专题15一次函数与几何综合类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题15 一次函数与几何综合八类题型 典例详解 类型一、公式法计算一次函数图像围成的图形面积 类型二、垂铅法计算一次函数图像围成图形面积 类型三、割补法计算一次函数图像围成图形面积 类型四、动点的运动轨迹问题 类型五、一次函数上的最值问题 类型六、一次函数与全等三角形综合 类型七、一次函数与特殊三角形综合 类型八、一次函数中线段定值问题 压轴专练 类型一、公式法计算一次函数图像围成的图形面积 例1．（20-21八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求、的值； (2)设一次函数的图象与轴交于点，求的面积； (3)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围． 变式1-1．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 变式1-2．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． (1)则_________， _________； (2)求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 类型二、垂铅法计算一次函数图像围成图形面积 铅垂法的核心原理 1. 关键概念 水平宽：平面内两点在x 轴方向上的水平距离，即两点横坐标之差的绝对值，记为W=|x2-x1|。 （若两点连线平行于 x 轴，水平宽就是两点间的线段长度；若不平行，仍取横坐标之差的绝对值作为 “基准宽度”）。 铅垂高：过第三个点作垂直于 x 轴的直线（铅垂线），该点到另外两点所在直线的垂直距离，记为 H = |y0 - yQ|（其中 yQ 是铅垂线与另外两点连线的交点纵坐标）。 2. 面积公式 对于任意三点构成的三角形，面积 S 满足：S= ×水平宽×铅锤高 本质：将三角形面积转化为 “以水平宽为底、铅垂高为高” 的直角三角形面积，简化计算。 例2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)求、的值与点坐标； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围； (3)求三角形的面积． 变式2-1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接． (1)求两直线交点D的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______； (3)求的面积． 变式2-2．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 类型三、割补法计算一次函数图像围成图形面积 例3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 变式3-1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． (1)求一次函数的表达式，点，，的坐标； (2)若，直接写出的取值范围． (3)求四边形的面积． 变式3-2．（14-15八年级下·广东佛山·期末）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 类型四、动点的运动轨迹问题 例4．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点为轴上的一个动点，设其坐标为，点为定点，坐标为，将线段绕点顺时针旋转，即构造线段，使得，且． 【问题一】 如图1，若点在轴正半轴上，则点的坐标可表示为 ； 如图2，若点在轴负半轴上，则点的坐标可表示为 ； 点在轴上运动的过程中，点随之运动，由点横、纵坐标的关系可知，点的运动轨迹为一条 ；轨迹的函数表达式为 ； 【问题二】如图3，当点在第四象限的角平分线上时，连接，此时，、分别交坐标轴于点、，连接线段，求线段的长； 【思维拓展】若点也为轴正半轴上的一个动点，设坐标为 ，则点在第四象限的角平分线上时，求线段与、的关系． 变式4-1．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，． (1)求直线l的函数表达式． (2)如图1，过线段的中点C作一条直线与x轴交于点D（D为动点），当为直角三角形时，求所有满足条件的点D的坐标． (3)如图2，E为x轴上一动点，连接，在的右侧作等腰直角，其中，试判断在点E的运动过程中，点F是否在某一条确定的直线上运动．若是，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由． 变式4-2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 类型五、一次函数上的最值问题 例5．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； (2)【综合解决】求点 C、D的坐标； (3)【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 变式5-2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）一次函数的图象经过点，且和正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象； (2)求这两条直线和轴所围成图形的面积； (3)在轴上求作一点，使最小，求出点的坐标，并求出的最小值． 类型六、一次函数与全等三角形综合 例6．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 变式6-1．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 变式6-2．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、一次函数与特殊三角形综合 例7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，的值； (2)点为轴上一点，是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)点在直线上，点在直线上，轴，．请直接写出点的坐标． 变式7-1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； (3)如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 变式7-2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 变式7-3．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 类型八、一次函数中线段定值问题 例8．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 变式8-1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图①所示，直线与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点 (1)当时，试确定直线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为延长线上一点，连接，过A、B两点分别作于M，于N，若，求的长； (3)如图③所示，当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 变式8-2．（20-21八年级下·广东梅州·阶段练习）如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)___________，___________； (2)若一次函数图象与轴交于点，求的面积； (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A、B两点． (1)求直线的表达式； (2)①关于x、y的方程组的解是________； ②关于x的不等式的解集为__________； (3)若垂直于x轴的直线与直线、分别交于点C、D，线段的长为3，求的面积． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为点D． (1)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (2)如图2，若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (3)如图3，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标　　　． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点．直线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)设动点的横坐标为，的面积为． ①求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，轴上存在点，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标． ． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点．    (1)求点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上有一点Q，使得，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由． 9．（16-17八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标； (3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 一次函数与几何综合八类题型 典例详解 类型一、公式法计算一次函数图像围成的图形面积 类型二、垂铅法计算一次函数图像围成图形面积 类型三、割补法计算一次函数图像围成图形面积 类型四、动点的运动轨迹问题 类型五、一次函数上的最值问题 类型六、一次函数与全等三角形综合 类型七、一次函数与特殊三角形综合 类型八、一次函数中线段定值问题 压轴专练 类型一、公式法计算一次函数图像围成的图形面积 例1．（20-21八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求、的值； (2)设一次函数的图象与轴交于点，求的面积； (3)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）把代入正比例函数解析式可求出的值，即得到点的坐标，再代入一次函数解析式可求出的值； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的几何应用，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入正比例函数，得， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得； （2）解：∵， ∴一次函数， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，函数的值小于函数的值． 变式1-1．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【答案】(1)①面积为；②； (2)或6 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． （1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可； ②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围； （2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）①当时，， ∴． 将代入，得． 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②当时，直线在直线的下面，即， ∴的解集为； （2）， 解得 ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴整数k的值为5、6． 变式1-2．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． (1)则_________， _________； (2)求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)2，1 (2)27 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两条一次函数图像的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先把代入，即可求出m，然后把点C的坐标，即可求出k； （2）求出与x轴的交点，即可面积； （3）根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴ 将代入得，， 解得， ∴， 故答案为：2，1； （2）解：对于，当时，， 解得：， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）知：， ∵， 即一次函数的图象在的图象下方时对应交点的横坐标的取值范围， ∴， ∴的解集是． 类型二、垂铅法计算一次函数图像围成图形面积 铅垂法的核心原理 1. 关键概念 水平宽：平面内两点在x 轴方向上的水平距离，即两点横坐标之差的绝对值，记为W=|x2-x1|。 （若两点连线平行于 x 轴，水平宽就是两点间的线段长度；若不平行，仍取横坐标之差的绝对值作为 “基准宽度”）。 铅垂高：过第三个点作垂直于 x 轴的直线（铅垂线），该点到另外两点所在直线的垂直距离，记为 H = |y0 - yQ|（其中 yQ 是铅垂线与另外两点连线的交点纵坐标）。 2. 面积公式 对于任意三点构成的三角形，面积 S 满足：S= ×水平宽×铅锤高 本质：将三角形面积转化为 “以水平宽为底、铅垂高为高” 的直角三角形面积，简化计算。 例2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)求、的值与点坐标； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)， ，点B坐标为 (2) (3)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式，求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）首先求出，，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得， ， 把代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 令， 解得， ； （2）解：根据图象可得， 当函数的值大于函数的值，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设一次函数与y轴交于点D 将代入得，， ∴， ∵将代入得，， ∴， ∴， ∴． 变式2-1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接． (1)求两直线交点D的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标； （2）由图可直接得出时自变量x的取值范围； （3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴； 将代入得， 解得：， ∴， 联立：， 解得：， 故D点坐标为； （2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面， ∴当时，自变量x的取值范围为：； （3）解：把代入得， ∴C点坐标为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 变式2-2．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 【答案】(1)正比例函数的表达式为：；一次函数表达式为： (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、不等式的解集以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象求解不等式的解集，并结合三角形面积公式求解点的坐标。 （1）由待定系数法即可求解； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围； （3）由，即可求解。 【详解】（1）（1）将点的坐标代入得：，则， 正比例函数的表达式为：， 由题意得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； （2）由图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象下方， 不等式的解集为； （3）由（1）知，点， 的面积， ∵的面积是面积的3倍 的面积， 设点, 解得：或， 则点或； 类型三、割补法计算一次函数图像围成图形面积 例3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，代入得，，可求，进而可得直线的表达式； （2）联立，可求，即，当时，，可求，即，根据，求解作答即可； （3）根据关于x的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为； （2）解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：由题意知，关于x的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围， 由图象可知，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形，一次函数与不等式是解题的关键． 变式3-1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． (1)求一次函数的表达式，点，，的坐标； (2)若，直接写出的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式：，，， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系等知识，熟练掌握一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）利用待定系数确定函数解析式即可得到答案，然后利用一次函数图象与性质代值求解即可求出点，，的坐标； （2）利用不等式与函数图象的关系，数形结合，通过函数关系解不等式即可得到答案； （3）过作轴于，如图所示，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解：把代入中，得即， 把，，代入中，得， 解得， 一次函数的表达式； 直线，令，得到，即， 令，得到，即， 直线，令，得到，即； （2）解：过点、点作轴的垂线，如图所示： 由（1）知、， 表示一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方，求不等式的解集就是找一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方部分对应的的范围， ； （3）解：过作轴于，如图所示： ，，； ． 变式3-2．（14-15八年级下·广东佛山·期末）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，再根据计算即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得，交点的坐标是一元二次方程组的解， 故答案为：； （2）解：由图象可得，不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由图象可得，当时，， 故答案为：； （4）解：把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 类型四、动点的运动轨迹问题 例4．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点为轴上的一个动点，设其坐标为，点为定点，坐标为，将线段绕点顺时针旋转，即构造线段，使得，且． 【问题一】 如图1，若点在轴正半轴上，则点的坐标可表示为 ； 如图2，若点在轴负半轴上，则点的坐标可表示为 ； 点在轴上运动的过程中，点随之运动，由点横、纵坐标的关系可知，点的运动轨迹为一条 ；轨迹的函数表达式为 ； 【问题二】如图3，当点在第四象限的角平分线上时，连接，此时，、分别交坐标轴于点、，连接线段，求线段的长； 【思维拓展】若点也为轴正半轴上的一个动点，设坐标为 ，则点在第四象限的角平分线上时，求线段与、的关系． 【答案】[问题一] ，，确定的直线，；[问题2] ；[思维拓展] 【分析】[问题一] 过点C作x轴的垂线，证明三角形全等，由此求出点C的坐标； [问题二]根据[问题1]的结论得到点C的坐标，点A的坐标，求出直线的解析式，即可得到点D及点E的坐标，再根据勾股定理求出的长度； [思维拓展]由[问题1]可得点C的坐标为，点C在直线上运动，求出点，得到，分别求出直线的解析式为，故，直线的解析式为，故，勾股定理求出的长度，分别计算出，即可得到结论． 【详解】解：［问题一］ 如图1，点在轴正半轴上，过点C作轴于点D，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴点的坐标可表示为； 如图2，点在轴负半轴上，过点C作轴于点E，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴点的坐标可表示为； 由以上可知，无论点A在x轴正半轴或负半轴上，点C的坐标均为，点的运动轨迹为一条确定的直线，轨迹的函数表达式为， 故答案为：，，确定的直线，； [问题2]由[问题1]可知，点C的坐标为，且点C在直线上， ∵点在第四象限的角平分线上， ∴点C在直线上， 当时，得，， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 设直线的解析式为，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴； [思维拓展] 由[问题1]可得点C的坐标为，点C在直线上运动， ∵点C在第四象限的角平分线上， ∴点C在直线上， 当时，得， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，故， 直线的解析式为，故， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数交点问题，求一次函数的解析式，规律探究问题，正确理解分类讨论得到规律性，由此解决问题是解题的关键． 变式4-1．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，． (1)求直线l的函数表达式． (2)如图1，过线段的中点C作一条直线与x轴交于点D（D为动点），当为直角三角形时，求所有满足条件的点D的坐标． (3)如图2，E为x轴上一动点，连接，在的右侧作等腰直角，其中，试判断在点E的运动过程中，点F是否在某一条确定的直线上运动．若是，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 (3)点F恒在直线上运动 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，当时，由垂直平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解；当轴时，利用中点坐标公式求得，进而求解即可； （3）过点F作轴于点H，则，证明，得，设，则，设，则，即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，， ∴． 当时，， 解得， ∴直线l的函数表达式为． （2）解：∵点，， ∴，． 如图1，连接，当时， ∵点C为的中点， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴点的坐标为． 如图2，当轴时． ∵点，C为的中点， ∴点，即， ∵轴时， ∴点D的坐标为． （3）解：是．该直线的表达式为． 如图3，过点F作轴于点H，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 设，则，即，所以点F恒在直线上运动． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． 变式4-2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 【答案】(1) (2)5 (3)①点坐标为；②或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题可知，求出，即可求； （3）①过点作轴交于，可得，则，，即可求； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，则点在直线关于直线对称的直线a∶上，或点在直线a∶关于直线的对称直线∶上． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：①过点作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②， ∴ ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线的解析式为， 把代入，得 解得∶， 直线的解析式为， 当时，则， 设直线交y轴于F，则， ∴ 当与正方形面积相等时， 则点P在直线关于直线对称的直线a上，或在直线a关于直线对称的直线 上，如图， ∴ 设直线a交y 轴于G ， 则， ∴， ∴直线a的解析式为， 设直线交y 轴于H ， 则， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∴点在直线或上． 类型五、一次函数上的最值问题 例5．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； (2)【综合解决】求点 C、D的坐标； (3)【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据一次函数的解析式为，令求解可得点A的坐标，令求解可得点B的坐标； （2）作轴，轴，由正方形的性质和等角的余角相等可证，进而可求点 C、D的坐标； （3）作点关于轴的对称点，，由中点坐标公式可得点的坐标，进而可得点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，令求解可得点P的坐标； 【详解】（1）解：令，， 解得， ∴点； 令，， ∴点； 故答案为：． （2）如图，作轴，轴，垂足分别是E、F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （3）存在，点M、点P的位置如图所示，点P的坐标为． 作点关于轴的对称点，， ∴，， 连接与轴交于点，此时且值最小， 设直线的解析式为， 将点代入解析式得， ∴解得， ， 令，解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等，作点关于轴的对称点，将转化为是解题的关键． 变式5-1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2) 与之间的函数关系式为； ． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求函数解析式、轴对称——最短路线问题： （1）把点代入直线中得：可得到点C的坐标，再根据点坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出点A的坐标，可得，再根据，即可求解；作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长，设点，再由，可求出s的值，可得点，再求出直线的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①中，当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标是， ∴点， ∵的面积是， ∴， 根据题意得：， 即与之间的函数关系式为； ②解：如图，作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长， ，则， 设点， ∴ ∵， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点， 设直线的函数表达式为， ，解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ． 变式5-2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）一次函数的图象经过点，且和正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象； (2)求这两条直线和轴所围成图形的面积； (3)在轴上求作一点，使最小，求出点的坐标，并求出的最小值． 【答案】(1)，图见解析 (2)6 (3)点的坐标为，的最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图形与坐标的性质，勾股定理，以及轴对称最短问题．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，设一次函数与y轴的交点为点C，再求出点的坐标，即可画出函数图象； （2）过点作交于点，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于点，再延长到，使，则点即为点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所作的点，由可知，点的坐标为，求出直线的解析式为，进而求出点的坐标为，延长，并使之交（2）中所作的的延长线于点，则，再求出，，根据利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ，即点的坐标为， 将，代入一次函数， 得， 解得， 所求的一次函数解析式为； 设一次函数与y轴的交点为点C， 将代入， 解得：， ∴， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示： （2）解：由（1）知，与轴的交点为，， 如图，过点作交于点，则， 这两条直线和轴所围成的的面积为； （3）解：如图，过点作轴于点，再延长到，使， 则点即为点关于轴的对称点， 连接交轴于点，则点即为所作的点， 由可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入一次函数， 得， 解得， 直线的一次函数的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 延长，并使之交（2）中所作的的延长线于点，则， ，． 在中， ， 的最小值为． 类型六、一次函数与全等三角形综合 例6．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 变式6-1．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 变式6-2．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 类型七、一次函数与特殊三角形综合 例7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，的值； (2)点为轴上一点，是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)点在直线上，点在直线上，轴，．请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将点分别代入直线、的解析式即可求解； （2）由（1）知，直线的解析式为，求出，设， 可得，，根据等腰三角形的性质列方程求出，即可求解； （3）先求出，得到，进而得到，设，则，得到，列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得； （2）解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 设， ，， 是以为底的等腰三角形， ， 则， 即， 解得， 点的坐标为或； （3）解：由（1）知，直线的解析式为，直线的解析式为， 令， 解得， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 变式7-1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； (3)如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法，等腰直角三角形的定义等知识，结合图形分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）把点坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与几何图形面积的计算方法，数形结合，分类讨论即可求解； （3）根据等腰直角三角形的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：直线分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴当时，，则， 当时，，则， 直线与y轴交于点C， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴， 如图所示，设直线与轴交于点，点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在直线中，时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 即， 解得，， ∴（不符合题意，舍去）； ③当时，， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或； （3）解：存在，理由如下， ①如图所示，，过点作轴于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ②如图所示， 同理，， ∴，则， ∴； ③如图所示，，过点作轴于点，作轴于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ④如图所示， 同理，，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】 变式7-2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【分析】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，设，则，，证明，得到，由此得到，设直线的解析式为，将，代入得到，解方程求出a值即可． 【详解】解：（1） ， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）如图1，过点作轴于， AI点的坐标为，点的坐标为， ，， 等腰，，， 又轴，轴轴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为， 与轴交点， ； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，如图： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题． 变式7-3．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性得出，再由三角形的面积得到，即可求解； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 类型八、一次函数中线段定值问题 例8．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形，勾股定理的应用；应用数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理是解题的关键； （1）利用一次函数的性质求出，再结合题意求得值，即可解答； （2）由（1）知，．可证得，则有，．即可求得 ，进而根据勾股定理，即可求解； （3）过点E作轴于C，则，同理可证，，则，．进一步证得，则有，由（1）知，则，即可知为定长． 【详解】（1）解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴负半轴上， ∴．即，． ∵， ∴， ∴． 则直线解析式为． （2）解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ， ∵， ∴在中，； （3）解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 变式8-1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图①所示，直线与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点 (1)当时，试确定直线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为延长线上一点，连接，过A、B两点分别作于M，于N，若，求的长； (3)如图③所示，当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)直线l的解析式为 (2)4 (3)长为定长，， 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点和全等三角形，应用数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理， 由题知，可求得，结合题意即可求得k值； 由（1）知，．可证得，则有，．即可求得； 过点E作轴于C，则，同理可证，，则，．进一步证得，则有，由（1）知，则，即可知为定长． 【详解】（1）解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴正半轴上， ∴．即，． ∵， ∴． 则直线l的解析式为． （2）解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，． ∵， ∴； （3）解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， 由（1）知点，则， ∴， 即． 变式8-2．（20-21八年级下·广东梅州·阶段练习）如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)A（﹣5，0），直线L的解析式为：y＝x+5 (2) (3)PB的长是定值，定值为；理由见详解 【分析】（1）当y＝0时，x＝﹣5；当x＝0时，y＝5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA＝OB，解得：m＝1，即可得出直线L的解析式； （2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN＝OM，即可求出BN的长； （3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA＝BK，EK＝OB，得出EK＝BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK＝PB，即可得出结果． 【详解】（1）∵对于直线L：y＝mx+5m， 当y＝0时，x＝﹣5， 当x＝0时，y＝5m， ∴A（﹣5，0），B（0，5m）， ∵OA＝OB， ∴5m＝5，解得：m＝1， ∴直线L的解析式为：y＝x+5； （2）∵OA＝5，AM， ∴由勾股定理得：OM， ∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∵∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠BON＝∠OAM， 在△AMO和△OBN中，， ∴△AMO≌△ONB（AAS） ∴BN＝OM； （3）PB的长是定值，定值为；理由如下： 作EK⊥y轴于K点，如图所示： ∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°，BO＝BF，∠OBF＝90°， ∴∠ABO+∠EBK＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠EBK＝∠OAB， 在△ABO和△BEK中，， ∴△ABO≌△BEK（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∴EK＝BF， 在△PBF和△PKE中，， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PBBKOA5． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果． 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)___________，___________； (2)若一次函数图象与轴交于点，求的面积； (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分别代入解析式计算解答即可； （2）根据求得点，继而得到计算即可； （3）求得点B的坐标，再利用数形结合思想写出解集即可． 本题考查了待定系数法，坐标轴的交点，一次函数与不等式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得； 把点代入得， 解得， 故答案为：；3． （2）解：根据， 得点， 故， 故． （3）解：由题意可知， 由图象可知，不等式的解集是． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A、B两点． (1)求直线的表达式； (2)①关于x、y的方程组的解是________； ②关于x的不等式的解集为__________； (3)若垂直于x轴的直线与直线、分别交于点C、D，线段的长为3，求的面积． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)或． 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数不等式，一次函数与几何综合，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先根据直线求出点的坐标，再代入直线求出的值即可； （2）①根据两直线的交点坐标求解即可；②结合图象，根据直线：的图象在直线：图象的下方部分求解即可； （3）先求出点坐标，得到，再分两种情况讨论：当时，点在点上方；当时，点在点下方，分别表示出的长，求出的值，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：直线：与直线：相交于点， ， ， 将点代入直线：得：， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：①直线：与直线：的交点为， 关于x、y的方程组的解是； ②， ， ， 由图象可知，当时，直线：的图象在直线：图象的下方， 不等式的解集为， 不等式的解集为； （3）解：令，则，解得：， ， ， 垂直于x轴的直线与直线、分别交于点C、D， ，， 当时，如图，点在点上方， ，解得：， ，， ； 当时，如图，点在点下方， ，解得：， ，， ， 综上可知，的面积为或． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标； （2）将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，求出此时的解析式，令即可求出P的坐标． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． 设所在直线的表达式为， 根据题意，得， 将①代入②，得， ∴：， 令，则，解得， ∴． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为点D． (1)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (2)如图2，若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (3)如图3，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标　　　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）设点M的纵坐标为，根据，列出方程或，然后代入求出点M的坐标即可； （2）作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，进而求解； （3）当点Q在上方时，证明，得到M的坐标为，进而求解，当点Q在下方时，同理可解． 【详解】（1） 解：在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A， 令， 解得：， 令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标分别为； 在直线上有一点M，使得的面积为9，设点M的纵坐标为，根据题意得： ， 即， 解得：或， 把代入得：， 解得， ∴此时点M的坐标为； 把代入得， 解得， ∴此时点M的坐标为， 综上，点M的坐标为或； （2） ∵点C为线段的中点， ∴点， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接，如图1， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为，将点代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时， ， ∴点P的坐标为； （3）当点Q在上方时，如图2，过点A作交于点M，过点M作轴于点H， 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故点M的坐标为， 设直线的解析式为，把点M、B的坐标代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时， ， 故点Q的坐标为， 当点在下方时， 过点A作交于点N， 则 ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴A为的中点， 由中点坐标公式得：点，即， 由点B、N的坐标同理可求得直线BN的表达式为， 当时， ， 综上，点Q′的坐标为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点．直线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当时，的值最小． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）运用待定系数法求解直线的解析式即可，再把代入直线解析式即可求解D点坐标； （2）根据即可求解； （3）分两种情况，构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)设动点的横坐标为，的面积为． ①求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，轴上存在点，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，自变量的取值范围为；②；③当是等腰三角形时，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，设直线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）①过点作轴于点，由（1）及题意可知：，则有，，，然后根据三角形面积公式可进行求解； ②由（1）可知：，，然后可得，进而求解即可； ③由题意可分当时，当时，当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：令时，则有，即， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， （2）解：①过点作轴于点，如图所示： 由（1）及题意可知：， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 自变量的取值范围为； ②由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴； ③由题意可分：当时，如图，过点作轴于点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点作轴于点， 由上可知：，， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 设，则有， ∵， ∴， 解得：或； ∴或； 综上所述：当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点．    (1)求点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上有一点Q，使得，请直接写出满足条件的点Q坐标，不必说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为或或或或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）联立解析式建立方程组，解出方程组的解即可； （2）利用两点距离公式表示出、、，再分类讨论建立方程求解即可； （3）过C作于点G，则为等腰直角三角形，利用等面积求出，进而求出，再利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：联立两直线解析式可得： ， 解得， 则点D的坐标为 ； （2）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、B， 则，， 设， 则、、， ①当时，则， 解得， 则点的坐标为； ②当时，则， 解得， 则点的坐标为或； ③当时，则， 解得， 则点的坐标为或； 综上，P的坐标为或或或或； （3）解：直线：与x轴交于点A， 则点的坐标为， 直线：与x轴交于点C， 则点的坐标为， 则， 由（1）知，点的坐标为， ， 过C作于点G，   ， 则， 由于， 则为等腰直角三角形， 设，则 整理得， 解得或， 因此，点的坐标为或． 9．（16-17八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标； (3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为0或或 【分析】（1）根据一次函数的性质求出点A、C的坐标，再利用长方形的性质即可求出点B的坐标； （2）由折叠的性质得，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （3）分3种情况讨论：①点P与点O重合；②点P在第一象限；③点P在第二象限，画出示意图，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，解得； 令，则； ∴，， ∴，， ∴在长方形中，，，， ∴点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得， 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：①当点P与点O重合时，，此时点P的横坐标为0； ②当点P在第一象限时，则，设与交于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为； ③当点P在第二象限时，则，设与交于点， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴，即， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为； ∴综上所述，点P的横坐标为0或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质与判定，运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $