8.14 圆锥曲线中探索性与综合性问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考圆锥曲线核心难点，系统覆盖探索性问题（点线存在性、含参数存在性）与综合性问题两大考点，按“题型—角度—例题—方法—练习”逻辑架构梳理，通过考点精析、思维升华、真题演练（含2024年模拟题）等环节，帮助学生构建解题框架，突破存在性论证、参数求解等关键问题。 资料采用“问题驱动-方法提炼-分层实战”模式，如探索性问题用“假设-推导-验证”流程培养推理能力（数学思维），综合问题结合圆的几何性质强化直观想象（数学眼光），设置基础巩固与能力提升练习，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

8．14　圆锥曲线中探索性与综合性问题 题型一　探索性问题 角度1　点、线的存在性问题 【例1】　已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)， 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，Δ>0， 故xM＝， 于是直线OM的斜率kOM＝，即kOM·k＝－9， 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB能为平行四边形． 因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3. 由(1)得OM的方程为y＝－x， 设点P的横坐标为xP， 由得，即xP＝， 将点的坐标代入直线l的方程得b＝，因此xM＝， 四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM， 于是，解得k1＝4－， 所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形． 思维升华　点、线存在性问题的求解方法 1．解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤如下： 第一步：假设满足条件的曲线(直线或点等)存在，用待定系数法设出； 第二步：列出关于待定系数的方程(组)； 第三步：若方程(组)有实数解，则曲线(直线或点等)存在，否则不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． 【对点练习】　1.设椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点为A，下顶点为B，右焦点为F，离心率为. (1)求椭圆C的方程． (2)设过点F的直线l交椭圆C于M，N两点(不同于A，B两点)，试问是否存在直线l使得AM⊥AN？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由上顶点为A，得b＝， 由离心率e＝，且a2－b2＝a2－2＝c2，可得a2＝4， 所以椭圆C的方程为＝1. (2)依题意F，设存在直线l满足题意， 当直线l的斜率为0时，∠MAN≠90°，即AM与AN不垂直，不合题意. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ＝＝， 联立得(2＋m2)y2＋2my－2＝0， 所以y1＋y2＝－. 因为AM⊥AN，所以＝0，即x1x2＋＝0， 所以(1＋m2)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋4＝0， 所以＋4＝0， 所以m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，直线l过点A，不符合题意， 所以直线l的方程为x－3y－＝0. 故存在直线l满足条件，且直线l的方程为x－3y－＝0. 角度2　含参数的存在性问题 【例2】　如图，椭圆C：＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4. (1)求椭圆C的方程； (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解：(1)由椭圆C：＝1(a＞b＞0)经过点P，可得＝1(a＞b＞0)　①， 由离心率e＝得，即a＝2c，则b2＝3c2　②， 将②代入①解得c＝1，a＝2，b＝， 故椭圆C的方程为＝1. (2)法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)　③， 代入椭圆方程＝1并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝　④， 在方程③中，令x＝4得，M的坐标为(4，3k)， 从而k1＝， 注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝k， 所以k1＋k2＝　⑤， ④代入⑤得k1＋k2＝2k－＝2k－1， 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3， 故存在常数λ＝2符合题意． 法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)， 令x＝4，求得M， 从而直线PM的斜率为k3＝， 联立得A， 则直线PA的斜率k1＝，直线PB的斜率为k2＝， 所以k1＋k2＝＝2k3， 故存在常数λ＝2符合题意． 思维升华　含参数的存在性问题的求解方法 求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程． 【对点练习】　2.(2024·山东滨州二模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为OF1的中点，M为椭圆上一点，过P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OM|2＝|PA|·|PB|？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，得a＝，又e＝，所以c＝2，所以b＝＝1， 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2) F1(－2，0)，P(－1，0)， 若直线l的斜率不存在，则|OM|＝1，|PA|＝|PB|＝， 由λ|OM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)， 由消去y，得(5k2＋1)x2＋10k2x＋5k2－5＝0， Δ＝(10k2)2－4(5k2＋1)(5k2－5)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－， 由题意|PA|＝＝， 所以|PA|·|PB|＝(k2＋1)|(x1＋1)(x2＋1)|＝(k2＋1)|x1x2＋(x1＋x2)＋1|＝， 由题意知，直线OM的方程为y＝kx， 由消去y，得(5k2＋1)x2－5＝0， 设M(x0，y0)，则2＝， 由λ|OM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝， 综上，存在实数λ＝2＝|PA|·|PB|成立． 题型二　圆锥曲线的综合问题 【例3】　(2024·广州模拟)已知双曲线C：＝1，直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点． (1)若M，N两点均在双曲线C的右支上，求证：为定值； (2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：(1)证明：如图，F(4，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12， 整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0， 则y1＋y2＝， 由解得t∈， 由|MF|＝， 同理，|NF|＝， 由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0， 则， 由(y2－y1)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝，得y2－y1＝， 所以为定值． (2)由题意，圆的方程为＋2＝， 即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0， 由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上， 令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0， 由(1)可知x1＋x2＝t(y1＋y2)＋8＝， x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝， 代入方程后有x2＋＝0， 即(x2－4)＋(x＋2)＝0， 令解得x＝－2，故圆过定点(－2，0)． 当直线MN：y＝0时，圆过点(－2，0)． 综上，以MN为直径的圆过定点(－2，0)． 思维升华　圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0. 【对点练习】　3.如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝. (1)求抛物线C1和椭圆C2的方程； (2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题知，a＝4，，所以c＝2， 所以b＝，p＝4. 所以抛物线C1的方程为y2＝8x，椭圆C2的方程为＝1. (2)由题设知直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋4. 则⇒y2－8my－32＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32. 所以， 因为直线OC的斜率为， 所以直线OC的方程为y＝x. 由得y2＝1， 则＝1， 同理可得＝1， 所以··＝1， 所以， 要使S1∶S2＝3∶13， 只需＝2， 解得m＝±1， 所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件． 学科网（北京）股份有限公司 $