专题 相似三角形常见的基本模型5大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

（浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 专题 相似三角形常见的基本模型 题型一　“A字”型及其变形 1．（2023秋•苏州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，DE＝2，则BC的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，即可求出BC的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴BC＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”是解题的关键． 2．（2023秋•秦州区期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．12 C．9 D．8 【分析】根据已知条件可得，证明△ADE∽△ABC，即可求解． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝3， ∴△ABC的面积为12， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，中位线的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2023秋•沭阳县期末）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（　　） A．2：1 B．1：3 C．1：2 D．3：1 【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，AB＝CD， ∴△BEF∽△DCF， ∵点E是AB的中点， ∴BECD， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 4．（2024春•周村区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，连接DE．下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：AD，BE是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴△DEG∽△ABG， ∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，， ∴DGAG， ∵BG：EG＝AB：DE＝2：1， ∴GB：BE＝2：3， ∴S△AGB：S△AEB＝2：3， ∵AE＝EC， ∴S△AEBS△ABC， ∴S△AGBS△ABC， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴S△CDES△ABC， ∴， 结论成立的是， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质． 5．（2023秋•德清县期末）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝4，AB＝12，AC＝8，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先说明△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质得结论． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB， ∴△ADE∽△ACB. ∴． ∴． ∴AE＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”、“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键． 6．（2023秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】根据线段的中点定义可得CDBC，再根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，进而可得△ABC∽△A′DC，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴CDBC， 由平移得：AB∥A′B′， ∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C， ∴△ABC∽△A′DC， ∴（）2＝（）2， ∵△ABC的面积为16， ∴△A′DC的面积△ABC的面积＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023秋•宿松县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． （1）求证：DE＝BD+CE； （2）若AD＝4，BD＝3，CE＝2，求BC的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△DBO和△OEC是等腰三角形，从而可得DB＝DO，OE＝EC，然后利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得DE＝5，再利用平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，从而可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵OB和OC分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴DB＝DO，OE＝EC， ∵DE＝DO+OE， ∴DE＝BD+EC； （2）解：∵BD＝3，CE＝2，AD＝4 ∴DE＝BD+CE＝5，AB＝AD+BD＝7， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，与等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023秋•城关区校级期中）如图，DE∥BC，且∠ABE＝∠C． （1）求证：AE2＝AD•AB； （2）如果AE＝4，BD＝6，求AD． 【分析】（1）易证△ABE∽△ACB，以此得到AC，易证△ADE∽△ABC，得到，将AC代入整理即可得到所证结论； （2）由BD＝6，可得AB＝6+AD，结合（1）中的结论可得关于AD的一元二次方程，求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB， ∴， ∴AC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 整理得：AE2＝AD•AB； （2）解：∵BD＝6， ∴AB＝BD+AD＝6+AD， 由（1）知，AE2＝AD•AB， ∴42＝AD（6+AD）， 解得：AD＝2或AD＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴AD＝2． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题关键． 9．（2023秋•新野县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上不同于B、C的一动点，过D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD． （1）求证：△DBE∽△ABC； （2）当AC＝3，BC＝4，BD＝2时，求△ADE的面积． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BED＝90°，证明∠ACB＝∠BED，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）首先利用勾股定理得到AB5，进而求得S△ACD＝S△ADB3，推导出S△ABC＝6，然后利用2，求得S△DBE，最后利用S△ADE＝S△ADB﹣S△DBE解答即可． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠C＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△DBE∽△ABC； （2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90° AC＝3，BC＝4，BD＝2 ∴CD＝BC﹣BD＝2， AB5， ∴S△ACD＝S△ADBAC•BC＝3， ∴S△ABC＝6， ∵△DBE∽△ABC， ∴2， ∴S△DBES△ABC， ∴S△ADE＝S△ADB﹣S△DBE＝2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 题型二 “8字”型及其变形 1．（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 【解答】解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键． 2．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，连结DE交对角线AC于点F，若∠DAC＝30°，∠DEC＝45°，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1.5 【分析】设DC＝a，根据矩形的性质可得AD∥CE，∠ADC＝∠DCB＝90°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AC＝2a，ADa，然后在Rt△DCE中，利用等腰直角三角形的性质可求出CE的长，最后证明8字模型相似△ADF∽△CEF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：设DC＝a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC＝2a，ADCDa， ∵∠DEC＝45°， ∴CEa， ∵AD∥CE， ∴∠DAF＝∠FCE，∠ADF＝∠DEC， ∴△ADF∽△CEF， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023秋•莲池区期末）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，阴影部分的面积是2，则正方形ABCD的边长是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正方形性质及相似三角形性质易得，再结合已知条件可求得S△CDM，最后利用三角形面积即可公式即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝AD， ∴∠OAM＝∠OCD，∠OMA＝∠ODC， ∴△OAM∽△OCD， ∴， ∵M为AB的中点， ∴AMABCD， ∴， ∵阴影部分的面积是2， ∴S△COD＝2×2＝4， ∴S△CDM＝4+2＝6， ∴CD•AD＝6， 即AD2＝12， ∴AD＝2， 即正方形ABCD的边长是2， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质及相似三角形，结合已知条件求得是解题的关键． 4．（2023秋•东河区期末）如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 　 ． 【分析】根据三角板的角度可得△ABC是等腰直角三角形，设AB＝a，则BC＝a，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得CD，进而根据AB∥CD，得出△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：由于将一副三角板按图叠放， ∴AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形，依据题意，设AB＝a，则BC＝a， ∴CDa， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2024•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝2AE，EC、BD交于点F．BD＝10，则DF的长为 　 　． 【分析】利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，再结合已知可得EB＝3AE，CD＝2AE，然后再证明8字模型相似三角形△EBF∽△CDF，从而利用相似三角形的性质可得，进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AB＝2AE， ∴EB＝3AE，CD＝2AE， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠ECD，∠EBD＝∠BDC， ∴△EBF∽△CDF， ∴， ∴DFBD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 6．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝　 　． 【分析】延长AF、BC交于点H，由平行四边形的性质及E、F分别为BC、CD的中点，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，则CB＝AD＝2CE，再证明△HCF∽△ADF，得1，则HC＝AD＝CB＝2CE，所以HE＝3CE，再证明△ADG∽△HEG，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长AF、BC交于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为BC、CD的中点， ∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF， ∴CB＝AD＝2CE， ∵HC∥AD， ∴△HCF∽△ADF， ∴1， ∴HC＝AD＝CB＝2CE， ∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE， ∵AD∥HE， ∴△ADG∽△HEG， ∴， ∴DG：EG＝2：3， 故答案为：2：3． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•凤阳县期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 【分析】（1）由题意可直接得到结论； （2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AOB∽△COE； （2）∵△AOB∽△COE， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB． ∴， ∴， 即OB2＝OF•OE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 8．（2023•上城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线． （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长． 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，据此可得出结论； （2）设DP＝x，则AD＝CP＝1+x，然后由（1）的结论得AP：DP＝PC：BP，据此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BC是∠ABD的平分线， ∴∠ABC＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC， 又∠APC＝∠DPB， ∴△APC∽△DPB． （2）解：设DP＝x， ∵AP＝PB＝1， ∴AD＝AP+DP＝1+x， 又AD＝CP， ∴CP＝1+x， 由（1）得：△APC∽△DPB， ∴AP：DP＝PC：BP， 即：1：x＝（x+1）：1， ∴x2+x＝1， ∴x2+x﹣1＝0， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的证明方法，理解相似三角形的性质，难点是设置适当的未知数，利用相似三角形的性质列出方程． 题型三 手拉手型 1．（2023•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，从而利用等式的性质可得∠BAB′＝∠CAC′，进而可证△BAB′∽△CAC′，然后利用相似三角形的性质可得∠BB′A＝∠CC′A，，再利用平移的性质可得CC′∥B′E，，从而利用平行线的性质可得∠BB′E＝30°，最后证明△BCA∽△BEB′，从而可得∠BEB′＝90°，进而在Rt△BEB′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：连接BB′， ∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴cos30°， ∵△ABC∽△AB'C'， ∴，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°， ∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′， ∴∠BAB′＝∠CAC′， ∴△BAB′∽△CAC′， ∴∠BB′A＝∠CC′A，， 由平移得： CC′＝B′E，CC′∥B′E， ∴， ∵CC′∥B′E， ∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°， ∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°， ∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°， ∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°， ∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°， ∴∠BB′E＝30°， ∴∠BB′E＝∠CAB＝30°， ∴△BCA∽△BEB′， ∴∠BEB′＝∠ACB＝90°， ∴BE＝B′E•tan30°， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023秋•富锦市校级期末）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　 　． 【分析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BA．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC． 当∠D＝∠C或∠E＝∠B或时，△ADE∽△ACB． 故答案为：∠D＝∠C或∠E＝∠B或． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系． 3．（2024秋•广陵区月考）如图，△ABC≌△EBD，连接AE、CD，且点A、E、D在同一条直线上，求证：△ABE∽△CBD． 【分析】根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出AB＝EB，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，推出，∠ABE＝∠CBD，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明△ABE∽△CBD． 【解答】证明：∵△ABC≌△EBD， ∴AB＝EB，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD， ∴，∠ABC+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD， ∴△ABE∽△CBD． 【点评】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 4．（2023秋•佛山期末）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键． 5．（2023秋•大东区期末）如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠ABC＝∠DBE，∠BAD＝∠BCE． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若AB：DB＝5：2，AC＝6，直接写出线段DE的长度为 　 　． 【分析】（1）由∠ABC＝∠DBE得到∠ABD＝∠CBE，又∠BAD＝∠BCE，即可证明△ABD∽△CBE； （2）由△ABD∽△CBE，得到AB：BD＝BC：BE，又∠ABC＝∠DBE，推出△ABC∽△DBE，得到AB：BD＝AC：DE，即可求出DE的长． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵∠BAD＝∠BCE， ∴△ABD∽△CBE； （2）解：∵△ABD∽△CBE， ∴AB：BD＝BC：BE， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴△ABC∽△DBE， ∴AB：BD＝AC：DE， ∴6：DE＝5：2， ∴DE＝2.4， ∴DE的长是2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定方法． 6．（2023秋•和平区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积． 【分析】（1）由∠AFD＝∠ABC，，即可得出△ABC∽△AFD； （2）证明△AED∽△BEC，得，从而可得结论． 【解答】解：（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF， 即∠AFD＝∠ABC， ∵， ∴△ABC∽△AFD， （2）由（1）得：△ABC∽△AFD， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， ∵AD＝2，BC＝5， ∴， ∵S△ADE＝20， ∴S△BCE＝125． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相似三角形性质． 7．（2023秋•细河区期末）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若AD＝4，AB＝6，BC＝8，求DE的长． 【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE，根据三角形的外角定理得出∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，则∠ADE＝∠B，即可求证△ABC∽△ADE； （2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE++∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， ∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠BAD＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； （2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE， ∴， ∵AD＝4，AB＝6，BC＝8， ∴ ∴DE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 8．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE． （1）①求证：△ABC∽△ADE； ②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； （2） 如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE． 求证：CE⊥BC． 【分析】（1）①根据两个角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根据∠BAC＝∠DAE，可证明结论； ②由①知，当AB＝AC时，AD＝AE，则△ADE是等腰三角形； （2）同理证明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论． 【解答】（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， 即， 又∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ②解：△ADE是等腰三角形，理由如下： 由①知，， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE， ∴△BAC∽△DAE， ∴， ∴， 又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝90°， ∴CE⊥BC． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2023秋•驿城区期末）已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D． （1）在图1中，写出其中两对相似三角形． （2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC． ①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明； ②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长． 【分析】（1）利用两个角相等可得△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC； （2）①利用两边成比例且夹角相等证明△DBC∽△DC'A，得，∠DC'A＝∠DBC，可得结论； ②分点C'在线段AB或AB的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理列方程可得答案． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC； （2）①，AC'⊥BC，理由如下： 由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD， ∴， 如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°， ∴∠BDC＝∠C'DA， ∴△DBC∽△DC'A， ∴，∠DC'A＝∠DBC， ∵∠DEB＝∠CEC'， ∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°， ∴AC'⊥BC， ∴，AC'⊥BC； ②如图，当点A、B、C'在同一直线上时， 由①知，，AC'⊥BC， 设BC＝x，AC'＝2x， 在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝（2）2， 解得x（负值舍去）， 如图，当A、C'、B在同一直线上时， 同理可得，x2+（2x）2＝（2）2， 解得x（负值舍去）， 综上：BC或． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型﹣旋转相似是解题的关键． 题型四 　双垂直型 1．（2023秋•科左中旗期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先利用勾股定理求出，再证明△ABD∽△CAD，利用三角形相似的性质即可求出CD的长． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝4，BD＝2， ∴， ∵∠BAD+∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴， ∴CD＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了射影定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2023秋•东港市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝1，BD＝4，则AC的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【分析】利用射影定理得到AC2＝AD•AB，然后利用平方根的定义求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴AC2＝AD•AB， 即AC2＝1×（1+4）， 解得AC或AC（舍）， 即AC的长为． 故选：A． 【点评】本题考查了射影定理：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 3．（2023秋•永城市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BD C．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC 【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决． 【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB， CD2＝AD•BD； ∴； ∴CD•AC＝AD•BC， ∴A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 【点评】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答． 4．（2023•望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论； （2）由AC2＝AB•AD得到62＝（AD+5）•AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵AC2＝AB•AD， ∴62＝（AD+5）•AD， 整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4， ∵CD2＝AD•BD， ∴CD2． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 5．（2023秋•双峰县期末）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：AC•CF＝CB•DF． 【分析】先证明△FDA∽△FCD，得出，再证明△ACD∽△CBD，可得，即可解答． 【解答】证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵E为CB的中点， ∴CE＝EB＝DEBC， ∴∠B＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠ACD+∠CAB＝90° ∴∠B＝∠ACD， ∴∠ADF＝∠ACD， 又∵∠F＝∠F， ∴△FDA∽△FCD， ∴， ∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴， 即AC⋅CF＝CB⋅DF． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 6．（2023秋•镇平县期中）问题情境：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． 结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明△BOF∽△BED． 【分析】根据射影定理得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，则BO•BD＝BF•BE，即，加上∠OBF＝∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED． 【解答】证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°， ∴BC2＝BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE，即， 而∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质． 7．（2023秋•西山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G． （1）求证：EB2＝EG•EA； （2）连接CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论； （2）由直角三角形的性质得BDAC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案． 【解答】证明：（1）∵AE⊥BD， ∴∠BGE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BGE＝∠ABE， ∵∠BEG＝∠AEB， ∴△ABE∽△BGE， ∴， 即EB2＝EG•EA； （2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点， ∴BDAC＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵∠CGE＝∠DBC， ∴∠CGE＝∠DCB， ∵∠GEC＝∠GEC， ∴△GEC∽△CEA， ∴， ∴EC2＝GE•EA， 由（1）知EB2＝EG•EA， ∴EC2＝EB2， ∴BE＝CE． 【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决此题关键． 题型五　一线三等角型 1．（2023秋•秀峰区校级期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，BD＝8，那么AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据已知条件能证明△ABC∽△CDE，则，代入数值从而求得AB的长即可． 【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠A+∠ACB＝∠DCE+∠ACB， ∴∠A＝∠DCE， ∴△ABC∽△CDE， ∴， ∵C是线段BD的中点，ED＝2，BD＝8， ∴BC＝DC＝4， 即， 解得AB＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是证明△ABC∽△CDE解答． 2．（2023秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（　　） A．4 B． C． D．5 【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案． 【解答】解：∵EF⊥FG， ∴∠EFB+∠GFC＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， ∴∠GFC+∠FGC＝90°， ∴∠EFB＝∠FGC， ∴△EFB∽△FGC， ∴， ∵BE＝3，BF＝2，FC＝6， ∴， ∴CG＝4， 同理可得△DAE∽△EBF， ∴， ∴， ∴AE， ∴BA＝AE+BE3， ∴DG＝CD﹣CG4． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出CG和AE的长是解题的关键． 3．（2023春•荣昌区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到AD，DE，CE的长；再根据△ADE∽△EFC，利用对应边成比例即可得CF的长． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6， ∴CD＝6， 又∵E是CD的中点， ∴DE＝CE＝3， Rt△ADE中，AD3， 由题可得，∠D＝∠C＝∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠EFC+∠CEF， ∴∠AED＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴，即， 解得CF， 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的性质以及勾股定理的运用，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．（2023秋•南城县期中）如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 【分析】（1）由∠ADE＝60°，证明∠DAB＝∠EDC，可证得△ABD∽△DCE； （2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【解答】证明（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC； ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3； ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝4，CE， ∴， 解得AB＝6． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键． 5．（2023秋•西岗区期末）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF，求正方形ABCD的边长． 【分析】根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CEF，从而证明△BAE∽△CEF，得出，即可解决问题． 【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BAE∽△CEF， ∴， ∵AB＝BC， ∴， ∴， ∴CE＝4， ∴BC＝CE+BE＝4+2＝6， ∴正方形ABCD的边长为6． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟悉基本几何模型是解题的关键． 6．（2023秋•魏都区校级期末）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD＝∠ACP，从而可得∠PCD＝∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 7．（2023秋•谢家集区期末）已知等边△ABC，E，F分别在边AB、AC上，将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． （1）求证：△BED∽△CDF； （2）若CD＝2BD时，求． 【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠B＝∠C，再由翻折及“一线三等角”可推得∠BED＝∠CDF，则△BED∽△CDF； （2）设BD＝1，则CD＝2，ED＝AE＝x，DF＝AF＝y，由相似三角形的性质可得x与y的关系式，解得它们的值，则答案可求． 【解答】解：（1）证明：∵等边△ABC ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° ∵将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． ∴∠EDF＝∠A＝60° ∵∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120° ∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣60°＝120° ∴∠BED＝∠CDF 又∵∠B＝∠C ∴△BED∽△CDF； （2）∵CD＝2BD ∴设BD＝1，则CD＝2， ∵翻折， ∴设ED＝AE＝x，DF＝AF＝y ∴AB＝BC＝AC＝3，BE＝3﹣x，CF＝3﹣y ∵△BED∽△CDF ∴ ∴ 由得： y① 由得： y② 由①②解得：x，y ∴ ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢固掌握相关判定与性质，是解题的关键． 8．（2023秋•陵城区期末）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上时，且AP＝AQ，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3）在（2）的条件下，若BP＝a，CQa时，求点P、Q两点间的距离．（用含a的代数式表示） 【分析】（1）根据两角对应相等，其中一组等角的对边相等的两个三角形全等证明即可． （2）结论：△BPE∽△CEQ．证明两个角对应相等即可． （3）由△BPE∽△CEQ，可得，推出BE＝CEa，BC＝3a，AB＝ACBC＝3a，AQ＝CQ﹣ACa﹣3aa，AP＝AB﹣BP＝3a﹣a＝2a，在Rt△APQ中，利用勾股定理，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ＝∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， ∵AP＝AQ，AB＝AC， ∴BP＝CQ， ∵∠B＝∠C， ∴△BPE≌△CEQ（AAS）； （2）如图2， ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°， ∴∠BEP＝∠EQC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ； （3）解：∵△BPE∽△CEQ， ∴， ∵BE＝CE， ∴， 解得：BE＝CEa， ∴BC＝3a， ∴AB＝ACBC3a＝3a， ∴AQ＝CQ﹣ACa﹣3aa，AP＝AB﹣BP＝3a﹣a＝2a， 在Rt△APQ中，PQa． 【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质解决问题． 9．（2023秋•韩城市期末）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE． （1）求证：①△AEF∽△DCF； ②△ADF∽△BCD； （2）若AB＝3BD＝6，求△ADF的面积． 【分析】（1）①首先利用SAS证明△ACE≌△BCD，∠EAC＝∠DBC＝60°，且∠AFE＝∠DFC，可证明相似； ②利用三角形外角的性质可得∠ADF＝∠BCD，可证明△ADF∽△BCD； （2）过点C作CH⊥AB于H，由等边三角形的性质首先求出S3，由②知△ADF∽△BCD，则（）2，从而得出答案． 【解答】（1）证明：①∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵△EDC是等边三角形， ∴CD＝EC，∠DCE＝60°， ∴∠BCE＝∠ACE， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠EAC＝∠DBC＝60°， ∴∠EAC＝∠CDE＝60°， 又∵∠AFE＝∠DFC， ∴△AEF∽△DCF； ②∵△ABC与△EDC为等边三角形， ∴∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ADF+∠BDC＝120°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BDC+∠BCD＝120°， ∴∠ADF＝∠BCD， 又∵∠DAF＝∠CBD， ∴△ADF∽△BCD； （2）解：过点C作CH⊥AB于H， ∵△ABC是等边三角形，AB＝3BD＝6， ∴BD＝2，AC＝BC＝AB＝6， ∴AD＝4， 在Rt△BCH中，∠B＝60°， ∴∠BCH＝30°， ∴BH， ∴CH3， ∴S3， 由②知△ADF∽△BCD， ∴（）2， 即， ∴S． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 【分析】（1）先根据已知条件证明∠CBF＝∠APE和∠BCF＝∠A，再根据相似三角形的判定证明△PAE∽△BCF即可； （2）过点P作PO⊥AC交AB于点O，再利用相似三角形的判定定理证明△EOP∽△FCP，从而证明，然后根据中位线定理求出，从而求出答案即可； （3）按照（2）中的方法进行解答即可． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠PCF+∠BCF＝90°，∠CPF+∠CBP＝90°， ∵BP⊥PE， ∴∠BPE＝90°， ∴∠CPF+∠APE＝90°， ∴∠CBF＝∠APE， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠PCF+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∴△PAE∽△BCF； （2）如图所示：过点P作PO⊥AC交AB于点O， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）可知，当，理由如下： 过点P作PO⊥AC交AB于点O，如（2）中的图， ∴∠APO＝∠ACB＝90°， 由（1）可知：∠CBF＝∠APE，∠BCF＝∠A， ∴∠AEP＝∠BFC，∠OEP＝∠PFC， ∵∠EOP+∠A＝∠PCF+∠A＝90°， ∴∠EOP＝∠PCF， ∴△EOP∽△FCP， ∴， ∵P为AC中点，OP∥BC， ∴OP是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题关键是正确识别图形，熟练掌握利用相似三角形的性质和判定解答问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 专题 相似三角形常见的基本模型 题型一　“A字”型及其变形 1．（2023秋•苏州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，DE＝2，则BC的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 2．（2023秋•秦州区期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．12 C．9 D．8 3．（2023秋•沭阳县期末）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（　　） A．2：1 B．1：3 C．1：2 D．3：1 4．（2024春•周村区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，连接DE．下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•德清县期末）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝4，AB＝12，AC＝8，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2023秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 7．（2023秋•宿松县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． （1）求证：DE＝BD+CE； （2）若AD＝4，BD＝3，CE＝2，求BC的值． 8．（2023秋•城关区校级期中）如图，DE∥BC，且∠ABE＝∠C． （1）求证：AE2＝AD•AB； （2）如果AE＝4，BD＝6，求AD． 9．（2023秋•新野县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上不同于B、C的一动点，过D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD． （1）求证：△DBE∽△ABC； （2）当AC＝3，BC＝4，BD＝2时，求△ADE的面积． 题型二 “8字”型及其变形 1．（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，连结DE交对角线AC于点F，若∠DAC＝30°，∠DEC＝45°，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1.5 3．（2023秋•莲池区期末）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，阴影部分的面积是2，则正方形ABCD的边长是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•东河区期末）如图，将一副三角板按图叠放，则的值为 　 ． 5．（2024•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝2AE，EC、BD交于点F．BD＝10，则DF的长为 　 　． 6．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝　 　． 7．（2023秋•凤阳县期末）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 8．（2023•上城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线． （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长． 题型三 手拉手型 1．（2023•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D．2 2．（2023秋•富锦市校级期末）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件：　 　． 3．（2024秋•广陵区月考）如图，△ABC≌△EBD，连接AE、CD，且点A、E、D在同一条直线上，求证：△ABE∽△CBD． 4．（2023秋•佛山期末）如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE． 5．（2023秋•大东区期末）如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠ABC＝∠DBE，∠BAD＝∠BCE． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若AB：DB＝5：2，AC＝6，直接写出线段DE的长度为 　 　． 6．（2023秋•和平区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积． 7．（2023秋•细河区期末）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若AD＝4，AB＝6，BC＝8，求DE的长． 8．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE． （1）①求证：△ABC∽△ADE； ②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； （2） 如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE． 求证：CE⊥BC． 9．（2023秋•驿城区期末）已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D． （1）在图1中，写出其中两对相似三角形． （2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC． ①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明； ②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长． 题型四 　双垂直型 1．（2023秋•科左中旗期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023秋•东港市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝1，BD＝4，则AC的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 3．（2023秋•永城市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BD C．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC 4．（2023•望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 5．（2023秋•双峰县期末）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：AC•CF＝CB•DF． 6．（2023秋•镇平县期中）问题情境：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． 结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明△BOF∽△BED． 7．（2023秋•西山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G． （1）求证：EB2＝EG•EA； （2）连接CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE． 题型五　一线三等角型 1．（2023秋•秀峰区校级期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，BD＝8，那么AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（　　） A．4 B． C． D．5 3．（2023春•荣昌区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 4．（2023秋•南城县期中）如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 5．（2023秋•西岗区期末）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF，求正方形ABCD的边长． 6．（2023秋•魏都区校级期末）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 7．（2023秋•谢家集区期末）已知等边△ABC，E，F分别在边AB、AC上，将△AEF沿EF折叠，A点落在BC边上的D处． （1）求证：△BED∽△CDF； （2）若CD＝2BD时，求． 8．（2023秋•陵城区期末）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上时，且AP＝AQ，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3）在（2）的条件下，若BP＝a，CQa时，求点P、Q两点间的距离．（用含a的代数式表示） 9．（2023秋•韩城市期末）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE． （1）求证：①△AEF∽△DCF； ②△ADF∽△BCD； （2）若AB＝3BD＝6，求△ADF的面积． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）如图（图1），△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一点．取结PB交CD于点F，过点P作PB的垂线交AB边于点E． （1）求证：△PAE∽△BCF； （2）当P是AC边的中点，时，如图2，求的值； （3）当P是AC边的中点．，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$