4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“两角和与差的三角函数公式”专题，依据课标要求覆盖公式推导、应用及辅助角公式等核心考点。通过梳理必备公式体系，分析近三年高考真题中公式直接应用占50%、变形与角变换占40%的考点权重，归纳出公式应用、辅助角转化、角的拆分三大常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”的设计，如以2024新课标Ⅰ卷“cos(α+β)与cos(α-β)关系”题为例，详解“公式逆用+方程思想”解题策略，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。特设易错点诊断（如辅助角φ的符号判断）和“母题变式”训练，帮助学生熟练掌握角变换技巧，教师可据此实施精准复习指导，提升冲刺阶段备考效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第四章 三角函数与解三角形 01 [课标要求] 1.会推导两角差的余弦公式．　 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．　 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 4．3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(三十一) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(三十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 15 17 感谢观看 cosαcos β ＋sinαsin β 【必备知识】 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sinαcos β －cosαsin β cosαcos β ＋sinαsin β sinαcos β ＋cosαsin β 2．辅助角公式 a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必记结论】 两角和与差的公式的常用变形： (1)2sin αsin β＝cos (α－β)－cos (α＋β)； 2cos αcos β＝cos (α－β)＋cos (α＋β)． (2)2cos αsin β＝sin (α＋β)－sin (α－β)； 2sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)． (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　) (2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　) (3)tan 能根据公式tan (α－β)直接展开求值．(　　) (4)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) √ × × × 2．计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为(　　) A． B． C．－ D． 解析：选B.cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝. 3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.∵α是第三象限角，∴sin α<0， ∴sin α＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝ . 4．若tan α＝－2，tan (α＋β)＝，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝7. 答案：7 5．＝____________． 解析：由公式T(α＋β)及tan 45°＝1，得 ＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝. 答案： 题型一　两角和与差的三角函数公式 　三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． ·教考衔接· 链接高考·【例1】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析：选A.因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析：法一：由题意得tan (α＋β)＝， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0， 则，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 解得sin(α＋β)＝－. 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝，cosβ＝， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ . 答案：－ 教材溯源·(人教A版必修一P255)已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝， tan αtan β的值为________． 解析：∵cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝， ∴ ∴∴tan α·tan β＝. 答案： 【对点练习】　1.(1)若sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于(　　) A. B． C． D． 解析：选B.由sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝， 可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝　①， sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝　②， 由①＋②得，2sin 2αcos β＝， 所以sin 2αcos β＝. (2)已知tan α＝，tan β＝，则tan (2α＋β)的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由tan α＝，tan β＝，得tan (α＋β)＝＝1， tan (2α＋β)＝tan [α＋(α＋β)]＝. 题型二　两角和与差的三角函数公式的变形与辅助角公式 【例2】　(1)(人教A版必修一P255)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________． 解析：tan 60°＝tan (20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 20°tan 40°， ∴tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案： (2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________． 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 则f(θ)＝sin (θ－φ)＝， 因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－. 答案：－ 思维升华　(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． (2)对a sin x＋b cos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 【对点练习】　2. (1)(人教A版必修一P254)化简tan 70°cos 10° (tan20°-1)＝______． 解析：原式＝tan 70°cos 10° ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝tan 70°cos 10°· ＝·cos 10°· ＝ ＝＝－1. 答案：－1 (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________． 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 答案：1 题型三　角的变换问题 【例3】　(1)(2024·三亚模拟)已知cos α＝，sin (β－α)＝－，α，β均为锐角，则sin β等于(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.因为α，β均为锐角， 所以β－α∈， 所以cos (β－α)＝，sin α＝， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α) ＝＝. (2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则sin (2α＋β)的值为________． 解析：因为0<α<，sin α＝， 所以cos α＝. 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π， 因为cos(α＋β)＝－， 所以sin (α＋β)＝， 所以sin(2α＋β)＝sin [α＋(α＋β)]＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β) ＝. 答案：－ 思维升华　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等． 【对点练习】　3.(1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan (α－β)＝，则tan β等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B.∵sin α＝，α为钝角， ∴cos α＝－， ∴tanα＝， 又tan (α－β)＝， 则tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝－1. (2)(2024·河北衡水三模)已知sin (3α－β)＝m sin (α－β)，tan (2α－β)＝n tan α，则m，n的关系为(　　) A．m＝2n B．n＝ C．n＝ D．n＝ 解析：选D.依题意，sin (3α－β)＝sin [(2α－β)＋α] ＝sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α， sin (α－β)＝sin [(2α－β)－α]＝sin (2α－β)cos α－cos (2α－β)sin α， 则sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α ＝m sin (2α－β)cos α－m cos (2α－β)sin α， 即，即＝n. 【基础巩固题】 1．(2024·北京模拟)tan 105°等于(　　) A．2－ B．－2－ C．－2 D．－ 解析：选B.tan 105°＝tan (60°＋45°)＝ . 2．已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin (α－13°)等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由三角函数的定义， 得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin (α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos (47°＋13°)＝cos 60°＝. 3．(人教A版必修一P254)等于(　　) A．1 B． C． D． 解析：选B.＝ . 4．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，0<β<α<，则β等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意得sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝. ∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos (α－β)＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝， sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝， ∴β＝. 5．(2024·全国甲卷)已知，则tan ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 解析：选B.因为， 所以，tan α＝1－， 所以tan －1. 6．若0<α<<β<0，cos ，cos ＝，则cos 等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C.cos ＝cos [－] ＝cos cos ＋sin sin . ∵0<α<，则<＋α<， ∴sin . 又－<β<0，则<<， ∴sin ， 故cos . 7．(多选)下列等式成立的有(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D．sin 15°＋cos 15°＝1 解析：选BC.对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误； 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin (75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确； 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos (105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确； 对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误． 8．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (β－γ)＝－cos (α－γ) B．sin x＋cos x＝sin C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2 D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 解析：选AD.对于A，左边＝－[cos (α－β)cos (β－γ)－sin (α－β)sin (β－γ)]＝－cos [(α－β)＋(β－γ)]＝－cos (α－γ)，故A正确； 对于B, sin x＋cos x＝2sin x＋)＝sin 故B错误； 对于C，f(x)＝sin ＋cos sin ，所以f(x)的最大值为，故C错误； 对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan (12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确． 9．(人教A版必修一P220)已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin ＝________． 解析：∵sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，∴sin [(α－β)－α]＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－. 因此sin ＝sin βcos ＋cos βsin ＝＝. 答案： 10．已知点P是角α终边上一点，且cos α＝则cos ＝__________． 解析：因为点P是角α终边上一点， 则有cos α＝， 解得x＝－1，则sin α＝， 因此，cos ＝cos cos α－sin sin α ＝. 答案：－ 【综合应用题】 11．(2024·南通模拟)4sin 40°－tan 40°的值为(　　) A． B． C． D．2－1 解析：选A.4sin 40°－tan 40° ＝4sin 40°－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 12．(多选)(2024·云南昆明模拟)已知α，β，，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ 解析：选AD.由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos (β－α)＝，故A正确，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴0<β－α<，∴β－α＝，故C错误，D正确． 13．(2024·南京、盐城一模)已知α＋β＝(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为(　　) A． B．1 C．－2－2 D．－2＋2 解析：选D.因为α＋β＝，α＞0，β＞0，所以0＜α＜，0＜β＜， 所以0＜tan α＜1，0＜tan β＜1， 所以tan α＋tan β＝tan α＋tan ＝ (tan α＋1)＋ 当且仅当tan α＋1＝，即tan α＝－1时等号成立． 14．当θ∈(0，π)时，若cos ，则tan 的值为________． 解析：因为θ∈(0，π)，所以－θ∈(－π，0)，所以－θ∈， 因为cos <0，所以－θ∈， 所以sin ， 所以tan＝tan ＝－tan ＝－. 答案： 15．已知3cos (2α＋β)＋5cos β＝0，则tan (α＋β)tan α＝________． 解析：由已知得3cos [(α＋β)＋α]＋5cos [(α＋β)－α]＝0， 因此3cos (α＋β)cos α－3sin (α＋β)sin α＋5cos (α＋β)cos α ＋5sin (α＋β)sin α＝0， 整理得8cos (α＋β)cos α＋2sin (α＋β)sin α＝0， 因此sin (α＋β)sin α＝－4cos (α＋β)cos α， 于是＝－4，即tan (α＋β)tan α＝－4. 答案：－4 【创新拓展题】 16．(2023·郑州模拟)已知角θ∈(0，2π)，θ终边上有一点(cos 2－sin 2，－cos 2－sin 2)，则θ等于(　　) A．2 B．＋2 C．－2 D．＋2 解析：选C.tan θ＝ ＝－＝－tan ＝tan ＝tan ， 故θ＝－2＋kπ，k∈Z. 又cos 2－sin 2<0，－cos 2－sin 2＝－sin <0， 故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2. 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(<α<)的顶点是坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆O于点B(x2，y2)． (1)若x1＝，求x2的值； (2)分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小． 解：(1)由已知得cos α＝x1＝， sin α＝， 所以x2＝cos＝cos αcos －sin αsin ＝. (2)根据条件知S1＝sin αcos α＝sin 2α， S2＝－sin cos sin . 因为S1＝2S2， 所以sin 2α＝－2sin ＝－2(＋cos 2αsin ) ＝sin 2α－cos 2α， 于是cos 2α＝0， 因为<α<，所以<2α<π， 所以2α＝，解得α＝. $