专题07 线段相关压轴题分类（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07线段相关压轴题分类 (6种类型48道) 类型动点定值问题 类型2探究线段数量关系 类型3存在性问题 线段相关压轴题分类 类型4动点问题求时间 类型5动点求值 类型6线段相关证明题 目目 类型01 动点定值问题 1.如图线段AB=24,动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点， A M P B B 备用图 (1)当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB=2AM? ②试说明2MB-BP为定值： (2)当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论： ①MN长度不变； ②MN+PN的值不变. 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选出一个正确的结论，并求其值； 2.如图，线段AB=24,动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点. M B (1)出发多少秒后，PB=2AM? (2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM-BP为定值； (3)当点P在AB延长线上运动，N为BP的中点时，有下列两个结论：①MN的长度不变；②MN+PN的值 不变.选出一个正确的结论，并求其值 3.如图，线段AB=10,动点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上一点. E B A D C E 图1 图2 (1)如图1，当点E是线段BC的中点时， ①若AD=3,则BE=—; ②点C在线段AB上运动的过程中，线段DE的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请 说明理由， (2)如图2，当点E是线段BD的中点时，点C在运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在，求 出重合时线段AC的长度；如果不存在，请说明理由 4.如图①，已知线段AB=m,CD=n,线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左 侧)，且m-14+(7-n)2=0. A B B 图① 图② (1)若BC=4,求AD的长， (2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M,N分别是线段AD,BC的中点，求MN的长. (3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断PA+PB 是否为定值，并说明理由. 5.如图，线段0A=18cm,动点P从点0出发，以每秒2cm的速度沿着射线OA的方向运动. 0 A (1)当点P出发多少秒后，OP的长度等于AP长度的2倍？ (2)当点P的运动时间超过9秒，设点B为OP的中点，点C为AP的中点，BC的长度是否是一个定值？如果 2/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 6.如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点.点C对应的数为6，BC=4,AB=12. 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动.M为AP的 中点，N为CQ的中点，设运动时间为t(t>0). A 0BC→ (1)求点A、点B对应的数： (2)t为何值时，OM=2BN; (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得mPQ-MN为定值，若存在，请求出m的值，若不存在， 请说明理由， 7.如图，点A,B,C,D是同一直线上从左到右依次排列的四点，AB=a,CD=b,且a,b满足： a-6+(b-3)2=0,BC=15. A B B D 备用图 (1)a=-,b=- (2)线段AB以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动. ①求运动多少秒时，线段AB,CD重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段CD立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段AB的运动状态不变，若线段CD向 右运动过程中，式子2AC+mBD的值为定值n,请求m和n的值. 8,如图，已知C,D是线段AB上两点；E,F两点分别是线段AC,BD上的点，且AE=上4AC, BF=1BD:AM,N两点分别是线段AD,BC上的点，且AM=1AD,BN=1BC n n AEC D F B ND B 图1 图2 (1)如图1，已知AB=12,CD=9,若n=2,请直接写出线段EF的长度： (2)如图2，在(1)的条件下，若n=3,求线段EF和MN的长度， B如图3，若n=4,下列两个结论，①EF+MN是定值，②EF二MN是定值，其中只有一个是正确的，谐 AB AB 直接写出正确结论的序号： ,并直接写出其定值： 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 L⊥ AE CM ND FB 图3 目目 类型02 探究线段数量关系 9.如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，回答下列问题： AM七B 试判断线段AB与MN之间的数量关系，并说明理由； 10.综合与实践 【基现图】1)如图1，点E、8,F都在线段4C上，4E=EB,F是8C的中点，则图中共有找段 条 )的条件下，若BFAC,武探究EF与AC之间的数量 E F A 图1 【拓展提高】(3)如图2，在(2)的基础上，G是AE的中点，若AC=20cm,求GF的长. GE F A B C 图2 11.应用题：如图，己知线段AB=12cm,点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中 点 A D C E B (1)若AC=4,求DE的长； (2)若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是」 (3)试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变. 12.已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC,BD中点. (1)若AC=4,BC=10,求CE的长： (2)若AB=5CE,且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系. 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 13.如图，点B,C在线段AD上，BC=12,AB:BC=3:4. A MB C N D (1)若AC=BD,则线段AB与CD长度的数量关系是-. (2)在(1)的条件下，己知M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度， 14.如图1，点A,B都在线段EF上（点A在点E和点B之间)，点M,N分别是线段EA,BF的中点. EMA B N F 图1 EMA B N TF A 图2 (1)若EA:AB:BF=1:2:3,且EF=12cm,求线段MN的长； (2)若MN=a,AB=b,求线段EF的长（用含a,b的代数式表示）： (3)如图2，延长线段EF至点A,使FA=EA,请探究线段BA与EM+NF应满足的数量关系（直接写出结 论) 15.如图1，已知线段AB=20cm,点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C、 D两点分别从M、B出发以acm/s、bcm/s的速度沿直线BA运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足 条件：a-1+b-3=0. M D B 图1 M B 图2 (1)直接写出：a= ’b= (2)若2cm<AM<4cm,当点C、D运动了3s,求AC+MD的值； B如图2若4M-号4B,点N是直线AB上一点，且4N-BN=MN,求w与B的数量关系。 16.如图，点C、D在线段AB上，点M是AC的中点，点N是BD的中点. 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M D N B 图1 A M D B 图2 (1)如图1，当点C在点D的左侧时， ①如果AB=5,CD=1,则MN= ②如果AD=2,MN=3,则BC=- (2)如图2，当点C在点D的右侧时，MN与AD、BC的数量关系是 目目 类型03 存在性问题 17.如图，AB=20Cm,点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点 V(N在M的右侧且N不与B、C重合)，使得6MN-NB=60cm且BN=kCN,求k的值. A MB NC 18.我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a,点B表示数b,线段AB的长表示为AB,当点C为线段AB 中点时，即1C=8C时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数-2，B点表示数5.若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/ 秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动.假设运 动的时间为t(秒) 6 当0<1时，动点0表示的数羽 3c1s0 时，动点Q表示的数为一：（用含的代数式 表示) (2)分别取OB和AQ的中点E,F. ①当EF=2时，求时间t的值： ②试判断是否存在常数m,使得AB-OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 6/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.问题提出 (1)数轴上，点A、点B表示的数分别为-28，则线段AB的长为-，线段AB的中点M表示的数为-； 问题探究 (2)如图，直线1上顺次有A、B、C、D四个点，AD=18cm,AB:BC:CD=2:3:4,点M是AB的中点， 点N是CD的中点.若线段AB以每秒6cm的速度沿直线I向右运动，同时，线段CD以每秒2cm的速度沿直 线I向左运动.在运动的过程中，记BC的中点为E,AD的中点为F.设运动时间为t秒. ①求在运动过程中MN=EF时的t值； ②在运动过程中是否存在t,使得AE+BF+CF+DE的值最小？若存在，求出t满足的条件，并求出 AE+BF+CF+DE的最小值；若不存在，说明理由， AMB C N D 20.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点， AD=10cm,设点B运动时间为t秒(0≤1≤10). A B C D L (1)当t=2时，①AB= cm, ②此时线段CD的长度= cm: (2)①点B沿点A→D运动时，AB=, cm;(用含t的代数式表示AB的长) ②点B沿点D→A运动时，AB= cm.(用含t的代数式表示AB的长) (3)在运动过程中，是否存在点B,使得AB=4CD,若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 21.如图，己知线段AB,点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边 A C D B 在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点，同时点C也是DE的中点？若存在，请用圆规找出 点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由 22.如图，己知线段AB,点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边. A CD B (1)若AB=6,求CD的长； (2)在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点，同时点C也是DE的中点？若存在，请用圆规找 出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由. 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.如图，己知线段AB=20,若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位 的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动.E,F分别为AM和BN的中点，设运 动时间为t。 M (1)当M,N两点相遇时，求线段EF的长； 2)当t为何值时，线段EF的长为线段AB的： (3)在运动过程中，E,F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段EF的长.若不存在，请说明理由. 24.如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒 (t>0),M为AP的中点. AM P B (1)当点P在线段AB上运动时， ①当t为多少时，PB=2AM?②求2BM-BP的值 (2)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，说明线段MN的长度不变，并求出其值. (3)在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的 线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由. 目目 类型04 动点问题求时间 25.如图，己知点A,点B是直线1上的两点，且AB=6cm,点P和点Q是直线上的两个动点，点P的 速度为2cms,点Q的速度为lcms,点P、Q分别从点A、B同时出发在直线I上运动，运动时间为s). A B 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2cm时，求出t的值. 26.如图，点C是线段AB上的一点，线段AC=8,BC=3 AC,点D为线段AB的中点. A CD B A CD B 备用图 (1)直接写出线段AB和CD的长： 8/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单 位的速度沿直线BA向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线AB向右运动，当点Q再次回到点B时， 动点P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒 ①当t为何值时，点P与点？重合？ ②若点M,N分别为线段AP,AQ的中点，MN=5,求t的值 27.如图，点C在线段AB上，AC=3,BC=11,动点P从点A出友，沿线段AB以每秒3个单位长度的 速度向终点B匀速运动：同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运 动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒. A→PC Q←—B (1)当点P与点Q相遇时，求t的值， (2)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值. (3)当PC+QB=2.5时，求t的值. 28.如图，已知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=18.点D,点E在直线AB上，满足DE=8,且点D 在点E的左侧. A C B (1)当E为BC中点时，求AD的长； (2)点F(异于A,B,C三点)在线段AB上，AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长； (3)若点D从点A处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段AB向右运动，点E随之向右运动，设运动时间 为t秒，求出当点D或点E三等分线段AB时t的值. 29.如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,AB表示点A和点B之间的距离，且a、b满足 (a+6)2+b-12=0. A POM NQB→ (1)填空：a=一，b= (2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的 速度向左运动，点P、Q分别为AM、BN的中点，设运动时间为t秒(0≤1≤9)； ①问运动时间为多少时，点M与点N重合？ ②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由； 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③增加点O为原点，若OP=NQ,求t的值 30.如图，AB=12,线段CD在线段AB上，点C在点D的右边，且CD=3.动点P从A出发，以每秒3 个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动；同时线段CD从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA匀 速运动，当点D与点A重合时，停止运动.设点C的运动时间为(s. ●— A P D CB (1)当点P与点A重合时，AD=- (2)当点P与点D相遇时，求t的值， (3)求PD的长（用含t的代数式表示） (4)取CD的中点E,当AB=2PE时，直接写出t的值. 31.如图，点B在线段AC上，AB:BC=3:2,线段AC=20cm, F B (1)求线段BC的长. (2)点E从A点出发，以每秒3cm的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒2cm的速度向左移动，经过t 秒后，点E和点F相遇，求t的值. 32.如图，点C为线段AB的中点，AB=8.动点P从点B出发，在线段AB上匀速运动，先以每秒2个单 位的速度从点B运动到点C,接着以每秒1个单位的速度运动到点A,最后以每秒4个单位的速度从点A 回到点B:同时，动点Q从点C出发，也在线段AB上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到 点A,接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B.设点P的运动时间为t(s) A C B (1)当点P与点C第二次重合时，求PQ的长： (2)当2≤t≤4时，求证：PQ=2; (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当CP=2CQ时，直接写出t的值. 目目 类型05 动点求值 33.如图，P是线段AB上任意一点，AB=I5cm,C,D两点分别从点P,B同时向点A运动，且点C的 运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动的时间为s.(其中一点到达点A时，两点停止运动) ←一 C PD B 10/14 专题07 线段相关压轴题分类 （6种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 2．如图，线段，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)出发6秒后 (2)见解析 (3)正确的结论是①的长度不变，为定值12 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：由（1）知，，， ； （3）解：选； 由（1）知，，，， （定值）； 变化． 3．如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②是定值，其值为 (2)存在， 【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可． （1）①根据题意，求出，根据，求出，即可得到；②根据题意，可得，，再根据，即可； （2）根据题意，，设，得到，当点和点重合时，，推出，解出，即可． 【详解】（1）解：①∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是定值，理由如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 即是一个定值，其值为． （2）解：存在，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 设， ∴， 当点和点重合时，， ∴， 解得， ∴，即当点和点重合时，的长为． 4．如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)17或25 (2) (3)不是定值，理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出m、n的值，分类讨论进行求解即可； （2）根据线段和差关系进行计算即可．； （3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ①当点C在点B的左侧时， ， ， ， ②当点C在点B的右侧时， ， ， ， 综上所述，的长为17或25． （2）解：∵点M，N分别为线段的中点， ，． ∴； （3）解：不是定值，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴， ∵， ∴ ， ∵点位值不确定， ∴长度不确定， 故不是定值． 5．如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 6．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及到线段长度、中点坐标、绝对值方程以及定值问题，熟练掌握数轴上点的运动规律和相关代数运算技巧是解题的关键． （1）根据点的数和的长度求出点的数，再根据的长度求出点的数． （2）先表示出运动秒后点、的位置，进而得出、的位置，再根据列方程求解． （3）先表示出和的长度，再代入，根据定值的条件求出的值． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为， ， 点对应的数为； （2）解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， ，（）， ， ， 当，即时， ， （舍去）， 当，即时， ， ， ， ∴所以t为时，； （3）解：（点在点左侧，）， ， ， 为定值， ， 解得， ∴存在常数使得为定值． 7．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 8．如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 9．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题：地 城 类型02 探究线段数量关系 试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】，见解析 【分析】根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】解：，理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； 10．综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条． 【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．    【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．    【答案】（1）10；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键． （1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，据此回答即可； （2）设，先列方程求得求得，，可得答案； （3）设，先列方程求得，再求得的长即可． 【详解】解：（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条， 故答案为：10； （2）设， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）设， ∵， ∴由（2）得，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 11．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． （1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ()； （2）为的中点， ， 点是的中点， ； （3）点是的中点， ， 点是的中点， ， ()， 的长不变． 12．已知点C为线段上的一点，点D、E分别为线段中点． (1)若，，求的长； (2)若，且点E在点C的右侧，试探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据D为线段中点，可得，从而得到，再由E为线段中点，可得，即可求解； （2）设，，，可得， ，进而得到，即可． 【详解】（1）解：∵D为线段中点， ， 又， ， ∵E为线段中点， ， ； （2）解：如图， ∵D为线段中点， ∴设， ， ∴设，， ∵E为线段中点， ， ， 即， ，， ． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差，明确题意，准确得到线段与线段间的数量关系是解题的关键． 13．如图，点B，C在线段上，，． (1)若，则线段AB与CD长度的数量关系是 ． (2)在（1）的条件下，已知M是的中点，N是的中点，求的长度． 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）根据题意可得，再由M是的中点，N是的中点，可求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，． ∴． 由（1），得． ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段之间的数量是解题的关键． 14．如图1，点A，都在线段上（点A在点和点之间），点，分别是线段，的中点． (1)若，且，求线段的长； (2)若，，求线段的长（用含，的代数式表示）； (3)如图2，延长线段至点，使，请探究线段与应满足的数量关系（直接写出结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则，，，由点，分别是线段，的中点得，，，进而结合题意即可进行计算； （2）根据点，分别是线段，的中点可得，，进而可得，则进而即可得到解答． （3）根据点，分别是线段，的中点并结合题意进行得到结论． 【详解】（1）设，则，，． 点，分别是线段，的中点， ，． ， ． ， ， 解得：， ． （2）点，分别是线段，的中点， ，． ，， ， ， ． （3）点，分别是线段，的中点， ，． ， ． 【点睛】本题考查了线段的和与差，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 15．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 16．如图，点C、D在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)如图1，当点C在点D的左侧时， ①如果，，则_________． ②如果，，则________． (2)如图2，当点C在点D的右侧时，与、的数量关系是_________． 【答案】(1)①3；②4 (2) 【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，，利用线段的和可得，再加上CD即可得到结论；②根据线段中点的定义可得DN的长，利用线段的和可得结论； （2）根据线段中点的定义可得，，利用线段的和差可得结论． 【详解】（1）①∵点M是的中点，点N是的中点， ，， ∵，， ∴，即， ∴． 故答案为：3． ②由①可知， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：4． （2）∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵，， ， ∴ ， ∴与，的数量关系是：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键． 17．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点在的右侧且不与、重合），使得且，求k的值．地 城 类型03 存在性问题 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段的计算，准确识图，理解线段中点的定义，两点间的距离，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 设，显然，则，，，根据线段中点的定义得，则，再根据得，整理得，然后根据即可得出的值． 【详解】解：设，显然， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：． 18．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为秒或秒；②存在常数m，使得的值是定值，m的值为 【分析】（1）利用当时动点Q表示的数=点B表示的数点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数；利用当时动点Q表示的数=原点表示的数+点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数； （2）①分及两种情况考虑，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分及两种情况，可找出，，的值，结合的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 当时，动点Q表示的数为； 当时，动点Q表示的数为 故答案为：； （2）①当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得：； 当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得： 答：t的值为秒或秒； ②当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得：； 即时，为定值，该定值为0； 当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得： 综上所述，存在常数m，使得的值是定值，m的值为． 【点睛】本题考查了数轴与动点，熟练掌握路程与速度和时间的关系，动点在数轴上表示的数，两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论，是解题的关键． 19．问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 20．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②3 (2)①；② (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用路程速度时间，可求出当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长； （2）当点沿点运动时，利用的长点的速度点的运动时间，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，利用的长的长一点的速度点的运动时间，即可用含的代数式表示出线段的长； （3）分及两种情况考虑，当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是线段的中点， ∴此时线段． 故答案为：①4 ；②3 ； （2）解：根据题意得：当点沿点运动时，； 当点沿点运动时，． 故答案为：①；②； （3）解：存在，当时，， 根据题意得：， 解得：； 当时，， 根据题意得：， 解得：． 答：在运动过程中，存在点，使得的值为或． 21．如图，已知线段，点是的中点，点是的三等分点，且点在点的右边． 在线段上是否存在一点，使得点是的中点，同时点也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，画图及理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点、三等分点的计算，掌握线段和差的计算方法，数形结合分析是解题的关键． 根据题意，以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图，可得，根据中点的定义可得，由此线段和差的计算可得，，由此即可求解． 【详解】解：存在，理由如下， 以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图， 理由：∵， ∴， ∴， ∴是的中点， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点． 22．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 23．如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)EF的长为10 (2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝ 【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10； （2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案； （3）由EF＝20−（t＋t）＝20−t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20−t求出EF的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别为AM和BN的中点， ∴EM＝AM，FN＝BN， 当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN， ∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10， ∴EF的长为10． （2）当点N到达点A时，则3t＝20， 解得t＝， ∴t的取值范围是0≤t≤， ∵AB＝20， ∴AB＝×20＝5， ∵AM＝2t，BN＝3t， ∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t， ∴EF＝20−（t＋t）或EF＝t＋t−20， 当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20−（t＋t）＝5或t＋t−20＝5， 解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去）， ∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的． （3）存在，EF＝． 由（2）得， ∴EF随t的增大而减小， ∴当t＝时，EF的值最小，此时，， ∴当线段EF最短时，则线段EF＝． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键． 24．如图，线段，动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线运动，运动时间为 t 秒，M 为的中点． (1)当点 P 在线段 上运动时， ①当 t 为多少时，？②求的值． (2)当 P 在延长线上运动时，N为的中点，说明线段的长度不变，并求出其值． (3)在 P 点的运动过程中，是否存在这样的 t 的值，使 M、N、B 三点中的一个点 是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出 t 的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)①6秒；②； (2) (3)或36． 【分析】本题考查了两点间的距离，整式加减，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． （1）①分两种情况讨论：点P在点B左边；点P在点B右边，分别求出x的值即可； ②，表示出后，化简即可得出结论； （2），表示出的长度，即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①当P在线段上时；②当P在线段的延长线上，M在线段上时；③当P和M都在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：①设出发x秒后， 当点P在点B左边时， ， 由题意得：， 解得：； 当点P在点B右边时，， 由题意得：，方程无解． 综上所述：出发6秒后． ②∵， ∴； （2）∵ ∴（定值）； （3）解：①当P在线段上时，如图1，有，． 若， 则， 解得，不合题意，舍去． ②当P在线段的延长线上，M在线段上时，如图2，有． 若，则， 解得． ③当P和M都在线段的延长线上时， 如图3，有． 若， 则， 解得． 综上所述：或36． 25．如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)．地 城 类型04 动点问题求时间 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 26．如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 27．如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 28．如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 29．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A和点B之间的距离，且a、b满足． (1)填空：_____，_____； (2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P、Q分别为、的中点，设运动时间为t秒（）； ①问运动时间为多少时，点M与点N重合？ ②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由； ③增加点O为原点，若，求t的值． 【答案】(1)，12 (2)①运动时间为6秒时，点M与点N重合；②点P与点Q不能重合，理由见解析；③ 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）①根据点M与点N重合可得，据此建立一元一次方程，解方程即可求解； ②根据建立方程，解方程得出，根据，即可得出结论； ③若，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：，12； （2）解：①依题意，得：，，， ∵点M与点N重合， ∴，即， 解得， 答：运动时间为6秒时，点M与点N重合； ②点P与点Q不能重合，理由如下： ∵P、Q分别为、的中点， ∴，， ∴当点P与点Q重合时， ∴，即， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴点P与点Q不能重合； ③由②可知：，， 若，则， ∴或（舍去）， ∴t的值为4． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段中点的计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 30．如图，，线段在线段上，点C在点D的右边，且．动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点B匀速运动；同时线段从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动．设点C的运动时间为． (1)当点P与点A重合时， ． (2)当点P与点D相遇时，求t的值． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)取的中点E，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用线段的和与差即可得解； （2）根据“路程和”列方程求解即可； （3）根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可； （4）根据已知条件“”列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：设点A表示原点，则点P表示的数为：，点D表示的数为：， 则； （4）解：点E表示的数为：， ∴， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题与几何问题），线段的和与差，数轴上两点之间的距离，列代数式等知识点，根据题中的等量关系正确列出方程或代数式是解题的关键． 31．如图，点B在线段上，，线段． (1)求线段的长． (2)点E从A点出发，以每秒的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒的速度向左移动，经过t秒后，点E和点F相遇，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差倍分，有理数的混合运算的应用； （1）由，线段，可得，； （2）由路程除以速度和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B在线段上，，线段． ∴，． （2）解：∵点E从A点出发，以每秒的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒的速度向左移动， ∴． 32．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 33．如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动）地 城 类型05 动点求值 (1)若． ①运动后，求的长． ②若点在线段上运动，问经过多长时间，？ (2)如果时，，试探索的长． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了线段的动点问题，解一元一次方程等知识，注意分类讨论是解题关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度，根据列方程，解方程即可； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①当时，，， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴经过后，； （2）当时，，， 当点D在C的右边时， 如图： ∴， ∴， ∴； 当点D在C的左边时， 如图： ∴， ∴， ∴； 综上可得，的长为或． 34．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 35．如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系是解题的关键． （1）根据时间和速度可得：，则，可得即可求解； （2）由可知，，即，即可求解； （3）分类讨论，当点Q在线段上，上，点A的左边，点B的右边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，根据C，D的运动速度知：，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）分四种情况： ①当点Q在线段上时，如图1， ∵， ∴， ∴； ②当点Q在线段上时，如图2， ∵， ∴， ∴（舍）； ③当点Q在点A的左边时，如图3， ∵， ∴， ∴； ④当在点B的右边时，如图4， ∵， ∴， ∴（舍）； 综上所述，的长为或． 36．如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差计算，解题关键是数形结合，熟练掌握中点的定义． （1）根据点B运动的速度进行计算即可； （2）先求出，然后根据中点定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次， ∴当时，线段的长为：； （2）解：当时，点B运动的路程为：， ∵， ∴此时， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 37．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 38．如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，． (1)________，________； (2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离： （1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解； （2）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可； ②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：， 解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒， ∴点行驶的总路程是． 39．已知点在线段上，，线段在线段上移动，且点在点的左侧． (1)若，． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； (2)若，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)）①；②的长为3或5； (2) 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）①由题意易得，，，然后问题可求解； ②由题意可分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，然后根据线段的和差关系进行求解即可； （2）设，，则，则有，，然后可得， 再由求出之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， ①∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴； ②由题意可得： 当点E在点F的左侧时，如图所示： ∵，， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点E在点F的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的长为3或5； （2）∵，，且满足关系式， 如图所示： 设，，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 40．如图，线段的长为，点C为线段的中点，D为线段上一点，且． (1)若，①求线段的长________；②求所有线段长度的总和________． (2)若为直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)①2；②38 (2)1或 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，，利用线段的和差即可求出线段的长；②由图可得，线段有、、、、、，共6条，将这6条线段的长相加即可得出答案； （2）根据题意，对点的位置分三种情况讨论：①点在延长线上；②点在线段上；③点在延长线上，画出对应的示意图，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：①∵线段的长为，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∵D为线段上一点，且， ∴，， ∴； 故答案为：2； ②由图可得，线段有、、、、、，共6条， ∴所有线段长度的总和为 ， 故答案为：38； （2）解：∵D为线段上一点，且， ∴，， ①若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ②若点在线段上，则， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； ③若点在延长线上， 则， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，的值为1或． 41．如图，已知C、D是线段上不重合的两点．地 城 类型06 线段相关证明题 (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查线段的和差计算； （1）由得到； （2）根据和在线段上与线段外，在的左边或右边，分情况讨论，分别画出图形，根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当和都在线段上，且在的左边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 当和都在线段上，且在的右边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 综上所述，或． 42．如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____． (2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 【答案】(1) (2)或 (3)的长度不变，其值为 (4)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，即可求解； （2）根据建立关于t的方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，根据线段中点的定义得出，．再根据即可求解； （4）根据（3）可得出点在的右侧，不能为中点，分两种情况讨论，①当是的中点时，②当是的中点，根据线段,结合图形列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当运动到点时， 当点在线段上，即时， ； 当点在的延长线上时，即时， ， ∴的长度为， 故答案为：． （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或； ∴当或秒时， ； （3）解：的长度不变，其值为，证明如下： 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度是一个常数， 的长度不变，其值为； 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度不变，其值为； （4）解：点在延长线上运动时，， 由（3）可得， ∴， ∴点在的右侧，不能为中点， 分两种情况讨论， ①当是的中点时，如图所示， ∴ ∴ ∵ ∴； ②当是的中点，如图所示， ∴， ∴， ∵是线段的中点，    ∴， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了线段的中点的性质，线段和差的计算，列代数式，一元一次方程的应用；数形结合，分类讨论是解题的关键． 43．如图，C，D是线段上的两点，且满足，M，N分别为和的中点． (1)若，求的长度； (2)证明：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查与线段中点有关的线段和差计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键． （1）先根据线段之间的关系求出，则，再由线段中点的定义得到，则； （2）设，则，由线段中点的定义得到，则，，由此可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴； （2）证明：设， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴． 44．已知：如图，点 C、D 在线段AB上，点D是AB中点，，AB＝12． (1)求线段CD的长； (2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点． 【答案】(1)CD=2 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】（1）根据线段中点的定义求出AD，结合题意求出AC，进而可求出线段CD的长； （2）根据题意作出图形，求出AC=4=CE即可证明． 【详解】（1）解：因为点D是AB的中点， 所以AD=BD=AB=6， 又因为AC=AB=4， 所以CD=AD-AC=6-4=2； （2）解：如图，因为DE=CD=2， 所以CE=CD+DE=2+2=4， 又因为AC=4=CE， 所以C是AE的中点． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，熟知线段的中点把线段分成相等的两条线段是解题的关键． 45．已知，分别为线段上的点， (1)如图，当时，试说明； (2)当时，分别为中点，且，，求的长． 【答案】(1)说明见解析 (2)或 【分析】（）由线段中点的定义可得，再根据线段的和差关系可得，，两式相加即可求证； （）设，则，，分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别画出图形，利用线段中点定义解答即可求解； 本题考查了线段的中点 ，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （2）解：设，则，， 当点在点右侧时，如图， 则， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如图， 则， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 46．如图，已知点在线段上，，． (1)求和的长； (2)线段在线段上移动（点在点左侧），且． ①若点为的中点，试通过计算说明； ②若点在线段上，，求的长．（先借助备用图画出图形，再写计算过程） 【答案】(1)， (2)①见解析；②的长为或 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，即可求解； （2）①根据线段的和差关系求出，的长度，即可证明；②分点在点右侧与左侧两种情况，根据线段的和差关系及中点的定义分别计算即可． 【详解】（1）解： ，， ，； （2）解：①如图所示． 点为的中点， ， ， ， ， ， ； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点在点右侧时， ， ， ， ， ， ； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 47．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)2cm (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值； （2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明； （3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形． 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 48．已知：点C在线段上，D是线段的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C是线段的中点，点E满足，且，试说明C是的中点． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差，线段的定义； （1）由线段中点的定义得，由即可求解； （2）设，，由线段的定义得，，由，即可求解； 理解线段中点的定义，能用已知线段的和差表示出所求线段是解题的关键． 【详解】（1）解：D是线段的中点， ， ； （2）解：，且， 如图，在的左边， 设， ， D是线段的中点， ， ∵，， ， ， C是线段的中点， ， ， ， ， C是的中点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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