7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕空间点、直线、平面的位置关系，按基本事实及推论、位置关系判断、等角定理、异面直线所成角的逻辑层次整合考点，通过必备知识表格梳理、基点诊断查漏、题型示例精讲（如共面共线证明、位置关系判断）、方法总结与真题训练，帮助学生构建空间几何知识体系，突破证明与计算难点。 讲义以正方体等模型为载体培养空间观念（数学眼光），在共面问题证明中强化逻辑推理（数学思维），规范符号语言表达（数学语言）。设计“模型直观-推理证明-真题应用”三步教学，如异面直线所成角用平移法转化，配合分层练习与即时反馈，高效突破考点，助力教师把控节奏，提升学生空间几何应考能力。

7．3　空间点、直线、平面之间的位置关系 [课标要求]　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理．　2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 【必备知识】 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥c⇒a∥c (2)基本事实1的三个推论(确定平面的依据) 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间直线、平面之间的位置关系 (1)空间中直线与直线的位置关系 (2)空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [提醒]　如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反，则两角相等；若一边同向，另一边反向则互补． 4．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：当异面直线所成角为时，称两直线垂直． 【必记结论】 1．平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (2)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列命题正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 解析：选D.对于A，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，若点在直线上，则它们不能确定平面，故B不正确；对于C，当圆上两点为一直径的两个端点时，它们与圆心三点共线，不能确定平面，故C不正确；对于D，梯形的两个底边所在直线平行，可确定一个平面，故D正确． 3．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线与a是异面直线 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一一条直线与a平行 D．α内的所有直线与a都相交 解析：选B.由题意可知直线a与平面α相交，所以平面α内所有直线与a相交或异面，且α内不存在与直线a平行的直线，故A，C，D不正确． 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.正方体中，A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为，所以异面直线A1D与D1C所成的角为. 5．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝________． 解析：根据等角定理知α＝β或α＋β＝180°，若α＝70°，则β＝70°或110°. 答案：70°或110° 6．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分． 解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分． 答案：8　4 题型一　基本事实的应用 【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，且EF＝A1B. 又因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， 所以四边形CD1FE是梯形， 所以直线CE与D1F必相交，设交点为P，如图， 则P∈CE，且P∈D1F， 因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点． [变式]　若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1三点共线． 证明：如图所示，连接BD1，BD，B1D1，A1C， 因为BD1与A1C均为正方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线，所以BD1与A1C相交， 设BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线， 因为BD1⊂平面BB1D1D，所以A1C与平面BB1D1D的交点和A1C与BD1的交点重合， 即M与O重合，故B，M，D1三点共线． 方法指导　共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合． (2)证明共线方法：①先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【对点练习】　1.(1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　 ) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 解析：选B.因为EF∩HG＝P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点， 所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内， 所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内， 所以P在平面ABC和平面ACD的交线上， 又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. (2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(　　 ) 解析：选D.A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面； B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面； C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四点共面； D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面． 题型二　空间两条直线的位置关系判断 【例2】　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　 ) A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 解析：选ABD.对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确． (2)(多选)(2024·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　 ) A．AB1 B．A1C C．A1A D．AD1 解析： 选BCD.对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确； 对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确； 对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确； 对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确． 思维升华　(1)判断空间中两条直线的位置关系的方法： ①构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断； ②利用排除法． (2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法． 【对点练习】　2.(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　 ) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 解析：选D.根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况， 由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况． (2)(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　 ) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确． 题型三　异面直线所成的角 【例3】　(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.法一　如图， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接C1P，BC1，则AD1∥BC1， 所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角， 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝， BP＝， 在△BPC1中，cos ∠PBC1＝，所以∠PBC1＝. 法二　如图， 连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角， 由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点，易知A1B＝BC1＝A1C1， 所以△A1BC1为等边三角形 ， 所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点， 所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝， 故直线PB与AD1所成的角为. (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________． 解析：设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC，则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角，且EO＝， 在△EOF中，根据余弦定理得cos ∠EOF＝，所以∠EOF＝150°， 从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 答案：30° 思维升华　求两条异面直线所成角的方法 (1)平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解； (2)补形法：在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 【对点练习】　3.(1)若正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成角的大小为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求． ∵AF＝EF＝1，EE1＝，且∠AFE＝，∴AE＝， ∴cos ∠AE1F1＝， ∴∠AE1F1＝， 即直线AE1和EF所成角的大小为. (2)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点， 设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝， 所以AE＝. 连接ED，则ED＝. 因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)． 在△EAD中，cos ∠EAD＝. 所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $