精品解析：湖南省岳阳市云溪区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期期中质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 3是的算术平方根 B. 三角形的外角和小于四边形的外角和 C. 四边形至少有一个内角不小于 D. 4的平方根是2 6. 已知是正整数，则整数的最大值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2 D. 1 7. 若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算：________． 12. 计算____________． 13. 如图所示，，则___________． 14. 2024年7月，我国科研人员在嫦娥五号带回的月球样本中，发现了月球上一种富含水分子和铵的未知矿物晶体——．我们知道水分子由氢、氧原子构成，一个氧原子的直径为0.000 000 000 148米，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为_________． 15. 分解因式________． 16. 在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为________． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 18. 解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 因式分解 （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 如图，在 中，，求的度数及的外角的度数． 22. 解下列分式方程： （1）； （2）． 23. 随着技术的不断发展和进步，人工智能已经成为现代社会中的一个重要组成部分，越来越多的领域和场景开始应用人工智能技术．星光中学为了积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，已知B型号的机器人模型的单价比A型号的机器人模型单价贵，用2500元购买A型号机器人模型的数量比用5000元购买B型号机器人模型的数量少3台．请你求出A，B两种型号机器人模型的单价．（列分式方程解） 24. 已知算式：，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清． （1）若“□”猜成50，求原式的值． （2）若“□”是正整数，且与可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 25. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 26. 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可． 【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式； 对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式； 对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式； 对于，的分母是x，x是字母，所以是分式； 对于，分母是，x是字母，所以是分式． 综上所述，其中分式有：，，，共3个． 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 3. 在下列根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，对选项依次判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知“两边和大于第三边，两边差小于第三边”是解本题的关键． 根据两边和大于第三边，两边差小于第三边进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边， A、，故不能构成三角形，不符合题意； B、，故不能构成三角形，不符合题意； C、，故不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 3是的算术平方根 B. 三角形的外角和小于四边形的外角和 C. 四边形至少有一个内角不小于 D. 4的平方根是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、多边形外角和与内角和． 逐项判断命题真假：A涉及算术平方根定义；B比较多边形外角和；C利用四边形内角和反证；D区分平方根与算术平方根． 【详解】解：算术平方根的被开方数需非负，，A是假命题； 所有多边形外角和均为，三角形与四边形外角和相等，B是假命题； 四边形内角和为，若每个内角均，则总和，矛盾，∴至少有一个内角，C是真命题； 4的平方根是，而非仅2，D是假命题； 故选：C． 6. 已知是正整数，则整数的最大值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 7. 若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 原方程无解， ， ， 故选：C． 8. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 先对代数式因式分解，再求得，进而代值解题即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴．   故选：A． 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 10. 关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得  或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组  ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方法则和同底数幂的除法法则． 根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 13. 如图所示，，则___________． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：47． 14. 2024年7月，我国科研人员在嫦娥五号带回的月球样本中，发现了月球上一种富含水分子和铵的未知矿物晶体——．我们知道水分子由氢、氧原子构成，一个氧原子的直径为0.000 000 000 148米，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 将看做整体，直接根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故答案为：． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，能提公因式的先提公因式，分解要彻底． （1）提公因式法，因式分解； （2）直接利用公式法分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先计算二次根式的乘法，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算乘除即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在 中，，求的度数及的外角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角性质定理解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ， 外角， 答：． 22. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程无解． 23. 随着技术的不断发展和进步，人工智能已经成为现代社会中的一个重要组成部分，越来越多的领域和场景开始应用人工智能技术．星光中学为了积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，已知B型号的机器人模型的单价比A型号的机器人模型单价贵，用2500元购买A型号机器人模型的数量比用5000元购买B型号机器人模型的数量少3台．请你求出A，B两种型号机器人模型的单价．（列分式方程解） 【答案】种型号机器人模型的单价是500元，种型号机器人模型的单价是625元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据用2500元购买A种型号机器人模型的数量比用5000元购买B种型号机器人模型的数量少3台．建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设种型号机器人模型的单价是元，则种型号机器人模型的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：种型号机器人模型的单价是500元，种型号机器人模型的单价是625元 24. 已知算式：，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清． （1）若“□”猜成50，求原式的值． （2）若“□”是正整数，且与可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】（1） （2）原式存在最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）直接利用二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）由题意可知：最小为，得到原式有最大值，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式存在最大值． ∵与可以合并，“□”是正整数，， ∴“☐”表示的数的最小值为2， ∴原式有最大值， 最大值． 25. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 26. 【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $