4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦两角和与差的三角函数公式及辅助角公式，按公式推导、变形应用、角的变换逻辑架构知识体系，覆盖课标要求的公式推导与简单应用。通过必备知识梳理、必记结论归纳、基点诊断检测、题型分类讲解（含2024新课标卷真题）及对点练习，系统帮助学生突破公式逆用、角的拆分等难点。 资料以真题溯源和分层训练为特色，如例3通过“2α=(α+β)+(α-β)”等角变换策略，培养学生数学思维中的推理能力，结合辅助角公式求最值时的φ角确定，提升数学语言表达能力。设置基础诊断、真题例析、对点练习三级训练，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生公式应用与解题转化能力。

4．3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [课标要求]　1.会推导两角差的余弦公式．　2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．　3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 【必备知识】 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2．辅助角公式 a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必记结论】 两角和与差的公式的常用变形： (1)2sin αsin β＝cos (α－β)－cos (α＋β)； 2cos αcos β＝cos (α－β)＋cos (α＋β)． (2)2cos αsin β＝sin (α＋β)－sin (α－β)； 2sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)． (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　) (2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　) (3)tan 能根据公式tan (α－β)直接展开求值．(　　) (4)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为(　　) A． B． C．－ D． 解析：选B.cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝. 3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.∵α是第三象限角，∴sin α<0， ∴sin α＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝. 4．若tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝7. 答案：7 5．＝____________． 解析：由公式T(α＋β)及tan 45°＝1，得＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝. 答案： 题型一　两角和与差的三角函数公式 　三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． ·教考衔接· 链接高考·【例1】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析：选A.因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析：法一：由题意得tan (α＋β)＝， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0， 则，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝，cosβ＝， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝. 答案：－ 教材溯源·(人教A版必修一P255)已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，tan αtan β的值为________． 解析：∵cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝， ∴ ∴∴tan α·tan β＝. 答案： 【对点练习】　1.(1)若sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于(　　) A. B． C． D． 解析：选B.由sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝， 可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝　①， sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝　②， 由①＋②得，2sin 2αcos β＝， 所以sin 2αcos β＝. (2)已知tan α＝，tan β＝，则tan (2α＋β)的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由tan α＝，tan β＝，得tan (α＋β)＝＝1， tan (2α＋β)＝tan [α＋(α＋β)]＝. 题型二　两角和与差的三角函数公式的变形与辅助角公式 【例2】　(1)(人教A版必修一P255)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________． 解析：tan 60°＝tan (20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 20°tan 40°， ∴tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案： (2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________． 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 则f(θ)＝sin (θ－φ)＝， 因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－. 答案：－ 思维升华　(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． (2)对a sin x＋b cos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 【对点练习】　2. (1)(人教A版必修一P254)化简tan 70°cos 10° ＝______． 解析：原式＝tan 70°cos 10° ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝·cos 10°· ＝ ＝＝－1. 答案：－1 (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________． 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 答案：1 题型三　角的变换问题 【例3】　(1)(2024·三亚模拟)已知cos α＝，sin (β－α)＝－，α，β均为锐角，则sin β等于(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.因为α，β均为锐角， 所以β－α∈， 所以cos (β－α)＝，sin α＝， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)＝＝. (2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则sin (2α＋β)的值为________． 解析：因为0<α<，sin α＝， 所以cos α＝. 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π， 因为cos(α＋β)＝－， 所以sin (α＋β)＝， 所以sin(2α＋β)＝sin [α＋(α＋β)]＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)＝. 答案：－ 思维升华　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等． 【对点练习】　3.(1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan (α－β)＝，则tan β等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B.∵sin α＝，α为钝角， ∴cos α＝－， ∴tanα＝， 又tan (α－β)＝， 则tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝－1. (2)(2024·河北衡水三模)已知sin (3α－β)＝m sin (α－β)，tan (2α－β)＝n tan α，则m，n的关系为(　　) A．m＝2n B．n＝ C．n＝ D．n＝ 解析：选D.依题意，sin (3α－β)＝sin [(2α－β)＋α]＝sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α，sin (α－β)＝sin [(2α－β)－α]＝sin (2α－β)cos α－cos (2α－β)sin α， 则sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α＝m sin (2α－β)cos α－m cos (2α－β)sin α， 即，即＝n. 学科网（北京）股份有限公司 $