专题14旋转角问题六类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题14 旋转角问题六类综合题型 典例详解 类型一、角的不带速旋转问题 类型二、旋转角的相遇问题 类型三、旋转角的追击问题 类型四、旋转角问题——特定关系 类型五、旋转角问题——特定位置 类型六、旋转角定值问题 压轴专练 类型一、角的不带速旋转问题 例1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 变式1-1．（19-20七年级上·山东枣庄·期末）如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 变式1-2．（21-22七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 变式1-3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 类型二、旋转角的相遇问题 例2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知一副三角尺，使其直角边与落在数轴上，． (1)已知数轴上的点M表示的数为，N点表示的数为3，三角尺如图1摆放，，，与都在数轴上，从图1的位置以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向移动，同时从图1的位置以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向移动，时间记为t秒． ①当C与M重合，D与N重合时，点B表示的数为 ，的长为 ； ②两三角尺在移动过程中，的长为 （用含t的代数式表示），当时，t的值为 ； (2)两三角尺运动到如图2所示的位置，点C与点D重合时停止移动，此时在平面内绕C点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时绕着C点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当时，求两三角尺转动所需时间（从两三角尺开始旋转计时）． 变式2-1．（湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转，射线是的角平分线，且． (1)如图2，若，则______，______． (2)在旋转过程中，若，求此时的值． (3)若将两块直角三角板（其中，）摆放在直线MN上，如图3，绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板停止转动；绕点O以每秒10°顺时针转动，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动；三角板和三角板同时转动，转动时间为t秒，如图4； 用含t的代数式表示射线与射线重合前与的度数． 在整个旋转过程中，当满足时，求出相应的t的值． 变式2-2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数学活动课上，小明同学将一副三角板（三角形和三角形）按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)求图1中的度数． (2)将两块三角板同时绕点以相同的速度开始转动，三角板按顺时针方向转动，三角板按逆时针方向转动，在转动过程中两块三角板始终处于直线的上方． ①如图2，当平分时，求的度数． ②试探究：在转动过程中，当为何值时，？并说明理由． 类型三、旋转角的追击问题 例3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 变式3-1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 变式3-2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 变式3-3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 类型四、旋转角问题——特定关系 例4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 变式4-1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 变式4-2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 类型五、旋转角问题——特定位置 例5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线、相交于点O，平分，，，垂足为O，求： (1)求的度数． (2)若以每秒，以每秒的速度同时逆时针转动，求与再次垂直时转动时间及的度数． 变式5-1．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 变式5-2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 类型六、旋转角定值问题 例6．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一直角三角板水平放置，过点作直线，射线，且平分， (1)如图1，若直线经过点， ①求的大小； ②作射线，，射线平分，若，求的大小； (2)如图2，若射线在的内部，作射线，，射线在内部，射线平分，且时，是否存在常数，使得的值是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式6-1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 变式6-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使 ，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 2．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，． (1)如图1，直角三角板的一边与射线重合，则的度数为_______； (2)将直角三角板按照如图2所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数； (3)将图1中的直角三角板绕点转动，使得，且边始终在的内部，求的值． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 4．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 5．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：将一副直角三角板和按如图1摆放在直线上，直角边和均在直线上，且两个直角三角板位于直线的同侧．已知，，． 解决问题：（1）图1中，__________°． （2）如图2，若平分，求的度数． 实践探究：（3）若直角三角板以每秒的速度旋转，当旋转至射线上时，停止运动．设旋转时间为t s，在旋转的过程中，当时，求t的值． 7．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)__________； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 8．（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线、的交点处，且，并使两条直角边落在直线、上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则___________，___________； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 10．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为_________°； (2)继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则________°； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时，此时，三角板绕点的运动时间为________秒，简要说明理由． 11．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 旋转角问题六类综合题型 典例详解 类型一、角的不带速旋转问题 类型二、旋转角的相遇问题 类型三、旋转角的追击问题 类型四、旋转角问题——特定关系 类型五、旋转角问题——特定位置 类型六、旋转角定值问题 压轴专练 类型一、角的不带速旋转问题 例1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 变式1-1．（19-20七年级上·山东枣庄·期末）如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 变式1-2．（21-22七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】此题主要考查角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是熟知角平分线的定义及角度的运算法则． （1）设，则，根据得到方程，故可求出x，故可求出的度数； （2）根据平分，得到，再根据故可求解； （3）分别表示出，，由此即可得到和的关系． 【详解】（1）解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ； （3）解：， 理由：当始终在的内部时，， ， ∴． 变式1-3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型二、旋转角的相遇问题 例2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知一副三角尺，使其直角边与落在数轴上，． (1)已知数轴上的点M表示的数为，N点表示的数为3，三角尺如图1摆放，，，与都在数轴上，从图1的位置以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向移动，同时从图1的位置以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向移动，时间记为t秒． ①当C与M重合，D与N重合时，点B表示的数为 ，的长为 ； ②两三角尺在移动过程中，的长为 （用含t的代数式表示），当时，t的值为 ； (2)两三角尺运动到如图2所示的位置，点C与点D重合时停止移动，此时在平面内绕C点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时绕着C点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当时，求两三角尺转动所需时间（从两三角尺开始旋转计时）． 【答案】(1)①，7；②，1或 (2)1秒或5秒或13秒或17秒 【分析】（1）①点B表示的数为：点M表示的数，的长为：之间的距离； ②易得点D表示的数为，则的长为点D与点M表示的数的差的绝对值；，那么可分点B和点F未相遇前相距4个单位长度和相遇后相距4个单位长度进行解答； （2）分与第一次未重合前，第一次重合后，第二次重合前，第二次重合后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①点B表示的数为：，． 故答案为：，7； ②∵点D的运动速度为1个单位长度，时间为t秒， ∴点D的运动路程为t个单位长度， ∴点D在数轴上表示的数为， ∴的长为， ， Ⅰ、， 解得：； Ⅱ、， 解得． 故答案为：，1或； （2）解：设两三角尺转动所需时间为x秒． ①与第一次未重合前，， ， 解得：； ②与第一次重合后，， ， 解得：； ③与第二次未重合前，， ， 解得：； ④与第二次重合后，， ， 解得：． 答：当时，两三角尺转动所需时间为1秒或5秒或13秒或17秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 变式2-1．（湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转，射线是的角平分线，且． (1)如图2，若，则______，______． (2)在旋转过程中，若，求此时的值． (3)若将两块直角三角板（其中，）摆放在直线MN上，如图3，绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板停止转动；绕点O以每秒10°顺时针转动，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动；三角板和三角板同时转动，转动时间为t秒，如图4； 用含t的代数式表示射线与射线重合前与的度数． 在整个旋转过程中，当满足时，求出相应的t的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) ，或 或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据，以及角的和差计算即可； （2）分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． （3）①先求出的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分，以及三种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， 故答案为：；． （2）解：当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． （3）解：①设运动时间为s， 当与重合前，时，如图4， ，，，， ，，，， ， ； 当与重合后，且与重合前，即时， ， ； 综上所述，或； ②由题意知，运动时间为，运动时间为． 当时， ， ， ， ， 故不存在的值； 当时， ， ， 解得：或. 当时， ， ， ， 不符合题意； 综上所述，的值为或． 变式2-2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数学活动课上，小明同学将一副三角板（三角形和三角形）按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)求图1中的度数． (2)将两块三角板同时绕点以相同的速度开始转动，三角板按顺时针方向转动，三角板按逆时针方向转动，在转动过程中两块三角板始终处于直线的上方． ①如图2，当平分时，求的度数． ②试探究：在转动过程中，当为何值时，？并说明理由． 【答案】(1) (2)①，② 或 时 ，理由见解析 【分析】此题考查了角的和差计算、一元一次方程的应用等知识 （1）根据即可求出答案； （2）①根据角平分线求出 ，求出．得到，根据三角板同时转动且转动速度相同即可得到；②设度，分三种情况：在的右侧；在的左侧，且在的右侧；都在 的左侧，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． （2）①如图 2， ∵平分，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵三角板同时转动且转动速度相同， ∴ ． ② 当 或 时 ．理由如下： 设度， （i）当 在 的右侧时，如图 3 度， 度， ∵ ， ∴ ， 解得 ， （ii）当 在 的左侧，且 在 的右侧时，如图 4， 度， 度， ∵ ， ∴ ， 解得 ， （iii）当 都在 的左侧时，如图5， 此时 ， ∵ ， ∴不符合题意， 此情况下不存在． 综上所述，或时， ． 类型三、旋转角的追击问题 例3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②； (2)或 (3)秒或20秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用． （1）转化成已知角的式子计算即可； （2）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的式子即可求解； （3）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的方程即可求解． 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得， 解得， 当旋转到射线上时，由题意得， 解得， 当与相遇前，时，， ∴； 当与相遇后，时，， ∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时， 解得， 当旋转一周时，， 解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，， 解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 变式3-1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：① 平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 变式3-2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1)78，12，4 (2)平分，理由见解析 (3)t的值为7或113 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）求出的值即可判断； （3）设根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2中，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴s, 故答案为：78，12，4； （2）解：结论：平分． 理由：∵， ∴， ∴． ∴平分． （3）解：∵平分， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴设 ∵ ∴ 解得 ∴经过7秒平分． 当停止时，旋转时，平分， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为7或113． 变式3-3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)21 (3)①10.8或54；② 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，， （2）根据得：，即可解得的值为21； （3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案； ②分两种情况可求得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据题意，， 当射线位于射线的左侧时，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为21； （3）解：由题意可得， ①当到达所在的位置前，， 解得； 当到达所在的位置后，， 解得； 的值为10.8或54； ②当与重合时，， ， 此时与重合； 当到达所在的位置前，，， ； 当到达所在的位置后，，， ； 综上所述，． 类型四、旋转角问题——特定关系 例4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 变式4-1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴∠， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时，即，解得． 如图3，当在内部与重合时，即， 当时，即，解得， 故答案为：或． 变式4-2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)①或或；②或 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 类型五、旋转角问题——特定位置 例5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线、相交于点O，平分，，，垂足为O，求： (1)求的度数． (2)若以每秒，以每秒的速度同时逆时针转动，求与再次垂直时转动时间及的度数． 【答案】(1) (2)90秒， 【分析】本题考查了角平分线的有关角度计算，一元一次方程的应用； （1）由平角的定义得，求出，由垂直的定义得，由角的和差得，即可求解； （2）设，转动t秒后再次垂直，得到方程，解方程求出，即可求解； 能熟练利用角平分线的定义及角的和差求角的度数及一元一次方程解决动角问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， 依题意可知， 因为平分， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以 ； （2）解：如图， 设，转动t秒后再次垂直， 则， 解得：； 所以， 即90秒转了， 所以 ． 变式5-1．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②的值为或或 【分析】（1）分两种情况：在内部或在外部，再根据题意求解即可； （2）①分两种情况：在内或在内，画出图形，分别表示出和，再根据关系式找出数量关系即可； ②动角问题，由运动时间可分三种情况，利用角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当在外部， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）∵为外部的一条射线，，， ∴， ①分两种情况： 第一种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴， 即； 综上所述，和之间的数量关系为或； ②∵，， 又∵射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止，旋转时间为秒， ∴，，， 第一次平分：如图， ∵，， 又∵平分， ∴， ∴， 解得：； 第二次平分：如图， ∵，， ∴， ∵所在直线平分， ∴平分， ∴， ∴， 解得：； 第三次平分：如图， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，动角问题，一元一次方程的实际应用等内容，利用分类的讨论的思想解决问题是解题的关键． 变式5-2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)t的值为12或30 【分析】本题主要考查了角的运算以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义，学会根据图形分类讨论是解题的关键． （1）先求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，再利用，即可解答； （2）直接计算出和的度数，判断是否相等即可得出结论； （3）根据题意，分2种情况：①射线平分锐角；②射线的延长线平分锐角，分别求出三角板所旋转的度数，结合每秒的旋转速度，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． （2）解：平分，理由如下： 延长线段得到射线，， ， 由（1）中的结论得，， ， 又， ， ， 平分． （3）解：①当射线平分锐角时，此时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； ②当射线的反向延长线平分锐角时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； 综上所述，的值为12或30． 故答案为：12或30． 类型六、旋转角定值问题 例6．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一直角三角板水平放置，过点作直线，射线，且平分， (1)如图1，若直线经过点， ①求的大小； ②作射线，，射线平分，若，求的大小； (2)如图2，若射线在的内部，作射线，，射线在内部，射线平分，且时，是否存在常数，使得的值是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在使得的值是定值． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数；②分射线在左侧和射线在右侧两种情况，根据角平分线的定义求出和的度数即可得到答案； （2）分点B在射线下方和点B在射线上方，且在上方两种情况，分别用表示出的度数，进而求出的结果，再根据的值为定值求出对应的m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴ ∵直线经过点， ∴； ②如图所示，当射线在左侧时， ∵射线平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在右侧时， ∵射线平分，， ∴， ∵∵，平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （2）解：当点B在射线下方时， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ， ∵射线平分， ∴， ∴ ， ∵是常数， ∴， ∴； 如图，当点B在射线上方，且在上方时， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ， ∵射线平分， ∴， ∴ ， ∵是常数， ∴， ∴； 综上所述，存在使得的值是定值． 变式6-1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①根据旋转速度及时间求得，然后根据角平分线的概念和角的和差分析计算； ②当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ． ． （2）解：①当时，， ∵平分平分， ∴， ∴, ∴； ②的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，准确识图，找准角的和差关系是关键． 变式6-2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①，②或24 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到，再利用角度的和差关系求出的度数即可； （3）①根据新定义结合角的和差关系推出，再根据，进行求解即可； ②根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴射线不是或的完美倍分线； 故答案为：不是； （2）∵射线是的完美倍分线，， ∴， ∴； （3）①由题意，得：， 当重合时，，， ∴当时，在的上方， ∴， ∵在内部，且射线是的完美倍分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点的运动时间为：秒； 当时，，则：， 解得：； 当时，，则：， 解得：； 综上：的值为或24． 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使 ，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义． （1）根据计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据即可求解； （3）分两种情况讨论：①在内；②在外，根据已知角度关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，与射线重合， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况：当在内时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当在外时， ，， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：． 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，． (1)如图1，直角三角板的一边与射线重合，则的度数为_______； (2)将直角三角板按照如图2所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数； (3)将图1中的直角三角板绕点转动，使得，且边始终在的内部，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）根据平角的定义进行求解即可； （2）平角的定义，求出，角平分线得到，再根据角的和差关系进行计算即可； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴； （3）①当在的右侧时： ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； ②当在的左侧时： 则：， ∴， ∴，即：； 综上：或． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)； (2)①20秒或25秒；②或或或30． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据题意，； （2）①根据题意将用t表示，在射线转动过程中，与重合前，进而可得，与重合后继续转动，则，令，建立方程即可求得t； ②分四种情况讨论：一是是的伴随线，二是是的伴随线，三是是的伴随线，四是是的伴随线，进而用含t的代数式表示出，根据伴随线的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 4．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征是解题的关键． （1）利用直角三角形的内角和直接求得； （2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （3）根据图形的旋转，设运动时间为秒，可得，，即可得知是定值． 【详解】（1）解： ，，， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：不变． 设运动时间为秒，则， ，， ， ． 5．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：将一副直角三角板和按如图1摆放在直线上，直角边和均在直线上，且两个直角三角板位于直线的同侧．已知，，． 解决问题：（1）图1中，__________°． （2）如图2，若平分，求的度数． 实践探究：（3）若直角三角板以每秒的速度旋转，当旋转至射线上时，停止运动．设旋转时间为t s，在旋转的过程中，当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查套三角板中角度的计算．熟练掌握三角板的角的特征，角平分线定义，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据即得； （2）由角平分线定义求出，根据即得； （3）分在内外两种情况，写出每种情况的，的表达式，根据列方程解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ： 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∴， （3）∵，， 当，， ∵， ∴， 解得，； 当时，，， ∴， 解得． 故或． 7．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)__________； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，的度数或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分线的定义即可得到，计算得到结果； （3）分类讨论，当时，或当时，得到旋转的角度，再结合角的和差关系进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：设旋转的角度， ， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：有某个时刻满足，理由如下： 依题意，旋转的角度， 当时，点在的右侧， 当时，点在的左侧， ∴或， ∵， ∴，或 解得或， ∴的度数或． 8．（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线、的交点处，且，并使两条直角边落在直线、上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则___________，___________； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)64，180 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据计算求解即可；根据，求出的度数，再由平角的定义求出，据此求解即可； （2）①先求，再利用平角的定义求解即可； ②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． 【详解】（1）解：∵,， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴ ②当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)4秒或36秒 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出结论； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， ∴α与β的数量关系是或 （3）解：①如图④，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得： ； ②如图⑤，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为4秒或36秒． 10．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为_________°； (2)继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则________°； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时，此时，三角板绕点的运动时间为________秒，简要说明理由． 【答案】(1)90 (2)30 (3)16，见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，一元一次方程的应用，余角和补角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据旋转角的定义判断即可； （2）利用角的和差和即可得出答案； （3）根据，构建方程求解． 【详解】（1）图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为． 故答案为：90； （2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部， 则 ． 故答案为：30； （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时， 由题意，， 解得， 所以三角板绕点O的运动时间为16秒． 故答案为：16． 11．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $