7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面之间的位置关系”核心考点，依据新课标要求梳理平面基本事实及推论、空间线面位置关系、等角定理、异面直线所成角等内容。通过分析近五年高考真题，明确异面直线所成角计算（如2021全国乙卷）、位置关系判断等高频题型，构建“必备知识+核心题型+精练巩固”的备考体系，对接高考评价要求。 课件亮点在于“数学思维引领下的实战突破”，如用正方体模型培养空间观念，通过共面问题“纳入平面法”、异面直线角“平移法”等技巧，结合母题变式训练（如2024重庆名校联考位置关系题）。帮助学生用数学语言规范证明步骤，提升逻辑推理能力，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第七章 立体几何与空间向量 01 [课标要求] 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理．　 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 7．3　空间点、直线、平面之间的位置关系 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十五) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(五十五) 空间点、直线、平面之间的位置关系 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 感谢观看 【必备知识】 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 不在一条直线上 l⊂α 过该点的公共直线 P∈l 平行 a∥c 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么 A∈l，B∈l， 且A∈α， B∈α⇒ 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 P∈α，且P∈β ⇒α∩β＝l， 且 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线 a∥b且b∥c ⇒ 这条直线在这个平面内 相交 平行 (2)基本事实1的三个推论(确定平面的依据) 自然语言 图形语言 推论1 一条直线和 一点确定一个平面 推论2 两条 直线确定一个平面 推论3 两条 直线确定一个平面 该直线外 2.空间直线、平面之间的位置关系 (1)空间中直线与直线的位置关系 相交 平行 任何 a∩α＝A 1 a∥α a⊂α α∥β (2)空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 个 平行 个 在平面内 个 平面与平面 平行 个 相交 个 α∩β＝l 0 无数 0 无数 3.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ． [提醒]　如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反，则两角相等；若一边同向，另一边反向则互补． 4．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围： 当异面直线所成角为时，称两直线垂直． 相等或互补 锐角(或直角) 【必记结论】 1．平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (2)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，则c与b不可能是平行直线．(　　) × × × √ 2．下列命题正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 解析：选D.对于A，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，若点在直线上，则它们不能确定平面，故B不正确；对于C，当圆上两点为一直径的两个端点时，它们与圆心三点共线，不能确定平面，故C不正确；对于D，梯形的两个底边所在直线平行，可确定一个平面，故D正确． 3．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线与a是异面直线 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一一条直线与a平行 D．α内的所有直线与a都相交 解析：选B.由题意可知直线a与平面α相交，所以平面α内所有直线与a相交或异面，且α内不存在与直线a平行的直线，故A，C，D不正确． 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.正方体中，A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为，所以异面直线A1D与D1C所成的角为. 5．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝________． 解析：根据等角定理知α＝β或α＋β＝180°，若α＝70°，则β＝70°或110°. 答案：70°或110° 6．三个平面最多能把空间分为_____部分，最少能把空间分成______部分． 解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分． 答案：8　4 题型一　基本事实的应用 【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，且EF＝A1B. 又因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， 所以四边形CD1FE是梯形， 所以直线CE与D1F必相交，设交点为P，如图， 则P∈CE，且P∈D1F， 因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点． [变式]　若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1三点共线． 证明：如图所示，连接BD1，BD，B1D1，A1C， 因为BD1与A1C均为正方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线， 所以BD1与A1C相交， 设BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线， 因为BD1⊂平面BB1D1D， 所以A1C与平面BB1D1D的交点和A1C与BD1的交点重合， 即M与O重合，故B，M，D1三点共线． 方法指导　共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合． (2)证明共线方法：①先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【对点练习】　1.(1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　 ) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 解析：选B.因为EF∩HG＝P，E，F，G，H四点分别是 AB，BC，CD，DA上的点， 所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内， 所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内， 所以P在平面ABC和平面ACD的交线上， 又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. (2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(　　 ) 解析：选D.A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面； B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面； C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四点共面； D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面． 题型二　空间两条直线的位置关系判断 【例2】　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　 ) A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 解析：选ABD.对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l， 由基本事实3可知M∈l，故A正确； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β， 即α∩β＝AB，故B正确； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确． (2)(多选)(2024·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　 ) A．AB1 B．A1C C．A1A D．AD1 解析：选BCD.对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确； 对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确； 对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确； 对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确． 思维升华　(1)判断空间中两条直线的位置关系的方法： ①构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断； ②利用排除法． (2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法． 【对点练习】　2.(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　 ) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 解析：选D.根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况， 由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况． (2)(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　 ) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确． 题型三　异面直线所成的角 【例3】　(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.法一　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 连接C1P，BC1，则AD1∥BC1， 所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角， 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2， 则BC1＝， BP＝， 在△BPC1中，cos ∠PBC1＝，所以∠PBC1＝. 法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1， 所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角， 由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点， 知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点，易知A1B＝BC1＝A1C1， 所以△A1BC1为等边三角形 ， 所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点， 所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝， 故直线PB与AD1所成的角为. (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________． 解析：设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC， 则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角， 且EO＝， 在△EOF中，根据余弦定理得cos ∠EOF＝ ，所以∠EOF＝150°， 从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 答案：30° 思维升华　求两条异面直线所成角的方法 (1)平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解； (2)补形法：在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 【对点练习】　3.(1)若正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成角的大小为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求． ∵AF＝EF＝1，EE1＝，且∠AFE＝， ∴AE＝ ， ∴cos ∠AE1F1＝， ∴∠AE1F1＝， 即直线AE1和EF所成角的大小为. (2)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F， 连接AF，易知F为的中点， 设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝， 所以AE＝. 连接ED，则ED＝. 因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)． 在△EAD中，cos ∠EAD＝. 所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 【基础巩固题】 1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b的位置关系为(　　 ) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 解析：选D.由题意，a与b不可能相交，当共面时平行，不共面时为异面直线． 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内． 3．(2024·广东佛山检测)如图，点N为正方形ABCD的中心，平面ECD⊥平面ABCD，且ED＝EC＝CD，M是线段ED的中点，则(　　 ) A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM ≠EN，且直线BM、EN是相交直线 C．BM ＝EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM、EN是异面直线 解析：选A.如图所示，连接BD，BE，MN，点N为正方形ABCD的中心，则BD经过点N，且点N为BD中点，M是线段ED的中点，所以在△EBD中，MN∥EB，又ED＝EC＝CD，且由正方形性质可知BD＝CD，所以EM＝BD＝BN，即四边形EBNM为等腰梯形，又BM，EN为等腰梯形的对角线，所以BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线． 4．(2024·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　 ) A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行 C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点) D．直线c与平面α可能平行 解析：选C.因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O， 所以O∈α，O∈β，O∈γ. 因为β∩γ＝c，所以O∈c， 所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)， 故A，B错误，C正确； 假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α， 这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误． 5．如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.如图，取AC的中点D， 连接DC1，BD，易知AM∥DC1， 所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1 与直线BC1所成的角，即∠BC1D， 因为直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为2，则DC1＝， 则在△BDC1中，由余弦定理可得cos ∠BC1D＝， 即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为. 6．在正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P­EFG的体积为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.连接BD，DF，AC，CG，CE，如图， 设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角， 在△FBD中，易知BD＝2，cos ∠FBD＝，解得x＝. 设PB＝PC＝y，在△PFB中，cos ∠PFB＝y2　①， 因为∠PFB＋∠BFC＝180°， 故cos ∠BFC＝cos (180°－∠PFB)＝－cos ∠PFB， 则在△BCF中，cos ∠BFC＝4， 即cos ∠PFB＝4　②， ①＋②得＋6＝y2＋4，因为y>0，解得y＝2. 因为F为PC的中点，故V三棱锥P­EFG＝V三棱锥C­EFG＝V三棱锥F­ECG， 因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC， 所以△PAC为等腰直角三角形， 则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面 的距离为， 故点F到平面CEG的距离为， S△ECG＝S▱ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB ＝2×2－， 故所求三棱锥的体积为. 7．(多选)已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则(　　 ) A．若l与m不垂直，则l与α一定不垂直 B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30° C．l∥m是l∥α的充分不必要条件 D．若l与α相交，则l与m一定是异面直线 解析：选AC.对于A，当l与m不垂直时，假设l⊥α，因为m⊂α，则l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故A正确；对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°<θ≤30°，故B错误；对于C，若l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α，即l∥m⇒l∥α；若l∥α，因为m⊂α，则l与m平行或异面，即l∥α⇒/ l∥m，所以l∥m是l∥α的充分不必要条件，故C正确；对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，故D错误． 8．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　 ) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 解析：选AB.∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1， ∴O∈平面ACC1A1. ∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD， ∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点， 同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点， ∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， 即C1，M，O三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线， 故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线， 故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确． 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝_______． 解析：如图所示， 设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D， 所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ. 设正方体的棱长为2，则OP＝， 则cos θ＝|cos ∠POC1|＝. 答案： 10．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点， 所以GHAD.又BCAD，所以GHBC. 所以四边形BCHG为平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面，理由如下： 因为BEAF，G是FA的中点， 所以BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BGCH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． 【综合应用题】 11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C， 连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形， 由题意解三角形可得NE＝ME＝， ∴△AMN中MN边上的高h1＝， △EMN中MN边上的高h2＝. ∴平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积 S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝＝. 12．(多选)(2024·苏州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则(　　 ) A．α内不存在直线与l平行 B．α内有无数条直线与l垂直 C．α内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与α垂直的平面 解析：选ABD.如图，对于A，直线l与平面α相交于点 P，所以平面α内不存在直线与l平行，故A正确； 对于B，平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直 线n，平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，故B正确； 对于C，平面α内过点P的直线m与直线l相交，不是异面直线， 故C错误； 对于D，取直线l上除斜足外一点A，过该点作平面α的垂线AO， 则平面POA垂直于平面α，故D正确． 13．(多选)(2024·朝阳模拟)在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝ ，则(　　 ) A．AB⊥CD B．三棱锥A­BCD的体积为 C．三棱锥A­BCD外接球的半径为 D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解析：选ABD.将三棱锥补形为长方体，如图所示． 其中BE＝BN＝1，BF＝2， 所以AB＝CD＝， 连接MF，则AM∥BF，AM＝BF， 所以四边形AMFB为平行四边形， 所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD， 所以AB⊥CD，故A正确； 长方体的体积V1＝1×1×2＝2， V三棱锥A­BEC＝， 同理，三棱锥N­ABD，三棱锥F­BCD，三棱锥M­ACD的体积也为， 所以三棱锥A­BCD的体积V＝2－4×，故B正确； 长方体的外接球的半径为， 长方体的外接球也是三棱锥A­BCD的外接球， 所以三棱锥A­BCD外接球的半径为，故C错误； 连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC， 所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角， 由已知OA＝，AM＝2， 所以cos ∠AOM＝， 所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确． 14．(2024·孝感模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的所有顶点均在体积为4π的球O上，则该正方体的棱长为________，若动点P在四边形A1B1C1D1内运动，且满足直线CC1与直线AP所成角的正弦值为，则OP的最小值为________． 解析：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，球O的半径为R， 则由正方体体对角线L＝a＝2R得R＝， 由V球O＝πR3＝π3＝4π得a＝2； 因为CC1∥AA1，所以AA1与AP所成角的正弦值也是， 即sin ∠A1AP＝， 又因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P， 故sin ∠A1AP＝，即，解得A1P＝， 所以点P的轨迹是以A1为圆心，为半径的圆与四边形A1B1C1D1内的一段弧，如图所示， 设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1， 因为O1A1＝， 所以(O1P)min＝O1A1－A1P＝， 所以(OP)min＝，即(OP)min＝. 答案：2　 $