专题16相似三角形常见九类模型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题16 相似三角形常见九类模型 典例详解 类型一、斜交A字型模型 类型二、平行A字型模型 类型三、母子（射影）型模型 类型四、斜交8字型模型 类型五、平行8字型模型 类型六、半角模型 类型七、一线三等角模型 类型八、十字架模型 类型九、手拉手模型 压轴专练 类型一、斜交A字型模型 模型特点 两个三角形有一个公共角（或一组相等的角），且另一组对应角相等（或夹公共角的两边成比例），两三角形形似 “倾斜的 A”，称为斜交 A 字模型。 例1．（20-21九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图， 在中， D ，E分别是边，上的点， 连接，且，如果E是的中点， ， ， 求的长． 类型二、平行A字型模型 模型特点 两个三角形有一个公共顶点，且有一组对边互相平行，另外两组对应边分别相交于公共顶点的两条边上，这样的图形称为平行 A 字模型。核心关键：平行线是模型成立的前提。 例2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 变式2-1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 类型三、母子（射影）型模型 模型特点 两个三角形满足：① 共享一个公共角（核心纽带）；② 一个三角形完全在另一个三角形内部（或在延长线上）；③ 存在一组对应角相等（或夹公共角的两边成比例），这样的 “大含小” 相似图形称为母子型相似模型。 例3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，使，延长交的延长线于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点，，，在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 类型四、斜交8字型模型 模型特点 两个三角形通过 “对顶角” 或 “公共顶点” 连接，两组对应边分别相交（无平行关系），且存在一组对应角相等（或夹对顶角的两边成比例），形似 “8” 字的相似图形，称为斜交 8 字模型。 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，，垂足分别为点，，且，交于点．，，．则（1） ；（2）的面积为 ．    类型五、平行8字型模型 模型特点 两条线段相交形成对顶三角形，且其中一组对边互相平行（无公共顶点的两边平行），这样的 “交叉线 + 平行线” 组合图形，称为平行 8 字模型。核心关键：平行线是模型成立的前提，交叉线形成对顶结构。 例5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 变式5-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 类型六、半角模型 例6．（25-26九年级上·全国·期中）在正方形中，，，、分别在、上．（且不与正方形顶点重合） (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，射线和的延长线交于点，射线和的延长线交于点，连接，请问的面积是否发生变化；如果不变，请求出的面积；如果要变，请说明理由； (3)如图3，连接分别交、于点和点，连接，则，过点作交于点，求证：． 变式6-1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 类型七、一线三等角模型 例7．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长， 变式7-1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 类型八、十字架模型 例8．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： (1)如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； (2)如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 变式8-1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究两条垂直线段的数量关系问题，请按照他们的探究过程完成相关问题． (1)【问题初探】如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请判断线段的数量关系，并证明你的结论． (2)【深入探究】如图2，在矩形中，点分别在边上，且，若，试判断线段的数量关系,并证明你的结论。 (3)【拓展延伸】 如图3，在中，点E为边的一个三等分点，连接，过点C作交于点D，当时，直接写出线段的长． 变式8-2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 类型九、手拉手模型 例9．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图1，在和中，，，D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为______．②的度数为______． (2)类比探究：如图2，在和中，，，D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出P点经过的路径长． 变式9-1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，其中，，绕着点A逆时针旋转得到，连接，，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，，，与相交于点F，点D在线段上运动，若，，求的值； 【拓展深究】 （3）如图3，四边形为正方形，连接，，点E是上一点，连接，点B绕E点顺时针旋转得到点F，连接，，取的中点G，连接，在上取点H，使，过点H作交于点I，试求线段与的位置关系与数量关系． 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点是边上一点，，点在的延长线上，，连结交于点，那么= ． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，高线与交于点，过点作于点．则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 5．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，，． (1)设，______（用含x的表达式表示）； (2)求矩形的面积的最大值． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 7．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 9．（25-26九年级上·浙江金华·期中）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架完全张开的侧面示意图，立杆相交于点，两点置于地面上，经测量与比对，有，． (1)连接，求证：； (2)现已测量出长度为，求长为多少厘米． 10．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 12．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若，E为边上的中点，求的面积． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D，E分别在，上，连接，． (1)与相似吗?为什么? (2)若，，，求的长． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 相似三角形常见九类模型 典例详解 类型一、斜交A字型模型 类型二、平行A字型模型 类型三、母子（射影）型模型 类型四、斜交8字型模型 类型五、平行8字型模型 类型六、半角模型 类型七、一线三等角模型 类型八、十字架模型 类型九、手拉手模型 压轴专练 类型一、斜交A字型模型 模型特点 两个三角形有一个公共角（或一组相等的角），且另一组对应角相等（或夹公共角的两边成比例），两三角形形似 “倾斜的 A”，称为斜交 A 字模型。 例1．（20-21九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 即能满足的条件有2个． 故选：B． 变式1-1．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图， 在中， D ，E分别是边，上的点， 连接，且，如果E是的中点， ， ， 求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用两角相等判定两个三角形相似是解题的关键．　先判定，然后根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】解：E是的中点， ， ， ， ，即， ， ， ， 类型二、平行A字型模型 模型特点 两个三角形有一个公共顶点，且有一组对边互相平行，另外两组对应边分别相交于公共顶点的两条边上，这样的图形称为平行 A 字模型。核心关键：平行线是模型成立的前提。 例2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2-1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 类型三、母子（射影）型模型 模型特点 两个三角形满足：① 共享一个公共角（核心纽带）；② 一个三角形完全在另一个三角形内部（或在延长线上）；③ 存在一组对应角相等（或夹公共角的两边成比例），这样的 “大含小” 相似图形称为母子型相似模型。 例3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，使，延长交的延长线于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握：两角分别相等的两个三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过两角分别相等的两个三角形相似证明,，，则,，， ，将式子变形即可解答． 【详解】解：，， ， 为等腰三角形， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项错误， ，， , 又， ， ， ， ， ， 故选项正确， 在和中， ， 又， ， ， ， 故选项正确， ， ， ， 故选项正确， 故选：． 变式3-1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点，，，在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，所以，又，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）得，， ∴， ∴． 类型四、斜交8字型模型 一元一次方程三种解的情况为 模型特点 两个三角形通过 “对顶角” 或 “公共顶点” 连接，两组对应边分别相交（无平行关系），且存在一组对应角相等（或夹对顶角的两边成比例），形似 “8” 字的相似图形，称为斜交 8 字模型。 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 变式4-1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，，垂足分别为点，，且，交于点．，，．则（1） ；（2）的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识点． （1）根据证明，由全等三角形的性质可知； （2）设，根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定，所以，代入计算求得的长，再根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：（1），， ， ， ， ，， ， ， ； （2）设， ，， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 类型五、平行8字型模型 模型特点 两条线段相交形成对顶三角形，且其中一组对边互相平行（无公共顶点的两边平行），这样的 “交叉线 + 平行线” 组合图形，称为平行 8 字模型。核心关键：平行线是模型成立的前提，交叉线形成对顶结构。 例5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)10； (2)． 【分析】此题重点考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，证明，得成比例线段，进而可以求得； （2）由，得，，则，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 的长为10． （2），的面积为m， ， ，， ， ， ， 的面积是． 变式5-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 【答案】， 【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 类型六、半角模型 例6．（25-26九年级上·全国·期中）在正方形中，，，、分别在、上．（且不与正方形顶点重合） (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，射线和的延长线交于点，射线和的延长线交于点，连接，请问的面积是否发生变化；如果不变，请求出的面积；如果要变，请说明理由； (3)如图3，连接分别交、于点和点，连接，则，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)的面积不变，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）证明，即可； （2）连接，证明，得到，利用，即可得出结论； （3）连接，过作于，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：的面积不变，理由是：    连接， ∵， ∴， 在正方形中， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接，过作于，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 变式6-1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 类型七、一线三等角模型 例7．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长， 【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）7； 【分析】（1）如图1，由可得，即可证得，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证得，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∴，或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关分键． 变式7-1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】【观察感知】；【类比迁移】（）见解析，（）；【拓展延伸】或 【分析】观察感知：证明即可求解； 类比迁移：（）由得，由旋转得，进而根据判定定理“”即可求证；（）过作于点，由得，，，即得，即得到，设，则，由得，得到，即得到，解得，即得，再根据即可求解； 拓展延伸：分当点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数的定义解答即可求解． 【详解】解：观察感知：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（）证明：由题可知，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴； （）解：如图，过作于点， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：当点在左侧时，过作于点，如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧时，过作的延长线于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 类型八、十字架模型 例8．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： (1)如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； (2)如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 变式8-1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究两条垂直线段的数量关系问题，请按照他们的探究过程完成相关问题． (1)【问题初探】如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请判断线段的数量关系，并证明你的结论． (2)【深入探究】如图2，在矩形中，点分别在边上，且，若，试判断线段的数量关系,并证明你的结论。 (3)【拓展延伸】 如图3，在中，点E为边的一个三等分点，连接，过点C作交于点D，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)线段的长为或 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）先求出，，，再结合点E为边的一个三等分点，进行分类讨论，且作图，运用数形结合思想以及相似三角形的判定与性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：，过程如下： 如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ∴， （2）解：，过程如下： 如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， （3）解：∵在中， ∴，， ∴， 当点是靠近的，且在边的一个三等分点，如图，过点作交的延长线于点， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点是靠近的，且在边的一个三等分点， ∴ 即 解得 ∵ ∴ ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 当点是靠近B的，且在边的一个三等分点，如图，过点作交的延长线于点， 同理，得 ∴， ∵点是靠近B的，且在边的一个三等分点， ∴ 即 解得 同理证明 ∴ ∴ ∵ ∴； 综上：满足题意的的值为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 变式8-2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 【答案】【探究】；（1）；（2） 【探究】根据题意 ， ，则，即可求解； （1）根据题意证，得，则 ，则 ，即可求解； （2）如图，作于G，设，则，则， 由， 得 ，设，可知，可得，即可求解. 【详解】解：【探究】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【应用】解：（1）∵， ∴设， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，作于G， 设，则 ， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴ ， 设， ∴， ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 类型九、手拉手模型 例9．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图1，在和中，，，D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为______．②的度数为______． (2)类比探究：如图2，在和中，，，D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出P点经过的路径长． 【答案】(1)①；② (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）①证，得，，即可得出；②由①得，，则； （2）先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得 ，同（1）①得，然后证，得，，则； （3）同（2）得，得，证出，由题意得点P的运动轨迹为，是的中位线，则，再证，求出，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1； ②由①得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同（1）①得：， ∴， ∴，， ∴； （3）解：同（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当点D与A重合时，点E与B重合，的中点，记为； 当点D与B重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示： 则点P的运动轨迹为，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即P点经过的路径长为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 变式9-1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，其中，，绕着点A逆时针旋转得到，连接，，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，，，与相交于点F，点D在线段上运动，若，，求的值； 【拓展深究】 （3）如图3，四边形为正方形，连接，，点E是上一点，连接，点B绕E点顺时针旋转得到点F，连接，，取的中点G，连接，在上取点H，使，过点H作交于点I，试求线段与的位置关系与数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）根据旋转的性质得，，，再利用全等三角形判定即可证明； （2）由题意，设，，根据相似三角形的性质得到，则有，利用勾股定理求出，通过证明得到，，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点，根据旋转的性质得到，，先证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，利用三角形中位线定理得到，，结合推出，再通过证明，得到，通过计算得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵绕着点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点， ∵点B绕E点顺时针旋转得到点F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、含30度的直角三角形、勾股定理、正方形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先求出，证明，利用相似比得到，然后证明，同样利用相似比得到，完成求解． 【详解】解：∵于点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点是边上一点，，点在的延长线上，，连结交于点，那么= ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的常用结论，相似三角形的判定和性质定理．过点作得出 ，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值 ．正确做出辅助线是解题关键 ． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，高线与交于点，过点作于点．则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）只需证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）在上取一点，使得，证明,然后求即可． 【详解】（1）， , ， ， ， ； 故答案为：． （2）在上取一点，使得，则为等腰直角三角形， ， ,, ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)40，1200 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质、二次函数求最值： （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ； （2）解：设正方形零件的边长为 ， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， 当时，长方形的面积最大为1200． 故答案为：40，1200． 5．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，，． (1)设，______（用含x的表达式表示）； (2)求矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，然后通过勾股定理求得，即可得到的表达式； （2）设矩形的面积为，通过矩形的面积，得到，通过二次函数的图象与性质，可知其最大值． 【详解】（1）解：D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：设矩形的面积为， 矩形的面积， ， ， 其函数图象开口向下， 时，矩形的面积取得最大值，最大值为． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 【答案】 【分析】根据重心的性质得到，再根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵点为的重心， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即与的比为． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍． 7．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，于点， ，， ， ， ； （2）解：，，， ， ∴． 8．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）①先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ②过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9．（25-26九年级上·浙江金华·期中）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架完全张开的侧面示意图，立杆相交于点，两点置于地面上，经测量与比对，有，． (1)连接，求证：； (2)现已测量出长度为，求长为多少厘米． 【答案】(1)证明见解析 (2)厘米 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）利用相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 答：长为厘米． 10．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【答案】（1）①；②60．（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． (1)根据三角形内角和定理计算，根据，得到即可． (2) 根据，得 ，求得的长即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 12．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若，E为边上的中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的性质和判定是解答本题的关键． （1）根据两组对应角相等可得三角形相似； （2）分别求出 ，，根据面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴ ，即 ， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D，E分别在，上，连接，． (1)与相似吗?为什么? (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是7． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质可知，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是7． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （2）设，可得，由（1）可得得到，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）设， ∵点为的中点， ∴，， 由（1）得，， 解得或（不符合题意，舍去） 由（1）得， ∴，即，可得， ∵， ∴， ∴的长是； （3）如图，取的中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长是12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线，构造相似三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $