第八章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系　 [课标要求]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面). 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：． (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在 平面α内 a⊂α 有无数个 公共点 直线a不在面α内 直线a与平 面α平行 a∥α 没有公 共点 直线a与平 面α斜交 a∩α＝A 有且只 有一个 公共点 直线a与平 面α垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两 平 面 相 交 斜交 α∩β＝l 有一条公 共直线 垂直 α⊥β，且 α∩β＝a (一)必背常用结论 1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 3.等角定理的推论 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等； (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相反，那么这两个角相等； (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且一组对应边的方向相同，另一组对应边的方向相反，那么这两个角互补． (二)盘点易错易混 1.判断点、线、面的位置关系时易忽视平面几何的结论用于空间几何时的正确性致误； 2.对点、线、面的位置关系容易考虑不周全致误； 3.不能正确理解异面直线的概念、不会判断是否是异面直线致误； 4.忽略异面直线所成的角的取值范围致误． 【小题热身】 1．下列命题中正确的是(　　) A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域 解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确． 答案：D 2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一的直线与a平行 D．α内的直线与a都相交 解析：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，A选项不正确，α内存在直线与a相交；B选项正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B. 答案：B 3．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是(　　) A．AB与CF成45°角 B．BD与EF成45°角 C．AB与EF成60°角 D．AB与CD成60°角 解析：由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB与CF成90°角，故A错误； BD与CF平行，CF垂直于EF，所以BD与EF成90°角，故B错误； EF与CG平行，AB与CG成45°角，所以AB与EF成45°角，故C错误； CD与AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB与CD成60°角，故