第五章 第三节 等比数列（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第三节　等比数列 【课程标准】　1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.　2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.　4.体会等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的有关概念 [微提醒]　(1)在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.(2)只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. 2.等比数列的有关公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. [微提醒]　在求等比数列的前n项和时，易忽略q=1这一特殊情况. 3.等比数列的性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N+. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(p，q≠0). (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(n为偶数且q=－1除外). (5)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 【常用结论】 (1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn，这里c≠0，q≠0. (2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn－A. (3)数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. ①若a1·a2·…·an=Tn，则Tn，，…成等比数列. ②若数列{an}的项数为2n，则=q；若项数为2n+1，则=q，或=q. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2=ac B．当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列 C．等比数列中所有偶数项的符号相同 D．数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列 答案：ABD 2.在等比数列{an}中，a3=2，a7=8，则a5等于(　　) A．5 B．±5 C．4 D．±4 答案：C 解析：因为=a3a7=2×8=16，所以a5=±4.又因为a5=a3q2>0，所以a5=4.故选C． 3.在等比数列{an}中，a3=，S3=，则a2的值为(　　) A． B．－3 C．－ D．－3或 答案：D 解析：由S3=a1+a2+a3=a3(q－2+q－1+1)，得q－2+q－1+1=3，即2q2－q－1=0，解得q=1或q=－.所以a2==或－3.故选D． 4.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为　　　　.  答案：1，3，9或9，3，1 解析：设这三个数为，a，aq，则解得或所以这三个数为9，3，1或1，3，9. 5.(用结论)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=　　　　.  答案：2 解析：由题意，得解得所以q===2. 学生用书⬇第130页 考点一　等比数列基本量的运算自主练透 1.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1，S5=5S3－4，则S4=(　　) A． B． C．15 D．40 答案：C 解析：由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)－4，即q3+q4=4q+4q2，即q3+q2－4q－4=0，即(q－2)(q+1)(q+2)=0.由题知q>0，所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15.故选C． 2.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5=42，则a6等于(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 答案：D 解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得 即解得所以a6=a1q5=3.故选D． 法二：设等比数列{an}的公比为q， 易知q≠1.由题意可得即解得所以a6=a1q5=3.故选D． 3.(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．a1>0 B．q>0 C．=3或－1 D．=9 答案：ABD 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意得2=3a1+2a2，即a1q2=3a1+2a1q.因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A，B正确；由q2－2q－3=0，解得q=3或q=－1(舍)，所以=q=3，=q2=9，故C错误，D正确.故选ABD． 4.(2024·全国甲卷)已知等比数列的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1－3. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 解：(1)因为2Sn=3an+1－3，故2Sn－1=3an－3， 所以2an=3an+1－3an，即5an=3an+1，故等比数列的公比为q=， 故2a1=3a2－3=3a1×－3=5a1－3，故a1=1，故an=. (2)由等比数列求和公式得Sn==.设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn=×=×. 解决等比数列有关问题的两种常用思想 1.方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解. 2.分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=1时，{an}的前n项和Sn=na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn==. 考点二　等比数列的判定与证明师生共研 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等比数列；②数列{Sn+a1}是等比数列；③a2=2a1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①②作为条件证明③： 设Sn+a1=Aqn－1，则Sn=Aqn－1－a1， 当n=1时，a1=S1=A－a1，所以a1=； 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=Aqn－2， 因为{an}是等比数列，所以=，解得q=2，所以a2=2a1. 选①③作为条件证明②： 因为a2=2a1，{an}是等比数列，所以公比q=2， 所以Sn==a1，即Sn+a1=a12n， 因为=2，所以{Sn+a1}是等比数列. 选②③作为条件证明①： 设Sn+a1=Aqn－1，则Sn=Aqn－1－a1， 当n=1时，a1=S1=A－a1，所以A=2a1； 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=Aqn－2， 因为a2=2a1，所以A(q－1)=A，解得q=2， 所以当n≥2时，an=Sn－Sn－1=Aqn－2 =A·2n－2=a1·2n－1， 又因为=2，且a2=2a1， 所以{an}为等比数列. 注意：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可. 学生用书⬇第131页 对点练1.若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d，必成等比数列的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：若a，b，c，d为1，－1，1，－1，则a+b，b+c，c+d不为等比数列，①不符合；由a，b，c，d必非零且公比为q，可知ab，bc，cd也非零且公比为q2，②符合；若a，b，c，d为1，1，1，1，则a－b，b－c，c－d不为等比数列，③不符合.故选B． 对点练2.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4=9a2，S3=13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意可得解得 所以an=3n－1，Sn==. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn+λ}是等比数列. 因为S1+λ=λ+1，S2+λ=λ+4，S3+λ=λ+13， 所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13)，解得λ=，此时Sn+=×3n，则=3. 故存在常数λ=，使得数列是等比数列. 考点三　等比数列的性质多维探究 角度1　等比数列项的性质 (1)(2025·浙江金华模拟)已知数列是等差数列，数列是等比数列，若a2+a4+a6=5π，b2b4b6=3，则tan=　　　　.  (2)(2025·福建厦门模拟)已知等比数列{an}的公比q>1，+=，a1·a5=8，则a2n=　　　　.  答案：(1)　(2)2n 解析：(1)由等差数列的性质可知，a2+a4+a6=3a4=5π，即a4=，而a1+a7=2a4=，根据等比数列的性质可知，b2b4b6==3，则b4=，b2b6==3，所以tan=tan=tan=. (2)在等比数列{an}中，a2·a4=a1·a5=8，由+=，得=，即有a2+a4=6，因为q>1，所以a2=2，a4=4，即q2==2，解得q=，a1==，所以an=a1qn－1=，所以a2n==2n. 角度2　等比数列前n项和的性质 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=－5，S6=21S2，则S8=(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2)已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S=a3+a6+a9+a12的值为　　　　.  答案：(1)C　(2)585 解析：(1)法一：设等比数列{an}的公比为 q，首项为a1，若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4=－5，S6=21S2可得，=－5，=21×　①，由①可得，1+q2+q4=21，解得q2=4，所以S8==×(1+q4)=－5×(1+16)=－85.故选C． 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4=－5，S6=21S2，所以q≠－1，否则S4=0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以(－5－S2)2=S2(21S2+5)，解得S2=－1或S2=，当S2=－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8+21，易知，S8+21=－64，即S8=－85；当S2=时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0，与S4=－5矛盾，舍去.故选C． (2)设公比为q，由解得所以S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2(1+q3)(1+q6)=585. 角度3　等比数列的最值 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 024a2 025>1，<0，下列结论正确的是 (　　 ) A．S2 024<S2 025 B．a2 024a2 026－1<0 C．T2 025是数列{Tn}中的最大值 D．数列{Tn}无最大值 答案：AB 解析：当q<0时，a2 024a2 025=q<0，不成立；当q≥1时，因为a1>1，所以a2 024>1，a2 025>1，则<0不成立；故0<q<1，且a2 024>1，0<a2 025<1，故S2 025>S2 024，故A正确；a2 024a2 026－1=－1<0，故B正确；T2 024是数列{Tn}中的最大值，故C、D错误.故选AB． 等比数列性质应用问题的解题突破口 1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口. 2.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q，则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 3.涉及等比数列的单调性与最值问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 注意：在应用相应性质解题时，还要注意“设而不求”方法的运用. 对点练3.(1)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=－8，则a7=　　　　.  (2)(2025·山东德州模拟)在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=，a3=，则++++=　　　　.  答案：(1)－2　(2)31 解析：(1)设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，显然an≠0，则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1，因为a9a10=－8，则a1q8·a1q9=－8， 则q15=(q5)3=－8=(－2)3，则q5=－2，则a7=a1q·q5=q5=－2. (2)设T5=++++，则2T5=++++ =++++===62，所以T5=31. 学生用书⬇第132页 1.[真题再现]　(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=(　　) A．12 B．24 C．30 D．32 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，故a2+a3+a4=q(a1+a2+a3)，又a2+a3+a4=2，a1+a2+a3=1，所以q=2，所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32，故选D． [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P35T4)已知数列{an}为等比数列. (1)若a1=3，a1+a3+a5=21，求a3+a5+a7的值； (2)若a2+a6+a10=12，a3+a7+a11=9，求a1+a5+a9的值. 点评：该高考题在所给条件的形式上与教材习题很类似，典型的源于教材的题目. 2.[真题再现](2021·全国甲卷)记Sn为等比数列的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：A 解析：易知公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)=(S4－S2)2，即4(S6－6)=22，所以S6=7.故选A． [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P35T8(3))已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn. (3)如果S5=15，S10=60，求S15. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，考查了等比数列的前n项和的性质. 课时测评40　等比数列 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－9，每小题5分，共45分) 1.(2025·山东济南三模)已知是等比数列，且a2a7=－a8=－4a4，则a3=(　　) A．－ B．± C．－2 D．±2 答案：C 解析：设等比数列的公比为q，因为－a8=－4a4，所以－a4q4=－4a4，得到q4=4，所以q2=2，由a2a7=－4a4，得到×a3q4=－4a3q，所以a3=－=－2，故选C． 2.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n－1+r，则r=(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：当n=1时，a1=S1=3+r；当n≥2时，an=Sn－Sn－1=32n－1－32n－3=32n－3=8·32n－3=8·32n－2·3－1=·9n－1，所以3+r=，即r=－.故选B． 3.(2024·江西南昌二模)已知等比数列的前n项和为Sn，S2=4，且S3=4a2+a1，则S4=(　　) A．120 B．40 C．48 D．60 答案：B 解析：因为数列为等比数列，设数列的公比为q，若q=1，则an=a1，此时S3=3a1，由已知S3=4a2+a1=5a1，即5a1=3a1，解得a1=0，不成立，所以q≠1；因为S2=4，S3=4a2+a1，则有解得所以S4===40.故选B． 4.(2025·湖北武汉模拟)已知是各项均为正数的等比数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6=10，a1a2a3a4a5a6=8，则+++++=(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：由题设易知，a1a2a3a4a5a6=(a1a6)3=8，所以a1a6=a2a5=a3a4=2，所以+++++=++===5.故选D． 5.(2025·贵州贵阳模拟)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2am=a6an，=a6a10，则m+n=(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 答案：C 解析：因为a2am=a6an，=a6a10，公比q>1，所以由等比数列的性质可得2+m=6+n，2m=16，解得m=8，n=4，所以m+n=12.故选C． 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　) A．数列{anan+1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an+an+1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an+1}是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 答案：AD 解析：对于A，由=q2知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列；对于B，若q=－1时，数列{an+an+1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q=1时，数列{an－an+1}的项中有0，不是等比数列；对于D，==，所以数列是公比为的等比数列.故选AD． 7.(多选)已知在数列{an}中，a1=1，an·an+1=2n，n∈N+，则下列说法正确的是(　　) A．a4=4 B．{a2n}是等比数列 C．a2n－a2n－1=2n－1 D．a2n－1+a2n=2n+1 答案：ABC 解析：因为a1=1，an·an+1=2n，所以a2·a1=2，即a2=2.因为an·an+1=2n，所以an+1an+2=2n+1，所以=2，所以数列{an}的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，所以a2n=2×2n－1=2n，a2n－1=1×2n－1=2n－1，所以a4=4，故A，B正确；a2n－a2n－1=2n－2n－1=2n－1，故C正确；a2n－1+a2n=2n－1+2n=3×2n－1，故D不正确.故选ABC． 8.(2025·广西崇左模拟)设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和.若a3a4+a5=0，则S6=　　　　.  答案： 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意知2q2·2q3=－2q4，又q≠0，所以q=－，S6==. 9.(新设问)已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为　　　　.(写出一个即可)  答案：an=3n－1(答案不唯一) 解析：设等比数列{an}的公比为q，令bn=3n－an，则b1=3－a1，b2=32－a1q，b3=33－a1q2，因为{bn}是等比数列，所以=b1b3，即(32－a1q)2=(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q+9=0，解得q=3，取a1=1，则an=3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数). 10.(13分)等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm=63，求m.(7分) 解：(1)设数列{an}的公比为q， 由题设得an=qn－1. 由已知得q4=4q2， 解得q=0(舍去)，q=－2或q=2. 故an=或an=2n－1. (2)若an=，则Sn=. 由Sm=63得=－188， 此方程没有正整数解. 若an=2n－1，则Sn=2n－1. 由Sm=63得2m=64，解得m=6.综上，m=6. 11.(14分)(2025·河北张家口模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=－an+n(n∈N+). (1)证明：数列为等比数列；(6分) (2)求数列{an－1}的前n项和Tn.(8分) 解：(1)证明：2Sn=－an+n， 当n≥2时，2Sn－1=－an－1+n－1， 两式相减，得2an=－an+an－1+1， 即an=an－1+， 所以an－=， 又当n=1时，2S1=－a1+1，得a1=，a1－==－≠0， 所以数列为等比数列. (2)由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列， 所以an－=－·=－·， 所以an=－·+， 所以an－1=－·， 所以Tn= =. (每小题6分，共12分) 12.(新角度)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q=　　　　.  答案：－9 解析：{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中，bn=an+1，则an=bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中.又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24，36，－54，81，相邻两项相除=－=－=－=－，很明显，－24，36，－54，81是{an}中连续的四项，q=－或q=－(|q|>1，所以此种情况应舍去)，所以q=－，所以6q=－9. 13.(2025·广西北海模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，Sn=1－an，记Tn=a1a3+a3a5+…+a2n－1a2n+1，则an=　　　　，Tn=　　　　.  答案：　 解析：由题意得a1=1－a1，故a1=.当n≥2时，由得an=－an+an－1，则=，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an=.由等比数列的性质可得a1a3=，a3a5=，…，a2n－1a2n+1=，所以数列{a2n－1a2n+1}是以=为首项，为公比的等比数列，则Tn=++…+==. (每小题8分，共16分) 14.(新情境)洁白的雪花惊艳了冬天，你知道吗，数学中也有一朵美丽的雪花－－科赫雪花.它可以这样画：任意画一个正三角形P1，把每一边三等分，取三等分后每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线P2.重复上述步骤，画出更小的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪花曲线P3，P4，…，Pn，…. 设雪花曲线Pn的边长为an，边数为bn，周长为ln，面积为Sn，若a1=3，则下列说法正确的是(　　) A．a5=，l5=9× B．S1≤S3<S1 C．{an}，{bn}，{ln}，{Sn}均为等比数列 D．Sn=Sn－1+bn－1 答案：B 解析：由题意知，an=a1·=，bn=b1·4n－1=3·4n－1，ln=anbn= 9·，所以a5=，l5=9×，故A错误；S1=×·sin 60°=，当n≥2时，Sn－Sn－1=bn－1·=3·4n－2··=·，故D错误；当n≥2时，Sn=S1+(S2－S1)+(S3－S2)+…+(Sn－Sn－1)=+=·，且S1=满足上式，则Sn=·，所以{Sn}不是等比数列，故C错误；S3=S1=，故B正确.故选B． 15.(多选)已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且a1a2·…·a2 025<1，a1a2·…·a2 026>1，则(　　) A．a2 026>1 B．当n=2 023时，a1a2·…·an最小 C．当n=1 013时，a1a2·…·an最小 D．存在n<1 013，使得anan+1=an+2 答案：AC 解析：对于A，因为a1>0，q>1，所以an>0，又0<a1a2·…·a2 025<1，a1a2·… ·a2 026>1，所以a2 026>>1，故A正确；对于B、C，由等比数列的性质，a1a2 025=a2a2 024=…=a1 013a1 013=，故a1a2·…·a2 025=<1，a1 013 <1，a2a2 026=a3a2 025=…=a1 014a1 014=，所以a2a3a4·…·a2 026=>，因为a1a2·…·a2 025<1，a1>0，q>1，所以0<a1<1，>1，所以a1 014>1，故当n= 1 013时，a1a2·…·an最小，B错误，C正确；对于D，当n<1 013时，an<a1 013 <1，故anan+1<an+1<an+2，故D错误.故选AC． 学科网（北京）股份有限公司 $