9.2 用样本估计总体（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”专题，依据新课标要求覆盖样本数字特征（平均数、中位数、方差等）、百分位数、分层抽样均值与方差等核心考点，通过近5年高考真题统计明确集中趋势、离散程度估计占60%的高频考点分布，归纳样本数字特征估计、频率分布直方图分析等3类常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”，如以2023全国乙卷伸缩率比较题为例，详解分层抽样方差计算步骤，培养学生用数学眼光观察数据规律、用数学思维推理结论的素养。设“必记结论”和“易错陷阱警示”，助力学生掌握百分位数计算等得分技巧，教师可据此精准开展专题突破，提升复习效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第九章 统计与统计案例 09 [课标要求] 1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．　2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．　3.能用样本估计总体的取值规律．　4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．　5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 9．2　用样本估计总体 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七十八) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七十八) 用样本估计总体 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 感谢观看 【必备知识】 1．百分位数 (1)第p百分位数的定义 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0,1），总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是 ． p (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按照 排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p. 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第 项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 ． j 从小到大 平均数 2．总体集中趋势的估计 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数 的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 最多 数字特征 概念 优点与缺点 中位数 把一组数据按 顺序排列，处在 位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 从小到大 中间 数字特征 概念 优点与缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数 ＝ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 3.总体离散程度的估计 (1)假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数， 那么这n个数的 ①标准差s＝. ②方差s2＝2＋2＋2＋…＋]. (2)分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，，方差为.则 则①； ②s2＝＋]＋n[＋]}. 【必记结论】 1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　 ) (2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　 ) (3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(　　 ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　 ) × × √ √ 2．某机构调查了解10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(　　) A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5 解析：选A.将10个数按从小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而10×25%＝2.5，为第3项138；中位数为＝160.5. 3．设一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.1，则数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为(　　 ) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．2 解析：选C.由方差公式的推广，知数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为22×0.1＝4×0.1＝0.4. 4．(多选)在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有(　　 ) A．平均来说一队比二队防守技术好 B．二队很少失球 C．一队有时表现差，有时表现又非常好 D．二队比一队技术水平更稳定 解析：选ACD.对于A，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，所以平均来说一队比二队防守技术好，故A正确； 对于B，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队经常失球，故B错误； 对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确； 对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确． 5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　 ) A．平均数为2，方差为3.1 　 B．中位数为3，方差为1.6 C．中位数为3，众数为2 　 D．平均数为3，中位数为2 解析：选A.对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差s2>(6－2)2＝3.2>3.1，故平均数为2，方差为3.1，一定没有出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为s2＝[(3－4)2＋(3－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝1.6，此时出现点数为6，故B错误； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误． 题型一　样本的数字特征的估计 ·教考衔接· 链接高考·【例1】　(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析：选C.对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050，1 100)，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值约为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确． 教材溯源·(人教A版必修第二册P206例5)某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示． 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性． 解：为了更直观地观察数据特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图所示)．可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适． 由于全国各地高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理． 【对点练习】　1.(1)(2024·山东临沂模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是(　　 ) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：选D.由已知可得极差是：21－1＝20，而中位数是极差的，即中位数是12，根据六个数的中位数是：＝12，解得m＝12.因为6×45%＝2.7，根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即为12. (2)(多选)(2024·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是(　　 ) A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差 解析：选ABD.由图可知，小组A打分的分值的平均数为×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确； 将小组B打分的分值从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位数为66，故B正确； 小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误； 小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确． 题型二　总体集中趋势的估计 【例2】　(2024·山东青岛模拟)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是(　　 ) A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的第75百分位数为79 C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值 解析：选D.由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为(0.020＋0.025＋0.030)×10＝0.75，故乙班成绩的第75百分位数为80，B错误； 由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误； 甲班平均数为×(57×2＋58＋59＋67＋68×2＋69×2＋79×6＋87＋88×2＋89＋98)＝74.8，乙班平均数估计值为＝10×(55×0.02＋65×0.025＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.005)＝71.5<74.8，即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确． 思维升华　频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 【对点练习】　2.某考试机构的考生根据联考成绩了解自己的学习情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)； (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． 解：(1)由频率分布直方图的性质， 可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003. 所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%. (2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66， 得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94， 所以第80百分位数位于[110，130)内， 由110＋20×＝120，估计第80百分位数为120. (3)由图可得，众数的估计值为100. 平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6. 题型三　总体离散程度的估计 角度1　方差与标准差的计算 【例3】　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． 解：(1)×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548) ＝552.3， ×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536) ＝541.3， ＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋ (19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 角度2　分层随机抽样的方差与标准差 【例4】　(人教A版必修二P213)在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解：把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为 ；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为 ；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2. 根据方差的定义，总样本方差为s2＝ 由＝170.6，＝160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为＝165.2， 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①， 可得s2＝{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]} ＝51.486 2， 我们可以计算出总样本的方差为51.486 2，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.486 2. 思维升华　总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【对点练习】　3.(1)某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为______． 解析：设甲班12个人视力检测数据分别为xi(i＝1，2，…，12)，乙班8个人的视力检测数据分别为yi(i＝1，2，…，8)， 答案：0.76 (2)(2024·江门模拟)某果园试种了 A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和. A(单位：kg) 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B(单位：kg) 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 ①分别求这两个品种产量的极差和中位数； ②求； ③果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 解：①这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90， 这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为＝60； 这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80， 这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为＝60. ②×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60， ×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59， ×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300， ×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349. ③由①可知这两个品种极差和中位数都相等，由②可知>，则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树． 【基础巩固题】 1．(2024·广东惠州一模)数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为(　　 ) A．69 B．70 C．75 D．96 解析：选B.因为8×15%＝1.2，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的15%分位数为第2个数据70. 2．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　 ) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 解析：选B.鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数． 3．(2024·天津二模)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为(　　)分 A．84 B．85 C．86 D．87 解析：选C.由10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，解得a＝0.005，所以前4组频率之和为14×0.005×10＝0.7，前5组频率之和为19×0.005×10＝0.95，设这组数据的第85百分位数为x，则0.7＋(x－80)×0.025＝0.85，解得x＝86. 4．(2024·长沙模拟)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，现抽取初中生800 人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　 ) A．0.94 B．0.96 C．0.75 D．0.78 解析：选A.该地区中学生每天睡眠时间的平均数为×8＝8.4(小时)，该地区中学生每天睡眠时间的方差为＝0.94. 5．(2024·四川绵阳模拟)某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图(每个区间均为左闭右开)，根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是(　　 ) A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 解析：选C.对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为0.5×0.5×100＝25，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35，故B错误； 对于C，[1，2，5)的频率为(0.1＋0.3＋0.5)×0.5＝0.45，[1，3)的频率为0.45＋0.4×0.5＝0.65，则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5＋×0.5＝2.625，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为＝2.25，故D错误． 6．(多选)根据中国报告大厅对2023年3月～10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量(单位：亿千瓦时)月度数据统计如下表： 月份 3 4 5 6 发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33 月份 7 8 9 10 发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31 关于2023年3月～10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是(　　 ) A．中位数是259.115 B．极差是38.32 C．第85百分位数是259.33 D．第25百分位数是240.59 解析：选BC.将数据从小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8个数据，所以中位数是＝245.185，故A错误； 极差是269.19－230.87＝38.32，故B正确； 因为8×0.85＝6.8，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，故C正确； 因为8×0.25＝2，所以第25百分位数是＝241.765，故D错误． 7．(多选)(2024·潮州模拟)根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10 ℃即为入冬．现将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有(　　 ) A．平均数小于4 B．平均数小于4且极差小于或等于3 C．平均数小于4且标准差小于或等于4 D．众数等于5且极差小于或等于4 解析：选BD.举反例，如0，0，0，0，15，平均数为3小于4，但不符合入冬标准，故A错误； 假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确； 举反例，如1，1，1，1，11，平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误； 众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，故D正确． 8．(2024·黔西模拟)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为______． 解析：因为样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3， 故样本数据x1，x2，…，x10的方差为9， 则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×9＝36， 故数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为6. 答案：6 9．(2024·济南模拟)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为______. 解析：依题意，这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8. 答案：7.8 【综合应用题】 10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是(　　 ) A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3 B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5 C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5 D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5 解析：选B.设甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，混合后的新数据的平均数为，方差为s2，则＝5， 对于A，新的一组数据平均数×3＝3，A正确； 对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式s2＝＋]＋＋]可知无法确定新的一组数据方差，B错误； 对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即＝5，所以×3＝3，所以s2＝＋]＋＋]＝×(5＋02)＋×(5＋02)＝5，C正确； 对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即＝3，所以×5＝4，所以s2＝＋]＋＋]＝×(5＋1)＋×(3＋1)＝5，D正确． 11．(多选)已知数据x1，x2，…，x9成公差大于0的等差数列，若去掉数据x5，则(　　 ) A．极差不变 B．第25百分位数变大 C．平均数不变 D．方差变小 解析：选AC.选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x9－x1，去掉x5后的极差为x9－x1，即极差不变，故A正确； 选项B，原数据的第25百分位数为x3，去掉x5后的第25百分位数为(x2＋x3)<x3，即第25百分位数变小，故B错误； 选项C，原数据的平均数为＝x5，去掉x5后的平均数为(x1＋…＋x4＋x6＋…＋x9)＝，即平均数不变，故C正确； 选项D，原数据的方差为s2＝[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差为s′2＝[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′2，即方差变大，故D错误． 12．(多选)2024年7月26日至8月11日在巴黎举办了第33届夏季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，某学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则(　　 ) A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数 B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差 C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数 D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差 解析：选ABD.观察每天宣传次数的频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A正确； 甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B正确； 甲社团宣传次数的平均数＝3，乙社团宣传次数的平均数＝3，C不正确； 甲社团宣传次数的方差×[3×(2－3)2＋2×(3－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝，乙社团宣传次数的方差×[2×(2－3)2＋3×(3－3)2＋2×(4－3)2]＝，D正确． 13．(2024·凉山统考)某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1 000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，第三组[80，90)，第四组[90，100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图． (1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数； (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．(以每组中点值作为该组数据的代表) 解：(1)由频率分布直方图知，(m＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.01， 设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0，由数据落在[60，80)内的频率为 0.4，落在[60，90)内的频率为0.8，可得80<x0<90， 由(x0－80)×0.04＝0.1，解得x0＝82.5， 所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5. (2)由频率分布直方图及(1)知，数据落在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82， 此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2＋×0.4＝0.52，则1 000×0.52＝520， 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1 000名学生中估计有520名学生获奖． $