第六章 第三节 向量的数量积（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦向量的数量积核心考点，按定义、几何意义、坐标表示到模、夹角、垂直、投影向量应用的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导（如数量积三种求法）、真题训练（含近年模拟题与真题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算与应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，采用多维探究（分模、夹角等角度）、分层练习（自主检测到综合测评）策略，如讲投影向量时结合梯形实例分析坐标与几何意义转化，提升学生运算能力与逻辑推理。真题与教材对比关联，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第三节　向量的数量积 【课程标准】　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系.　2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.　3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.　4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.向量的夹角 (1)定义：设a，b是两个非零向量，任选一点O，作=a，=b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作<a，b>. (2)范围：取值范围规定为[0，π].①<a，b>=<b，a>. ②当θ=0时，a，b方向相同；当θ=π时，a，b方向相反；当θ=时，a与b垂直，记作a⊥b. ③由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定零向量0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. 2.向量的数量积 (1)定义：设a，b是任意两个向量，<a，b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a，b>为a与b的数量积. (2)投影向量定义：设a，b是两个非零向量，作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||=|||cos α|称为投影长，||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影. (3)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  (4)b在a方向上的投影|b|cos α公式：|b|cos α=. (5)数量积的运算律 ①交换律：a·b=b·a； ②与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b)； ③分配律：a·(b+c)=a·b+a·c. 3.数量积的坐标表示 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=<a，b>. 结论 几何表示 坐标表示 向量 的长度 |a|= |a|= 夹角 余弦值 cos θ= cos θ= 垂直条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ [微提醒]　(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的，若a=0，虽然有a·b=0，但不能说a⊥b. 【常用结论】 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a－b)=a2－b2. ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. (2)有关向量夹角的两个结论 ①两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线. 学生用书⬇第160页 ②两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．两个向量的夹角的范围是 B．若a，b共线，则a·b=|a|·|b| C．两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量 D．若a·b=a·c，则b=c 答案：ABD 2.已知|a|=5，|b|=，a·b=5，则a与b的夹角θ等于(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 答案：A 解析：cos θ===，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ=45°.故选A． 3.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=2，则|a+2b|=　　　　.  答案：2 解析：a·b=|a||b|cos 60°=2，|a+2b|===2. 4.如图，在☉C中，弦AB的长度为4，则·=　　　　.  答案：8 解析：取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，=.所以·=||·||cos∠BAC=||||=||2=8. 5.(用结论)已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为　　　　.  答案：∪ 解析：由题意知，a+λb=(1+λ，2+λ)，因为a与a+λb的夹角为锐角，所以a·(a+λb)>0，且a与a+λb不共线，所以1+λ+2(2+λ)>0，且2(1+λ)≠2+λ，解得λ>－且λ≠0，所以实数λ的取值范围为∪(0，+∞). 考点一　平面向量数量积的基本运算自主练透 1.(2025·福建福州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)等于(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 答案：A 解析：由题意可得，|a|=1，|b|=1，a·b=0，则b·(4a－3b)=4a·b－3b2=－3b2=－3.故选A． 2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 ·=(　　) A． B．3 C．2 D．5 答案：B 解析：法一：以{}为一组基，可知||=||=2，·=0，则=+=+=+=－+，所以·=·=－+=－1+4=3.故选B． 法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得=(1，2)，=(－1，2)，所以·=－1+4=3.故选B． 3.已知正方形ABCD的对角线AC=2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．4 答案：B 解析：设AC∩BD=O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，由在方向上的投影向量为，得·=·==2.故选B． 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠BAD=，若·=2·，则·=　　　.  答案：12 解析：因为·=2·，所以··=·，所以·=·.因为AB∥CD，CD=2，∠BAD=，所以2||=||||cos，化简得||=2.故·=·=||2+·=+2×2cos=12. 求两个向量的数量积的三种方法 考点二　平面向量数量积的应用多维探究 角度1　向量的模 (1)(2025·山东烟台期末)若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=(　　) A． B．2 C．4 D．12 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量 a，b满足|a－b|=，|a+b|=|2a－b|，则|b|=　　　　.  答案：(1)B　(2) 解析：(1)因为平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，所以|a|==2，a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1，所以|a+2b|====2.故选B． (2)法一：因为|a+b|=|2a－b|，即(a+b)2=(2a－b)2，则a2+2a·b+b2=4a2－4a·b+b2，整理得a2－2a·b=0，又因为|a－b|=，即(a－b)2=3，则a2－2a·b+b2=b2=3，所以|b|=. 法二：设c=a－b，则|c|=，a+b=c+2b，2a－b=2c+b，由题意可得(c+2b)2=(2c+b)2，则c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b2，整理得c2=b2，即|b|=|c|=. 求平面向量的模的方法 角度2　向量的夹角 (1)已知向量a=(3，1)，b=(2，2)，则cos<a+b，a－b>=(　　) A． B． C． D． 学生用书⬇第161页 (2)(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|=|b|=1，|c|=，且a+b+c=0，则cos<a－c，b－c>=(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为a=(3，1)，b=(2，2)，所以a+b=(5，3)，a－b=(1，－1)，则|a+b|==，|a－b|==，(a+b)·(a－b)=5×1+3×(－1)=2，所以cos<a+b，a－b>===.故选B． (2)因为 a+b+c=0，所以a+b=－c，即a2+b2+2a·b=c2，即1+1+2a·b=2，所以a·b=0.如图，设=a，=b，=c，由题知，OA=OB=1，OC=，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD=，AD=，所以CD=CO+OD=+=，tan∠ACD==，cos∠ACD=，cos<a－c，b－c> =cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD－1=2×－1=.故选D． 求平面向量的夹角的方法 角度3　向量的垂直 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x=(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2025·浙江宁波“十校”联考)已知平面向量a，b满足a=(1，2)，|b－2a|=4且(b－2a)⊥a，则|b|=(　　) A． B．5 C． D．6 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)=0，即b2=4a·b.因为a=(0，1)，b=(2，x)，所以b2=4+x2，a·b=x，得4+x2=4x，所以=0，解得x=2.故选D． (2)由a=(1，2)，得|a|=，由(b－2a)⊥a，得(b－2a)·a=0，则a·b=2a2=10，由|b－2a|=4，得(b－2a)2=16，即b2+4a2－4a·b=16，则b2+4×5－4×10=16，所以|b|=6.故选D． 有关平面向量垂直的两类题型 角度4　投影向量 如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，||=||=2||=2，则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.  答案：(－1，0) 解析：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，又因为A(2，0)，所以x1=2+||cos(180°－∠OAB)，y1=||sin(180°－∠OAB)，x2=x1－||cos(∠OAB+∠ABC－180°)，y2=||sin(∠OAB+∠ABC－180°)+y1，所以B，C=(－1，)，=(2，0)，所以在上的投影数量为==－1.故所求投影向量为(－1，0). 　　设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ·=·，b在a上的投影向量为|b|cos θ·=·，注意区分两者之间的差异. 对点练.(1)(多选)已知向量m，n满足|m|=1，|n|=2，|m+n|=，则下列说法正确的是(　　) A．m·n=－1 B．m与n的夹角为 C．|m－n|= D．(m+n)⊥(m－n) (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t=(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (3)(2025·安徽马鞍山质量监测)已知平面向量a=(1，3)，b=(－2，4)，则a在b方向上的投影向量为(　　) A．(1，－2) B．(－1，2) C．(1，3) D． (4)(开放题)(2025·重庆第六次质量检测)已知向量a=(1，2)，b=(－2，1)，c=(m，n)满足(a+2b)⊥c，请写出一个符合题意的向量c的坐标　　　　.  答案：(1)ABC　(2)C　(3)B　(4)(4，3)(答案不唯一) 解析：(1)因为|m|=1，|n|=2，|m+n|=，所以|m|2+|n|2+2m·n=3，即1+4+2m·n=3，解得m·n=－1，故A正确；因为cos<m，n>==－，0≤<m，n>≤π，所以<m，n>=，故B正确；因为|m－n|2=|m|2+|n|2－2m·n=1+4+2=7，所以|m－n|=，故C正确；因为(m+n)·(m－n)=|m|2－|n|2=1－4=－3≠0，故D错误.故选ABC． (2)由题意，得c=a+tb=(3+t，4)，所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a，c>=<b，c>，所以cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5.故选C． (3)由题知，a=(1，3)，b=(－2，4)，所以a·b=－2+12=10，|b|==2.设a与b的夹角为θ，所以a在b方向上的投影向量是|a|cos θ=b==.故选B． (4)根据题意，a+2b=(－3，4)，且(a+2b)⊥c，则(a+2b)·c=－3m+4n=0，即m=n，当n=3时，m=4，则c=(4，3)(答案不唯一). 学生用书⬇第162页 1.[真题再现]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则 (　　 ) A．λ+μ=1 B．λ+μ=－1 C．λμ=1 D．λμ=－1 答案：D 解析：因为a=，b=，所以a+λb=，a+μb=，由⊥，可得·=0，即+=0，整理得，λμ=－1.故选D． [教材呈现]　(湘教版必修二P40T11)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求实数k为何值时： (1)c与d平行；(2)c与d垂直. 点评：教材习题和高考题类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出. 2.[真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b－2a)⊥b，则|b|=(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b=b2－2a·b=0，所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b2=4，即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4，解得|b|2=，所以|b|=.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修二P40T14)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2=.若向量b满足b·e1=b·e2=1，求|b|. 点评：高考题和教材习题考查的都是求向量的模，一般方法就是根据题目条件，利用向量模的平方得出答案. 课时测评49　向量的数量积 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2025·江苏扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2=(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案：A 解析：因为单位向量e1，e2的夹角为120°，所以(2e1－e2)·e2=2e1·e2－=2·cos 120°－=2×1×1×－12=－2.故选A． 2.(2025·福建三明模拟)已知向量a=(λ，2)，b=(－1，2)，若a⊥b，则|a+b|等于 (　　 ) A．5 B．6 C． D．4 答案：A 解析：因为a=(λ，2)，b=(－1，2)，a⊥b，所以a·b=0，即－λ+4=0，所以λ=4，所以a+b=(3，4)，|a+b|==5.故选A． 3.已知a，b为非零向量，且|a|=2|b|，|a+2b|=|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：将等式|a+2b|=|2a－b|两边平方，得8a·b+3b2=3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cos θ+3|b|2=3|a|2，将|a|=|b|代入得cos θ=.故选B． 4.(2025·江西赣州模拟)在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，·=－6，=3，则·=(　　) A． 16 B． 14 C． 12 D． 10 答案：A 解析：因为AB=3，AD=4，·=－6，=3，所以·=·=·=·=·=16+2－2=16.故选A． 5.已知菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P是BC的中点，则·等于(　　) A．0 B． C．3 D． 答案：C 解析：由题意可得=－=－=+=，故·=－·=||2－||2=4－1=3.故选C． 6.(多选)已知向量m+n=(3，1)，m－n=(1，－1)，则(　　) A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n C．|m|=|n| D．<m，n>=45° 答案：BCD 解析：依题意，m=[+]=，=[(+)－(－)]=，所以(－)·=(1，－1)·(1，1)=0，所以(－)⊥，故A错误，B正确；||=2，||=，所以||=||，故C正确；cos<，>===，因为0°≤<m，n>≤180°，所以<m，n>=45°，故D正确.故选BCD． 7.(多选)已知向量a=(2，1)，b=(1，－1)，c=(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b上的投影向量为b C．2m+n=4 D．mn的最大值为2 答案：CD 解析：对于A，向量a=(2，1)，b=(1，－1)，则a·b=2－1=1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为·=b，故B错误；a－b=(1，2)，若(a－b)∥c，则－n=2(m－2)，变形可得2m+n=4，故C正确；由2m+n=4，且m，n均为正数，得mn=(2m·n)≤=2，当且仅当m=1，n=2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D正确.故选CD． 8.在△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，△ABC外接圆圆心为O，则·=　　　　.  答案：8 解析：由题意得O为△ABC外心，故·==8. 9.已知a=(k，－2)，b=(－3，5)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　.  答案：∪ 解析：因为a=(k，－2)，b=(－3，5)，且a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，则解得k>－且k≠，即k∈∪. 10.已知向量b=(1，)，向量a满足|a|cos<a，b>=－6，则a·b=　　　　；若(λa+b)⊥b，则实数λ的值为　　　　.  答案：－12　 解析：因为b=，所以|b|==2.因为|a|cos<a，b>=－6，所以a·b=|a|·|b|cos<a，b>=－12.因为(λa+b)⊥b，所以(λa+b)·b=0，所以λa·b+b2=0，所以－12λ+4=0，解得λ=. (每小题8分，共32分) 11.(2025·湖北武汉高三四调)在△ABC中，·=4，||=2，且点D满足=，则||=(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题设，D为BC中点，则=(+)，所以||2=(+)2=(+2·+)，又=()2=－2·+=4，即+=4+2·=12，所以||2=×(12+8)=5，故||=.故选A． 12.已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：++=0； 乙：·=·； 丙：||=||=||； 丁：·=·=·. 如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 解析：甲：++=0，则+=－，故P为△ABC的重心；乙：·=·，则()·=·=0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；丁：·=·，则·=·=0，同理可得·=·=0，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立.故选B． 13.(多选)(2025·山东济宁联考)已知16个边长为2的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则(　　) A．·=－20 B．在上的投影向量为 C．=+ D．在上的投影向量的模为2 答案：BC 解析：因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.以该图形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A(－5，0)，B(3，2)，C(－1，－2)，D(4，－)，所以=(8，2)，=(4，－2)，=(9，－)，=(－4，－4)，所以·=－36+12=－24，在上的投影向量为·==在上的投影向量的模为==3，故A、D均错误，B正确；因为+==(9，－)=，故C正确.故选BC． 14.在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=60°，=2=2=2，则·=　　　　.  答案： 解析：因为==－+=++=++=+，所以·=·=－++·.因为AD=AB=3，∠BAD=60°，所以·=－×9+×9+×3×3×cos 60°=. (每小题9分，共18分) 15.(新定义)(2025·河北邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量和，定义：⊕=，☉=.若平面向量，满足>>0，且a⊕b和a☉b都在集合中，则a⊕b+a☉b=(　　) A． 1 B． C． 1或 D． 1或 答案：D 解析：因为=，设向量a和b的夹角为θ，因为>>0，所以+>2，得到a⊕b==<=，又θ∈，所以≤，又a⊕b在集合中，所以>，即cos θ>，得到a⊕b=，又因为a☉b===cos θ>cos θ>，所以a☉b=或1，所以a⊕b+a☉b=1或.故选D． 16.(新情境)(2025·安徽皖南八校三模)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的一点，且∠PBC=，则·的值为(　　) A．4－ B．4+ C．4－2 D．4+2 答案：C 解析：如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，C(2，0)，由∠PBC=，得P，所以==，所以·=+1×1=4－2.故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $