6.6 数列中的综合问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

6．6　数列中的综合问题 [课标要求]　1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决一些等差与等比数列之间、数列与函数、不等式之间的综合应用问题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用相关知识解决． 题型一　等差数列、等比数列的综合运算 【例1】　已知等差数列{an}的首项a1＝－1，公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*)． (1)若S4－2a2a3＋6＝0，求Sn； (2)若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列，求d的取值范围． 解：(1)因为在等差数列{an}中，a1＝－1，S4－2a2a3＋6＝0， 所以－4＋6d－2(－1＋d)(－1＋2d)＋6＝0，整理得d2－3d＝0，解得d＝0(舍去)或d＝3， 所以Sn＝n×(－1)＋n. (2)由题意知an＝－1＋(n－1)×d＝dn－d－1， 所以an＋1＝dn－1，an＋2＝dn＋d－1. 因为an＋cn，an＋1＋4cn，an＋2＋15cn成等比数列， 所以(an＋1＋4cn)2＝(an＋cn)(an＋2＋15cn)， 整理得＋(8an＋1－an＋2－15an)cn＋－anan＋2＝0. 由题意知关于cn的二次方程有解， 所以(8an＋1－an＋2－15an)2－≥0在n∈N*上恒成立， 将an，an＋1，an＋2代入上式，并整理，得[(2n－3)d－2][(n－2)d－1]≥0　(*)． 因为d>1，所以当n＝1时，不等式(*)等价于(d＋1)(d＋2)≥0，恒成立； 当n＝2时，不等式(*)等价于(d－2)(－1)≥0，则当1<d≤2时，不等式恒成立； 当n≥3时，(2n－3)d－2≥3d－2>0，(n－2)d－1≥d－1>0，不等式(*)恒成立． 综上可知，d的取值范围是1<d≤2. 【对点练习】　1.(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n　①， 当n≥2时，2Sn－1＋　②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1， 即2， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a9， 即，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋ 所以当n＝12或n＝13时，=－78. 题型二　数列与其他知识的交汇问题 角度1　数列与不等式的交汇 【例2】　(1)(2024·南京模拟)已知数列{an}满足a1＝(n≥2，n∈N*)，若对于任意n∈N*，都有≥an成立，则实数λ的最小值是________． 解析：因为当n≥2时，an＝， 所以2nan＝2n-1an－1＋1，而21a1＝3， 所以数列{2nan}是首项为3，公差为1的等差数列，故2nan＝n＋2，从而an＝. 又因为≥an恒成立， 即λ≥恒成立，所以λ≥ 方法一　由(n∈N*，n≥2)， 得(n∈N*，n≥2)，得n＝2， 所以＝2， 所以λ≥2，即实数λ的最小值是2. 方法二　令bn＝，则bn＋1－bn＝， 所以当n＝1时，b2>b1； 当n≥2时，bn＋1<bn. 所以当n＝2时，bn＝取最大值2. 所以λ≥2，即实数λ的最小值是2. 答案：2 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝，当n≥2时＝anSn－an. ①求Sn； ②设数列的前n项和为Tn，若λTn≤(n2＋9)2n恒成立，求λ的取值范围． 解：①因为当n≥2时＝anSn－an， 所以＝(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)， 整理得SnSn－1＝Sn－1－Sn，即＝1. 所以数列是以＝2为首项，1为公差的等差数列， 所以＝n＋1，即Sn＝. ②由①知，＝(n＋1)2n， 所以Tn＝2×2＋3×22＋…＋n×2n-1＋(n＋1)×2n　(*)， 2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n+1　(**)， (*)－(**)得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n+1＝－n×2n+1， 所以Tn＝n×2n+1，则λTn≤(n2＋9)2n恒成立，即λn×2n+1≤(n2＋9)2n， 变形得λ≤， 因为＝3，当且仅当n＝3时，等号成立，所以λ≤3，即λ的取值范围是(－∞，3]. 角度2　数列与函数的交汇 【例3】　已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 013>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 024)＋f(a2 025)的值(　　 ) A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 解析：选A.因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数， 所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0. 因为数列{an}是等差数列，a1 013>0， 故f(a1 013)>0. 再根据a1＋a2 025＝2a1 013>0， 所以a1>－a2 025， 则f(a1)>f(－a2 025)＝－f(a2 025)， 所以f(a1)＋f(a2 025)>0. 同理可得f(a2)＋f(a2 024)>0，f(a3)＋f(a2 023)>0，…， 所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 024)＋f(a2 025)＝[f(a1)＋f(a2 025)]＋[f(a2)＋f(a2 024)]＋…＋[f(a1 012)＋f(a1 014)]＋f(a1 013)>0. 【对点练习】　2.(1)已知函数f(x)＝＝－100，则S2 024等于(　　 ) A．－4 048 B．－2 024 C．2 024 D．4 048 解析：选A.由题可知，f(x)在定义域内单调递增，因为f(－x)＝－ ＝－f(a2 024＋2)，所以a1＋2＋a2 024＋2＝0，所以a1＋a2 024＝－4，所以S2 024＝＝－4 048. (2)(2024·江苏盐城检测)若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 所以， 所以Tn＝＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N*恒成立， 所以，整理得m2 －2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $