精品解析：河北省廊坊贺阳高级中学2025-2026学年高二上学期11月考试数学试题

2025-2026学年度高中数学11月考试 考试范围：直线与圆、椭圆、双曲线 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径. 【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1， 直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1， 原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为. 故选：B 2. 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可. 【详解】因为点到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 所以，即，则椭圆的离心率. 故选：D. 3. 若椭圆与椭圆的离心率相同，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离心率的公式分别求出这两个椭圆的离心率，由已知建立的等式计算求解. 【详解】∵椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，且两椭圆的离心率相同， ，. 故选：D. 4. 椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （ ） A. 32 B. 25 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，再根据条件结合余弦定理及三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 又，， 则， 即， 故， 则. 故选：C. 5. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 6. 已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A. 两个双曲线有公共顶点 B. 两个双曲线有公共焦点 C. 两个双曲线有公共渐近线 D. 两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 7. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由蒙日圆的定义得到，即可求解. 【详解】直线，都与椭圆相切，两直线的交点为， 所以， 所以， 故椭圆的离心率. 故选：A 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误； ∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合）， ∴，故B正确； 因为，即，故C正确； 不妨设，，，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C. 双曲线与C的渐近线相同 D. 双曲线与C的焦点相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】A直接法求离心率；B由双曲线方程写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离；C根据渐近线方程即可判断；D根据双曲线方程确定焦点的位置即可. 【详解】A：因为，，所以，则离心率为，正确； B：因为，一条渐近线为，所以到渐近线的距离，错误； C：它们的渐近线都是，渐近线相同，正确； D：对于双曲线有，双曲线，即与C的焦点都在x轴上，又，所以双曲线与C的焦点相同，正确． 故选：ACD． 11. 已知分别是双曲线的左､右顶点，过点的直线交该双曲线的左，右两支于两点，下列说法正确的是（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若该双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则 C. 或 D. 若直线AD与直线BE交于点Q，点Q在定直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，可得，代入渐近线公式，即可判断A的正误；求出双曲线离心率，由题意可得椭圆离心率，代入公式，求得a值，可判断B的正误；根据题意，可得，求出m的范围，可判断C的正误；设，表示出直线AD与直线BE的方程，联立求出交点Q的横坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理，代入化简，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意双曲线中，则， 所以渐近线方程为，故A错误； 选项B：双曲线的离心率， 所以椭圆的离心率， 所以，解得， 因为，所以，故B正确； 选项C：因为双曲线的渐近线为，直线变形为， 因为直线l交双曲线的左，右两支于两点， 所以，解得或，故C正确； 选项D：设，由题意， 联立，得， 所以， 又，则， ，则， 联立，得， 整理得， 又，代入上式， 化简可得 ， 所以直线AD与直线BE的交点Q在定直线上，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 设向量，满足.求动点的轨迹的方程________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质和双曲线的对称性可知四边形为矩形，则，利用双曲线的定义和勾股定理列式得，代入列不等式化简得，解不等式即可求解离心率范围. 【详解】如图 由题意知四边形为矩形，所以且，所以， 因为，所以， 所以，即：， 所以 ，即： ，所以 ，又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 求适合下列条件的曲线方程： （1）经过直线与的交点，圆心为的圆的标准方程； （2）焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； （3）焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两直线可求出交点坐标，结合圆心坐标可得该圆半径，即可得其标准方程； （2）借助待定系数法，设出该椭圆方程，结合椭圆性质计算即可得； （3）借助待定系数法，设出该双曲线方程，结合双曲线性质计算即可得. 【小问1详解】 ，解得，则该圆经过点， 则半径， 则该圆的标准方程为； 【小问2详解】 由该椭圆焦点在轴上，设其标准方程为，焦距为， 则有，解得， 即该椭圆标准方程为； 【小问3详解】 由该双曲线焦点在轴上，设其标准方程为， 则焦距为，即， 又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 17. 已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可； （2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 由题设条件，可得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 ①因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得 ， 即 ②， 由①－②，得，即， 所以的面积； ②设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 18. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . （1）求椭圆C的标准方程; （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，结合离心率求得，，即可得方程； （2）设，，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立消去，求出，再由可得求出，由即可求解. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c， 当点到直线l的距离取最大值时，则轴，此时， 又椭圆C的离心率，则，即， 解得，，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，即， 可知直线l与椭圆必相交，且直线l的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x得， 则，， 又因为，且， 则，结合可得， 代入可得，解得，即， 则， 所以的面积. 19. 已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. （1）求的方程； （2）若的周长为，求直线的方程； （3）记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）根据双曲线定义求出，再设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. 【小问1详解】 由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． 【小问3详解】 由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学11月考试 考试范围：直线与圆、椭圆、双曲线 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆与椭圆的离心率相同，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （ ） A. 32 B. 25 C. D. 8 5. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A. 两个双曲线有公共顶点 B. 两个双曲线有公共焦点 C. 两个双曲线有公共渐近线 D. 两个双曲线的离心率相等 7. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 10. 双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C. 双曲线与C的渐近线相同 D. 双曲线与C的焦点相同 11. 已知分别是双曲线的左､右顶点，过点的直线交该双曲线的左，右两支于两点，下列说法正确的是（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若该双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则 C. 或 D. 若直线AD与直线BE交于点Q，点Q在定直线上 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 13. 设向量，满足.求动点的轨迹的方程________. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 求适合下列条件的曲线方程： （1）经过直线与的交点，圆心为的圆的标准方程； （2）焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； （3）焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程. 17. 已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . （1）求椭圆C的标准方程; （2）若，求的面积. 19. 已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. （1）求的方程； （2）若的周长为，求直线的方程； （3）记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $