2-x，-y)，所以·=x2+y2-4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，所以·=-+1+y2-4=6y-12.由圆的方程x2+(y-3)2=1，易知2≤y≤4，所以当y=4时，·的值最大，最大值为6×4-12=12. 建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值. 对点练3.(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是(　　) A．1+ B．4 C．1+3 　D．72 (2)已知动点P(x，y)满足x2+y2-|x|-|y|=0，O为坐标原点，则|PO|的最大值是　　　　.  (3)设点P(x，y)是圆：(x-3)2+y2=4上的动点，定点A(0，2)，B(0，-2)，则|+|的最大值为　　　　.  答案：(1)C　(2)　(3)10 解析：(1)法一：将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆，设z=x-y，即x-y-z=0，故当x-y-z=0与圆相切时z有最值.此时=3，故z=1±3，所以z的最大值为1+3.故选C． 法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，令x=3cos θ+2，y=3sin θ+1，其中θ∈[0，2π]，则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos+1，因为θ∈[0，2π]，所以θ+∈，则当θ+=2π，即θ=时，x-y取得最大值1+3.故选C． (2)如图，方程x2+y2-|x|-|y|=0可以转化为+=，所以动点P(x，y)的轨迹为原点和四段圆弧.当点P为原点O时，|PO|最小，且|PO|min=0.由于对称性，仅考虑圆弧+=(x≥0，y≥0)，显然，|PO|max=+ =. (3)由题意，知==(-x，-2-y)，所以+=，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4，故y2=-(x-3)2+4，所以|+|==2.由圆的方程(x-3)2+y2=4，易知1≤x≤5，所以当x=5时，|+|的值最大，最大值为2=10. [真题再现]　(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　　.  答案：(x-2)2+(y-3)2=13 解析：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0. 若过(0，0)，(4，0)，(-1，1)， 则解得 满足D2+E2-4F>0，所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即(x-2)2+(y-3)2=13； 若过(0，0)，(4，0)，(4，2)， 则解得 满足D2+E2-4F>0，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5； 若过(0，0)，(-1，1)，(4，2)， 则解得 满足D2+E2-4F>0，所以圆的方程为x2+y2-x-y=0，即+=； 若过(4，0)，(-1，1)，(4，2)， 则解得 满足D2+E2-4F>0，所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即+=. [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P93练习3)求过A(1，0)，B(2，1)，C(-2，3)三点的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标. 点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查求过三个点的圆的方程，两题的相似度极高. 课时测评64　圆的方程 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-8，每小题5分，共40分) 1.已知p：t>1，q：关于x，y的方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圆，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：关于x，y的方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圆等价于(-6t)2+(8t)2-4×25>0，即t2>1，显然由t>1可推出t2>1，反之由t2>1不一定能得到t>1(可能是t<-1).故p是q的充分不必要条件.故选A． 2.已知点M(3，1)在圆C：x2+y2-2x+4y+2k+4=0外，则实数k的取值范围为(　　) A．-6<k< B．k<-6或k> C．k>-6 D．k< 答案：A 解析：因为圆C：x2+y2-2x+4y+2k+4=0，所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k，所以圆心坐标为(1，-2)，半径r=.若点M(3，1)在圆C：x2+y2-2x+4y+2k+4=0外，则满足>，且1-2k>0，即13>1-2k且k<，即-6<k<.故选A． 3.圆C：x2+y2-2x-3=0关于直线l：y=x对称的圆的方程为(　　) A．x2+y2-2y-3=0 B．x2+y2-2y-15=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2+2y-15=0 答案：A 解析：由题意，得圆C：(x-1)2+y2=4的圆心为(1，0)，半径为2，故其关于直线l：y=x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2+(y-1)2=4，即x2+y2-2y-3=0.故选A． 4.(2025·四川广元模拟)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　) A．x2+(y-2)2=1 B．x2+(y+2)2=1 C．(x-1)2+(y-3)2=1 D．x2+(y-3)2=4 答案：A 解析：根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1.因为圆过点A(1，2)，所以12+(2-b)2=1，解得b=2，所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A． 5.(多选)(2024·陕西西安模拟)设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 答案：ABD 解析：对于A，圆心为(k，k)，一定在直线y=x上，故A正确；对于B，将(3，0)代入得2k2-6k+5=0，其中Δ=-4<0，方程无解，即所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，将(2，2)代入得k2-4k+2=0，其中Δ=16-8=8>0，故经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4π，故D正确.故选ABD． 6.(多选)(2024·江西宜春模拟)在平面直角坐标系内，已知A(-1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A．||=|| B．||=2|| C．·=0 D．·=2 答案：BCD 解析：设点C(x，y)，则=(x+1，y)，=，对于A，由||=||，得=，整理得x=0，则点C的轨迹为一条直线，故A不符合题意；对于B，由||=2||，知||2=4||2，则(x+1)2+y2=4[(x-1)2+y2]，整理得x2+y2-x+1=0，且-4>0，则点C的轨迹为一个圆，故B符合题意；对于C，由·=0，知(x+1)(x-1)+y2=0，整理得x2+y2=1，则点C的轨迹为一个圆，故C符合题意；对于D，由·=2，知(x+1)(x-1)+y2=2，整理得x2+y2=3，则点C的轨迹为一个圆，故D符合题意.综上可知.故选BCD． 7.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　　.  答案：x2+y2=2(除去点(1，1)和点(-1，-1)) 解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|=|AC|，可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2，即x2+y2=2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(-1，-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1，1)和点(-1，-1)). 8.(2025·浙江绍兴模拟)已知直线l1：y=kx+1，l2：y=kx+5均垂直于圆x2+(y-b)2=9的某条直径，且l1，l2三等分该条直径，则b=　　　　，k2=　　　　.  答案：3　3 解析：由题意，圆x2+(y-b)2=9的圆心坐标为(0，b)，半径为r=3，又由直线l1：y=kx+1，l2：y=kx+5，且l1，l2垂直且三等分该圆的某条直径可得两平行线间的距离为d==2，解得k2=3.又由圆心(0，b)到l1，l2的距离相等，所以=，可得|b-1|=|b-5|，解得b=3. 9.(10分)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上.线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 又kAB=-3，所以km=， 所以直线m的方程为x-3y-3=0. 由得圆心C(-3，-2)， 则半径r=|CA|==5， 所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 设点M(x，y)，Q(x0，y0).因为点P的坐标为(5，0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x+3)2+(y+2)2=25上运动，所以(x0+3)2+(y0+2)2=25， 即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25， 整理得(x-1)2+=. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+=. 10.(12分)已知点P(2，2)，圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求点M的轨迹方程；(5分) (2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积.(7分) 解：圆C：x2+(y-4)2=42，故圆心为C(0，4)，半径为4，点P在圆C内部. (1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP=90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C).线段PC的中点为(1，3)，|PC|==，故M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(点(0，4)，(2，2)除外). 当C，M，P三点中有重合的情形时，即点M的坐标为(2，2)或(0，4)，符合题意. 综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆. 由题意知O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM，因为ON的斜率为3，所以l的斜率为-，故l的方程为y=-x+，即x+3y-8=0. 又易得|OM|=|OP|=2，点O到l的距离为=， |PM|=2=. 所以△POM的面积为××=. (每小题6分，共24分) 11.(多选)关于曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|，下列说法正确的是(　　) A．曲线C围成图形的面积为4π+8 B．曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴 C．曲线C所表示的图形是中心对称图形 D．曲线C是以(1，1)为圆心，2为半径的圆 答案：AC 解析：曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|的图象 如图所示： 对于A，图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以(1，1)为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形，则S1=[π×]+×2×2=π+2，所以曲线C围成的图形的面积为S=4S1=4π+8，故A正确；对于B，由图可知，曲线C所表示的图形的对称轴有x轴、y轴、直线y=x、直线y=-x，共4条，故B错误；对于C，由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；对于D，曲线C的图形不是一个圆，故D错误.故选AC． 12.(多选)已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0，-2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　) A．圆M的圆心在定直线x-y-2=0上 B．圆M的面积的最大值为50π C．圆M的半径的最小值为1 D．满足条件的所有圆M的半径之积为8 答案：AB 解析：因为圆M与直线x+y+2=0相切于A(0，-2)，所以直线AM与直线x+y+2=0垂直，所以直线AM的斜率为1，则点M在直线y=x-2，即x-y-2=0上，故A正确；设M(a，a-2)，所以圆M的半径r=|AM|==|a|，因为圆M被x轴截得的弦长为2，所以2= =2，解得a=-5或a=1.当a=-5时，圆M的面积最大，为πr2=50π，故B正确；当a=1时，圆M的半径最小，为，故C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为5×=10，故D错误.故选AB． 13.(2025·浙江杭州模拟)已知P为圆C：(x-3)2+(y-4)2=1上一点，A(-1，0)，B(1，0)，则|PA|2+|PB|2的最小值为　　　　.  答案：34 解析：设点P(x，y)，O为坐标原点，圆C的圆心为C(3，4)，半径为r=1，则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+ y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|PO|2+2，因为(0-3)2+(0-4)2>1，所以原点O在圆C外，且|OC|= =5，如图所示，则|OP|≥|OC|-r=5-1=4，当且仅当点P为线段OC与圆C的交点时，等号成立.所以|PA|2+|PB|2=2|PO|2+2≥2×42+2=34. 14.(数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足=，则△PAB面积的最大值是　　　　.  答案：2 解析：设以经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-1，0)，B(1，0).设P(x，y)，因为=，所以=，两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0，即点P的轨迹为(x-3)2+y2=8.要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，此时面积为×2×2=2. 15.(14分)已知圆M经过函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点. (1)求圆M的标准方程；(5分) (2)若点P为圆N：x2+(y-2)2=1上一动点，点Q为圆M上一动点，点A在直线y=-2上运动，求|AP|+|AQ|的最小值，并求此时点A的横坐标.(9分) 解：(1)因为函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0，5)，C(1，0)，D(5，0)，根据题意，设圆M的圆心坐标为M(3，b)， 由|MB|=|MC|，可得=，解得b=3，则|MC|=， 故圆M的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=13. (2)设圆N关于直线y=-2对称的圆为圆E，则圆E的方程为x2+(y+6)2=1. 设A(x，-2)，则当A，E，M三点共线时，|AP|+|AQ|取得最小值，且|AP|+|AQ|的最小值为|ME|--1=--1=3--1，此时可得kME=kAE，即=，解得x=，故点A的横坐标为. 学生用书⬇第220页 学科网（北京）股份有限公司 $