课下巩固精练卷(31) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(三十一)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【基础巩固题】 1．(2024·北京模拟)tan 105°等于(　　) A．2－ B．－2－ C．－2 D．－ 解析：选B.tan 105°＝tan (60°＋45°)＝ . 2．已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin (α－13°)等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由三角函数的定义， 得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin (α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos (47°＋13°)＝cos 60°＝. 3．(人教A版必修一P254)等于(　　) A．1 B． C． D． 解析：选B.＝ . 4．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，0<β<α<，则β等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意得sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝. ∵0<β<α<，∴0<α－β<， ∴cos (α－β)＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝， sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝， ∴β＝. 5．(2024·全国甲卷)已知，则tan ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 解析：选B.因为， 所以，tan α＝1－， 所以tan －1. 6．若0<α<<β<0，cos ，cos ＝，则cos 等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C.cos ＝cos [－]＝cos cos ＋sin sin . ∵0<α<，则<＋α<， ∴sin . 又－<β<0，则<<， ∴sin ， 故cos . 7．(多选)下列等式成立的有(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D．sin 15°＋cos 15°＝1 解析：选BC.对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误； 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin (75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确； 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos (105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确； 对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误． 8．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (β－γ)＝－cos (α－γ) B．sin x＋cos x＝sin C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2 D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 解析：选AD.对于A，左边＝－[cos (α－β)cos (β－γ)－sin (α－β)sin (β－γ)]＝－cos [(α－β)＋(β－γ)]＝－cos (α－γ)，故A正确； 对于B, sin x＋cos x＝2sin x＋)＝sin 故B错误； 对于C，f(x)＝sin ＋cos sin ，所以f(x)的最大值为，故C错误； 对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan (12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确． 9．(人教A版必修一P220)已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin ＝________． 解析：∵sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，∴sin [(α－β)－α]＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－. 因此sin ＝sin βcos ＋cos βsin ＝＝. 答案： 10．已知点P是角α终边上一点，且cos α＝则cos ＝__________． 解析：因为点P是角α终边上一点， 则有cos α＝， 解得x＝－1， 则sin α＝， 因此，cos ＝cos cos α－sin sin α ＝. 答案：－ 【综合应用题】 11．(2024·南通模拟)4sin 40°－tan 40°的值为(　　) A． B． C． D．2－1 解析：选A.4sin 40°－tan 40° ＝4sin 40°－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 12．(多选)(2024·云南昆明模拟)已知α，β，，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ 解析：选AD.由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos (β－α)＝，故A正确，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴0<β－α<，∴β－α＝，故C错误，D正确． 13．(2024·南京、盐城一模)已知α＋β＝(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为(　　) A． B．1 C．－2－2 D．－2＋2 解析：选D.因为α＋β＝，α＞0，β＞0，所以0＜α＜，0＜β＜， 所以0＜tan α＜1，0＜tan β＜1， 所以tan α＋tan β＝tan α＋tan ＝(tan α＋1)＋ 当且仅当tan α＋1＝，即tan α＝－1时等号成立． 14．当θ∈(0，π)时，若cos ，则tan 的值为________． 解析：因为θ∈(0，π)，所以－θ∈(－π，0)， 所以－θ∈， 因为cos <0， 所以－θ∈， 所以sin ， 所以tan＝tan ＝－tan ＝－. 答案： 15．已知3cos (2α＋β)＋5cos β＝0，则tan (α＋β)tan α＝________． 解析：由已知得3cos [(α＋β)＋α]＋5cos [(α＋β)－α]＝0， 因此3cos (α＋β)cos α－3sin (α＋β)sin α＋5cos (α＋β)cos α＋5sin (α＋β)sin α＝0， 整理得8cos (α＋β)cos α＋2sin (α＋β)sin α＝0， 因此sin (α＋β)sin α＝－4cos (α＋β)cos α， 于是＝－4， 即tan (α＋β)tan α＝－4. 答案：－4 【创新拓展题】 16．(2023·郑州模拟)已知角θ∈(0，2π)，θ终边上有一点(cos 2－sin 2，－cos 2－sin 2)，则θ等于(　　) A．2 B．＋2 C．－2 D．＋2 解析：选C.tan θ＝ ＝－＝－tan ＝tan ＝tan ， 故θ＝－2＋kπ，k∈Z. 又cos 2－sin 2<0，－cos 2－sin 2＝－sin <0， 故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2. 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(<α<)的顶点是坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆O于点B(x2，y2)． (1)若x1＝，求x2的值； (2)分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小． 解：(1)由已知得cos α＝x1＝， sin α＝， 所以x2＝cos＝cos αcos －sin αsin ＝. (2)根据条件知S1＝sin αcos α＝sin 2α， S2＝－sin cos sin . 因为S1＝2S2， 所以sin 2α＝－2sin ＝－2(＋cos 2αsin )＝sin 2α－cos 2α， 于是cos 2α＝0， 因为<α<，所以<2α<π， 所以2α＝，解得α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $