第九章 第二节 用样本估计总体（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”核心考点，严格依据新课标要求梳理集中趋势、离散程度、百分位数及频率分布直方图等考查内容。通过分析近五年高考真题，明确频率分布直方图中数字特征、分层抽样方差等高频考点权重，归纳百分位数计算、方差应用等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题再现+规律方法+核心素养”的三维备考设计，如结合2023全国乙卷方差计算真题，提炼分层抽样方差公式应用步骤，培养学生数学思维和数据分析能力。通过“典例解析+对点练”模式，指导学生掌握频率分布直方图中中位数、平均数的快速求解技巧，帮助学生高效突破考点，也为教师提供系统复习框架，助力高考冲刺。

第二节　用样本估计总体 高三一轮复习讲义　湘教版 第九章　统计与成对数据的统计分析 课程标准 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.　 2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.用样本估计总体的集中趋势 (1)平均数：若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数= ____________.平均数也称为均值. (2)众数：观测数据中_____________的数是众数，用M0表示. (3)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用Me表示.当数据个数为奇数时，处于_____位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的________即为中位数. 出现次数最多 中间 平均数 微提醒　平均数、中位数和众数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受数据组中极端值的影响具有较好的稳定性 对极端值不敏感 众数 反映一组数据的集中趋势 众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响 2.用样本估计总体的离散程度 (1)极差：将一组数据中的_______与_______统称为极值，将_______与_______之差称为极差，也称全距，用___表示. (2)方差 ①总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称 σ2=__________________________为总体方差或方差. ②样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用 表示这n个数据的均值，则称s2=___________________________.为这n个数据的样本方差，也简称方差. 最大值 最小值 最大值 最小值 [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] R ③分层抽样的方差：将总体分为两层，第一、二层的样本量分别 为n1，n2，样本均值分别为，样本方差分别为，则全部样本 的样本容量、样本均值和样本方差分别为n=n1+n2，=_____________，s2= ______________________________. (3)标准差 标准差是方差的算术平方根.如果σ2是总体方差，则称σ=是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s=是样本标准差. 即s=__________________________________. (n1+n2) {n1[+(-)2]+n2[+(-)2]} 3.用频率分布直方图估计总体分布 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_______与小矩形的_____的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该_____. (3)众数：众数是频率分布直方图中_____矩形所在区间的中点所对应的数据. 横坐标 面积 相等 最高 4.百分位数 (1)定义：百分位数是位于按从小到大的顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]内的整数.一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有___的观测值小于或等于它，且至少有________的观测值大于或等于它，当r%=_____时，Pr即对应中位数. (2)计算一组n个数据的第P百分位数的步骤 第1步，按__________排列原始数据. 第2步，计算c=______. 第3步，若c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求Pr是___，如果c 是整数，则所求的Pr是________. r% (100-r)% 50% 从小到大 n×r% xm 常用结论 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数为m+A． (2)数据x1，x2，…，xn与数据x'1=x1+a，x'2=x2+a，…，x'n=xn+a的方差相等，即数据经过平移后方差不变. (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2. 自主检测 1.(多选)下列说法正确的是 A．对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近 B．方差与标准差具有相同的单位 C．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变 D．在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数 √ √ 2.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是 A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 √ 在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之积的和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数.故选A． 3.某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是　 　　　　　　.  将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i=12×25%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即P25==13.7；由c=12×50%=6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即P50==14.7；由c=12×75%=9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即P75==15.3. 13.7，14.7，15.3 4.(用结论)已知x1，x2，…，x10的平均值为6，方差为3，则2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的平均值为　　，方差为　　.  新数据的平均值为2×6-1=11，新数据的方差为22×3=12. 11 12 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　百分位数的估计 自主练透 在五个数中，第三四分位数为第二大的数，故1，2，3，4，x中第二大的数是x，所以3≤x≤4.故选C． 1.(2024·湖北武汉五调)已知一组数据1，2，3，4，x的第三四分位数是x，则x的取值范围为 A． B．[2，3] C．[3，4] D． √ 2.某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 √ 抽取的工人总数为20，20×60%=12，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序后的第12项与第13项数据的平均数，第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数是P60=9.故选B． 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 3.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活 动时间，研究人员随机调查了某地区1 000名学生 每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：min) 分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第 三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)， 第六组[80，90]，经整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为　　　min.  由10×0.01=0.1<0.25，10×0.01+10×0.02=0.3>0.25，故第25百分位数位于[40，50)内，则第25百分位数为P25=40+×10=47.5，可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5. 47.5 4.如图所示是由某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是　.  由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为-3，-2，-1，-1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%=8是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是P80==2. 2 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 规律方法 考点二　总体集中趋势的估计 师生共研 典例1 (1)某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的环数分别为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有 A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．c>b>a √ 将9，10，7，8，10，10，6，8，9，7按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，则众数为c=10，中位数为b=×(8+9)=8.5，平均数为a=×(6+7+7+8+8+9+9+10+ 10+10)=8.4，所以c>b>A．故选D． (2)(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是 A．频率分布直方图中第三组的频数为10 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 √ √ √ 分数在[60，70)内的频率为1-10×(0.005+0.020 +0.030+0.025+0.010)=0.10，所以第三组的频数 为100×0.10=10，故A正确；因为众数的估计值 是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐 标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5，(0.005+0.020+0.010+0.030) × 10=0.65>0.5，所以中位数位于[70，80)内，设中位数为x，则0.35+0.03(x-70)=0.5，解得x=75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65× (10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73 (分)，故D错误.故选ABC． 频率分布直方图中的数字特征 1.众数：最高矩形的底边中点的横坐标. 2.中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. 3.平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 规律方法 对点练1.(1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 根据表中数据，下列结论中正确的是 A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 √ 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 30 24 10 对于A，因为前3组的频率之和0.06+0.12 +0.18=0.36<0.5，前4组的频率之和0.36 +0.30 =0.66>0.5，所以100块稻田亩产量 的中位数所在的区间为 [1 050，1 100)， 故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量 低于1 100 kg的稻田所占比例为 ×100%=66%，故B不正确；对于C，因为1 200-900= 300，1 150-950=200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值约为×(925×6+975× 12+1 025×18+1 075×30+1 125×24+1 175×10)=1 067(kg)，故D不正确.故选C． 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 30 24 10 (2)(多选)(2024·山东菏泽三模)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) A．m=0.030 B．样本质量指标值的平均数为75 C．样本质量指标值的众数小于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为85 √ √ √ 对于A，由题意知(0.010+0.015+0.035+m+ 0.010)×10=1，解得m=0.030，故A正确； 对于B，样本质量指标值的平均数为55×0.1 +65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5， 故B错误；对于C，样本质量指标值的众数是=75<76.5，故C正确；对于D，前3组的频率之和为×10=0.60，前4组的频率之和为0.60+0.030×10=0.90，故第75百分位数位于第4组，设其为t，则×0.030+0.60=0.75，解得t=85，即第75百分位数为85，故D正确.故选ACD． 考点三　总体离散程度的估计 多维探究 典例2 角度1　方差与标准差 (2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10)，试验结果如下： 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 (1)求，s2； 解：由题意可知，zi=xi-yi(i=1，2，…，10)的值分别为：9，6，8，-8，15，11，19，18，20，12， 所以=zi=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11， s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+ (20-11)2+(12-11)2]=61. 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：由(1)知：=11，2=2=，故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据 1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定. 2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. 规律方法 角度2　分层随机抽样的方差与标准差 (2025·黑龙江哈尔滨模拟)某校有高中生2 000人，为了获得该校全体高中生的身高信息，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20，则总样本的方差为　　.  因为男生样本的均值为170，女生样本的均值为160，所以总样本的均值为×170+×160=165，所以总样本的方差s2=×[16+(170-165)2]+×[20+(160-165)2]=43. 43 典例3 计算分层随机抽样的方差的步骤 第一步：确定； 第二步：确定； 第三步：应用公式s2=[+]+·[+(-)2]，计算s2. 规律方法 对点练2.(1)(2025·湖南长沙一模)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 A．0.94 B．0.96 C．0.75 D．0.78 √ 该地区中学生每天睡眠时间的平均数为=8.4(小时)，则该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[1+(9-8.4)2]+× [0.5+(8-8.4)2]=0.94.故选A． (2)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： ①求两位学生预赛成绩的平均数和方差； 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 =×(82+81+79+78+95+88+93+84)=85， =×(92+95+80+75+83+80+90+85)=85， =×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+ (84-85)2]=35.5， =×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+ (85-85)2]=41. ②现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 由(1)知=<， 甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 1.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c为非零常数，则 A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 √ √ 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c，m+c，σ，t，因为c≠0，所以A，B不正确，C，D正确.故选CD． 2.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值， x6是最大值，则 A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5 的标准差不小于 x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 √ √ 对于A，如1，2，2，2，2，5的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如：1，4，4，4，4，7，则平均数n=×(1+4×4+7)=4，标准差s1=，4，4，4，4，则平均数m=4，标准差s2=0，显然>0，即s1>s2，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6-x1≥x5-x2，当且仅当x1=x2，x5=x6时，等号成立，故D正确.故选BD． 返回 教材呈现 1.(人教A必修二P189T6)数据x1，x2，…，xn的平均数为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，a，b为常数.如果满足y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+B．证明=a +B． 2.(湘教版必修一P264T4)在某次测量中得到的A样本数据为：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 点评：高考题考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，高考题与教材题相似度极高. 课 时 测 评 返回 1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 √ 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.据某地区气象局发布的气象数据，未来十天内该地区每天最高温度(单位：℃)分别为31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为 A．27 B．26.5 C．25.5 D．25 √ 先将这组数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，又10×40%=4，所以该组数据的第40百分位数为排序后的第4个数和第5个数的平均数，即P40==25.5.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.(2022·全国甲卷理)某社区通过公益 讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果，随机抽取10位社区居 民，让他们在讲座前和讲座后各回答一 份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民 在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则 A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位 数是=72.5%，故A错误；对于B， 讲座后问卷答题的正确率分别是80%，85%， 85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%， 100%，其平均数显然大于85%，故B正确；对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95%-60%=35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是100%-80%=20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，故D错误.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.(2025·贵州贵阳模拟)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了解学生在暑假期间每天的读书时间(单位：时)，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均数分别为=2.7，=3.1，=3.3，每天读书时间的方差分别为=1，=2，=3，则下列说法错误的是 A．从高一学生中抽取40人 B．抽取的高二学生的总阅读时间是93时 C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为2.8时 D．估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，根据分层随机抽样，分别从高一、高二、高三学生中抽取40人、30人、30人，故A正确；对于B，抽取的高二学生的总阅读时间是×30=93(时)，故B正确；对于C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为×2.7+×3.1+×3.3=3(时)，故C错误；对于D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为×[1+]+×[2+ ]+ ×[3+(3.3-3)2]=1.966，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966，故D正确.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2024·八省联考)某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是 A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．方差是2.4，平均数是2 D．平均数是3，众数是2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，当掷骰子出现结果为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故A不正确；对于B，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故B不正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差s2>(6-2)2=3.2>2.4，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故C正确；对于 D，当掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，故D不正确.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(多选)为了坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表： 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是 A．众数约为2.5 B．中位数约为3.83 C．平均数为3.95 D．第80百分位数约为P80=5.2 √ √ 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，根据频率分布表可得，高一年 级学生每周体育锻炼时长的众数为 =3.5，故A错误；对于B，设高一年级 学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则0.25+×0.30=0.5，解得x≈3.83，故B正确；对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数为0.25×2.5+0.30×3.5+0.20×4.5 +0.25×5.5=3.95，故C正确；对于D，因为0.25+0.30+0.20+0.05=0.80，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数约为P80=5+=5.2.故D正确.故选BCD． 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.一组数据按从小到大的顺序排列为2，2，3，x，5，5，若这组数据的中位数为4，则这组数据的众数为　.  因为中位数为4，所以=4，所以x=5，所以这组数据的众数是5. 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.已知某样本数据分别为1，2，3，a，6，若样本平均数=3，则样本方差 s2=　　.  由题设，得==3，可得a=3，所以s2==. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(10分)某中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了提高中药产品的质量，我国医疗科研专家攻坚克难，研发出A，B两种新配方，在这两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定质量指标值小于85为废品，在[85，115)内为一等品，不小于115为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方的样本中有6件废品. A配方的频数分布表 B配方的频率分布直方图 质量指 标值 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 8 a 36 24 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (1)求实数a，b的值；(4分) 解：依题意，A，B两种配方的样本容量相同，设为n. 由B配方的样本中有6件废品，结合B配方的频率分布直方图，得=0.006×10，解得n=100， 所以a=100-(8+36+24+8)=24. 由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1，得b=0.026. 所以实数a，b的值分别为24，0.026. A配方的频数分布表 B配方的频率分布直方图 质量指 标值 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 8 a 36 24 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)试确定A配方和B配方哪一种更好.(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作代表)(6分) 解：由(1)及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数 ==100， A配方质量指标值的样本方差=×[(-20)2×8+(-10)2×24+0×36+102×24+202× 8]=112. A配方的频数分布表 B配方的频率分布直方图 质量指 标值 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 8 a 36 24 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由(1)及B配方的频率分布直方图得， B配方质量指标值的样本平均数=80× 0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100， B配方质量指标值的样本方差= ×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22 +202×0.08=104. 综上，=>， 即A，B两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值没有B配方质量指标值稳定，所以B配方更好. A配方的频数分布表 B配方的频率分布直方图 质量指 标值 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 8 a 36 24 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(12分)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次 中靶环数情况如图所示. (1)请填写下表(写出计算过程)：(5分) 解：由题图知，甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9. 乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.   平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 甲       乙       2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 =×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7(环)， =×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7(环)， =×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2] =×(4+2+0+2 +4)=1.2， =×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]= ×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4. 填表如下：   平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 1 乙 7 5.4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：(7分) ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)； ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩更好些)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力). 解：①因为平均数相同，<， 所以甲的成绩比乙稳定. ②因为平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙少，所以乙的成绩比甲好些. ③因为甲的成绩在平均数附近上下波动，而乙的成绩处于上升趋势，且从第四次射击开始就没有比甲成绩低的情况发生，所以乙更有潜力. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.(多选)(2025·重庆模拟)创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是 A．样本中年收入在[500，600)的中小企业约有16家 B．样本的中位数大于400万元 C．估计全国中小企业年收入的平均数为 376万元 D．样本在区间[500，700]内的频数为18 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题图，得(0.001+0.002+0.002 6+0.002 6 +x+0.000 4)×100=1，解得x=0.001 4，所以 年收入在[500，600)的中小企业约有0.001 4 ×100×100=14(家)，故A不正确；因为(0.001 +0.002)×100=0.3<0.5，(0.001+0.002+0.0026) ×100=0.56>0.5，所以样本的中位数小于400万元，故B不正确；由题图可知，样本中中小企业年收入的平均数为[0.001×150+0.002×250+0.002 6×(350+450)+0.001 4×550+0.000 4×650]×100=376(万元)，所以估计全国中小企业年收入的平均数为376万元，故C正确；样本在区间[500，700]内的频数为(0.001 4+0.000 4)×100×100=18，故D正确.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4组样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下： ①平均数<4； ②标准差s<4； ③平均数<4且极差小于或等于3； ④众数等于5且极差小于或等于4. 则4组样本中一定符合入冬指标的共有 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 ①举反例：0，0，0，4，11，其平均数=3<4，但不符合入冬指标；②举反例：11，11，11，11，11，其标准差s=0<4，但不符合入冬指标；③假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，此组数据中的最小值为10-3=7，此时数据的平均数必然大于7，与<4矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；④因为众数为5，极差小于或等于4，所以最大数不超过9，符合入冬指标.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.若等差数列{xn}的公差为3，则x1，x2，x3，…，x9的方差为　　.  由等差数列{xn}的公差为3，可知====x5，所以方差s2=[(x1-x5)2+(x2-x5)2+…+(x9-x5)2]=(16d2+9d2+4d2+d2)×2= d2=×9=60. 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为　　，　　.  依题意=130，=115，=110，=215，所以=×130+ ×110=115(分)，所以全班学生的平均成绩为115分.全班学生成绩的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×(115+225)+ ×(215+25)=85+180=265. 115 265 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数(单位：μg/m3)不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是 A．甲地区：平均数为80，方差为40 B．乙地区：平均数为50，众数为40 C．丙地区：中位数为50，极差为60 D．丁地区：极差为10，80%分位数为90 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 设每天的空气质量指数为xi(i=1，2，…，10)，则方差s2= (xi-)2.对于A，由(xi-80)2=40，得(xi-80)2=400，如果这10天中有1天的空气质量指数超过100，则必有(xi-80)2>400，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不超过100，故A正确；对于B，如果有8天为40，有1天为150，有1天为30，此时平均数为50，众数为40，但该地区环境治理不达标，故B错误；对于C，第1天为110，后面9天为50，此时中位数为50，极差为60，但该地区环境治理不达标，故C错误；对于D，如果最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90，这与80%分位数为90矛盾，故最大值不超过100，故D正确.故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(多选)已知一组数据丢失了一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是 A．4 B．12 C．18 D．20 √ √ 设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3，若3<x<5，则中位数为x，此时+3=2x，解得x=4；若x≥5，则中位数为5，此时+3=2×5，解得x=18.综上所述，丢失的数据可能是4或18.故选AC． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 用样本估计总体 $