5.4 平面向量中的综合问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量综合问题，涵盖三角形“四心”应用、模与数量积最值等高考核心考点，按几何应用、范围最值题型分层梳理，通过考点解读、典例精讲、方法总结、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破向量与几何交汇的难点。 资料以“数学眼光”分析几何问题，如用向量数量积证明垂心判定，以“数学思维”提炼最值方法，如坐标法结合圆的性质求范围。设置分层练习与真题回扣，如2024年武汉模拟题精讲，助力学生在有限时间内掌握向量综合题解题策略，为教师提供精准复习节奏指导，提升学生应考能力。

5．4　平面向量中的综合问题 [题型解读]　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 题型一　平面向量在几何中的应用 【例1】　(1)(多选)(2024·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　 ) A．若，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若＝＝，则O为△ABC的外心 D．若＝0，则N是△ABC的重心 解析： 选ACD.对于A，由题意可得·＝＝0，所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图，设，则＝＝1， 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则， 所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误； 对于C，因为＝＝，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． (2)在△ABC中，已知·＝0，且，则△ABC为(　　 ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 解析：选A.分别表示方向上的单位向量， 在∠A的角平分线上， ∵·＝0， ∴＝， 又，∴cos 〈〉＝， 则与的夹角为60°，即∠BAC＝60°， 可得△ABC是等边三角形． 思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 【对点练习】　1.(1)在四边形ABCD中，＝，且满足 ，则等于(　　 ) A．2 B．6 C． D．2 解析：选D.由＝， 得四边形ABCD为平行四边形， 设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p， 则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1， 则m·n＝－⇒cos〈m，n〉＝－， 所以〈m，n〉＝120°， 因此由知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线， 因此四边形ABCD是菱形，而＝2， 所以＝＝2. (2)在△ABC中，O为平面内一个定点，动点P满足＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　 ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 解析：选D.由题知＝λ，其中sin B＝sin C＝h(h表示BC边上的高)，故＝λ＝(F为线段BC的中点)． ∴P在BC边上的中线上，故动点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 三角形的“四心” 1．三角形的内心 (1)定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点． (2)向量表示：若O为△ABC的内心⇔a·＝0. 2．三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点． (2)向量表示：若O为△ABC的外心⇔＝＝. 3．三角形的垂心 (1)定义：三角形三条高的交点． (2)向量表示：若O为△ABC的垂心⇔. 4．三角形的重心 (1)定义：三角形三条中线的交点． (2)向量表示：若O为△ABC的重心⇔＝0. 【典例】　1.已知P是△ABC所在平面内的一动点，且＝λ(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　 ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析： 选C.如图，设D为BC的中点， 因为， 由＝λ可得，， 所以A，D，P三点共线，因为λ≥0， 所以点P在射线AD上， 所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心． 2．(多选)已知G是△ABC的重心，AB＝2，AC＝4，∠CAB＝120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是(　　 ) A．＝0 B．在上的投影向量等于－ C．＝ D．·的最小值为－ 解析： 选ACD.如图，以GB，GC为邻边作平行四边形GBDC，GD，BC交于点O，O是BC的中点， 因为G是△ABC的重心，所以A，G，O三点共线，且AG＝2GO， 所以，所以＝0，故A正确； 在上的投影向量等于，故B错误； 因为，所以， 即2＝＝3，即＝， 因为点G是△ABC的重心，所以＝＝，故C正确； 如图，取BC的中点O，连接PO，AO，取AO中点M，连接PM，则＝×(4－8＋16)＝3， 则·＝·＝22－]＝2， 显然当P，M重合时，·取最小值－，故D正确． 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 角度1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 【例2】　如图，在△ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　 ) A．3 B．3 C．1 D． 解析：选A.由题意知，，又(x>0，y>0)，∴， 由M，P，N三点共线，得＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 故2x＋y的最小值为3. 角度2　与数量积有关的最值(范围)问题 【例3】　(2024·开封模拟)已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且＝1，则的取值范围是(　　 ) A． B． C．[1，4] D．[1，7] 解析： 选B.方法一　如图，建立平面直角坐标系， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]， ∴B，C， ∴＝，＝， ∴=， ∵θ∈[0，2π]，∴sin ∈[－1，1]， ∴∈. 方法二　如图， 建立平面直角坐标系，则， 设P(x，y)， 则点P在以A为圆心，1为半径的圆上， 即点P的轨迹方程为＋y2＝1， 而，， 故， 综上，只需求出定点与圆＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可， 而圆心A与定点的距离d＝， 故定点与圆上点的距离的范围为， ∴∈. 角度3　与模有关的最值(范围)问题 【例4】　已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________． 解析：方法一　设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)， ∵(c－a)⊥(c－b)， ∴x(x－1)＋y(y－1)＝0， 得， 则点(x，y)在以点P为圆心，为半径的圆上，|c|＝≤OP＋＝. 方法二　如图，作＝a，＝b，＝c， 则＝c－a，＝c－b， 则AC⊥BC，又OA⊥OB， 则四边形OBCA四点共圆， 则(OC)max为圆直径AB， 又AB＝， ∴|c|max＝(OC)max＝. 答案： 思维升华　向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 【对点练习】　2.(1)已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　 ) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 解析：选A.a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1. (2)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为________． 解析： 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E，所以＝，＝(-1，0)，＝(0，1)，因为＝λ＋μ，所以＝λ(－1，0) ＋μ(0，1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1，0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a，3－3a)(≤a≤1)，则G，所以＝(a，3－3a)，，所以，所以当a＝时，取得最小值，为. 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $