专题 5.7 一次函数全章专项训练（17大考点30类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.7 一次函数全章专项训练（17大考点30类题型） 目录 一、基础篇 2 考点一：函数与变量的概念 2 【★题型1】常量与变量的识别 2 【★题型2】函数概念的辨析 2 考点二：函数值的求解 3 【★题型3】已知自变量求函数值 3 【★题型4】已知函数值求自变量 3 考点三：自变量的取值范围 4 【★题型5】根据代数意义求自变量取值范围 4 【★题型6】结合实际意义求自变量取值范围 4 考点四：函数的三种表示方法 5 【★题型7】解析式法、列表法、图象法的识别与转换 5 考点五：一次函数的定义 6 【★题型8】一次函数与正比例函数的判定 6 【★题型9】利用一次函数定义求参数值 6 考点六：一次函数的图象绘制 7 【★题型10】根据一次函数解析式画图象（列表、描点、连线） 7 考点七：一次函数图象的基本性质（k、b的意义） 8 【★题型11】由k的符号判断函数的增减性 8 【★题型12】由b的符号判断图象与y轴的交点位置 8 考点八：用待定系数法求一次函数解析式 9 【★题型13】已知两点坐标求一次函数解析式 9 【★题型14】已知图象特征求一次函数解析式（如过原点、与坐标轴交点） 10 二、培优篇 10 考点九：一次函数图象的综合判断（k、b共同作用） 10 【★★题型15】由k、b的符号判断图象经过的象限 10 【★★题型16】由图象经过的象限求参数的取值范围 11 考点十：一次函数与坐标轴的交点问题 12 【★★题型17】求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标 12 【★★题型18】利用交点求三角形面积 12 考点十一：一次函数的平移问题 13 【★★题型19】一次函数图象的平移规律应用（上下平移、左右平移） 13 考点十二：两条一次函数的交点问题 14 【★★题型20】求两条一次函数图象的交点坐标（解方程组） 14 【★★题型21】判断两条直线的平行与垂直关系 14 考点十三：一次函数的实际应用（基础建模） 15 【★★题型22】行程问题（匀速行驶、相遇追及） 15 【★★题型23】费用问题（计费标准、购物优惠） 16 【★★题型24】工程问题（工作量、工作效率） 17 考点十四：一次函数的实际应用（进阶建模） 18 【★★★题型25】分段函数问题（多计费标准、多优惠方案） 18 【★★★题型26】方案选择问题（利用一次函数性质比较最优方案） 19 考点十五：一次函数与几何图形的综合 20 【★★★题型27】一次函数与三角形、四边形的综合计算 20 考点十六：一次函数的规律探究问题 21 【★★★题型28】由一次函数图象或解析式探究数值规律 22 考点十七：一次函数与不等式（组）的综合应用 23 【★★★题型29】由一次函数图象解一元一次不等式 23 【★★★题型30】利用一次函数解决不等式相关的最值问题 24 【题型标注说明】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一、基础篇 考点一：函数与变量的概念 【★题型1】常量与变量的识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）在正方形面积公式中，变量为（   ） A．和2 B．，和2 C．和 D．和2 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 【★题型2】函数概念的辨析 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（       ） A． B． C． D． 考点二：函数值的求解 【★题型3】已知自变量求函数值 【例题3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 【★题型4】已知函数值求自变量 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 考点三：自变量的取值范围 【★题型5】根据代数意义求自变量取值范围 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为 ． 【★题型6】结合实际意义求自变量取值范围 【例题6】以等腰三角形一个底角的度数x为自变量，顶角的度数y为x的函数，则它的解析式为，其中x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·假期作业）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． （1）填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 （2）这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． （3）试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 考点四：函数的三种表示方法 【★题型7】解析式法、列表法、图象法的识别与转换 【例题7】（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式1】（23-24八年级上·广东河源·期中）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表所示，则这个关系式是 ． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是 （填写序号）． 考点五：一次函数的定义 【★题型8】一次函数与正比例函数的判定 【例题8】（2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 【★题型9】利用一次函数定义求参数值 【例题9】（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的函数为一次函数，则值为 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 考点六：一次函数的图象绘制 【★题型10】根据一次函数解析式画图象（列表、描点、连线） 【例题10】（25-26八年级上·全国·课前预习）在同一直角坐标系中画出函数和的图象． 列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北·期中）请画出函数的图象： （1）列表为： （2）描点、连线后画出该函数图象为： （3）结合图象，写出该函数的两条性质． 考点七：一次函数图象的基本性质（k、b的意义） 【★题型11】由k的符号判断函数的增减性 【例题11】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）直线经过两点和，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期中）对于一次函数，下列判断错误的是（    ） A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象中随的增大而减小 C．自变量的值每增加1，函数的值减小2 D．该函数的图象与轴交于点 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 【★题型12】由b的符号判断图象与y轴的交点位置 【例题12】（25-26八年级上·广西百色·期中）若直线与直线平行，且截距为6，则直线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是 ． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 考点八：用待定系数法求一次函数解析式 【★题型13】已知两点坐标求一次函数解析式 【例题13】（24-25八年级下·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若在该函数图象上，求的值． 【★题型14】已知图象特征求一次函数解析式（如过原点、与坐标轴交点） 【例题14】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（为实数）的图象经过原点，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，就可以确定棋子的位置，已知“帅”所在点的坐标为，“马”所在点的坐标为．    （1）求“炮”所在点的坐标； （2）求经过棋子“帅”和“兵”所在点的直线的函数表达式． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． （1）求k，m的值； （2）将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 二、培优篇 考点九：一次函数图象的综合判断（k、b共同作用） 【★★题型15】由k、b的符号判断图象经过的象限 【例题15】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【★★题型16】由图象经过的象限求参数的取值范围 【例题16】（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是 ． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 【变式2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、四象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 考点十：一次函数与坐标轴的交点问题 【★★题型17】求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标 【例题17】一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的横坐标为（   ） A． B． C．5 D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）将直线向上平移4个单位后经过点，平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 【★★题型18】利用交点求三角形面积 【例题18】（24-25八年级上·甘肃白银·月考）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： （1）求直线的函数表达式； （2）试求的面积． 考点十一：一次函数的平移问题 【★★题型19】一次函数图象的平移规律应用（上下平移、左右平移） 【例题19】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 考点十二：两条一次函数的交点问题 【★★题型20】求两条一次函数图象的交点坐标（解方程组） 【例题20】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【变式1】 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知a为实数，则一次函数与的图象的交点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★★题型21】判断两条直线的平行与垂直关系 【例题21】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 【变式3】阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 考点十三：一次函数的实际应用（基础建模） 【★★题型22】行程问题（匀速行驶、相遇追及） 【例题22】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）一辆轿车从市驶往市，1后一辆货车从市驶往市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回市，货车到达市比轿车返回市早2.5，轿车比货车每小时多行驶40，两车到达市后均停止行驶，两车距市的路程（单位：）与轿车行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示： （1）轿车行驶的速度； （2）求轿车从市返回市时的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出货车出发多长时间，与轿车相距200． 【变式1】（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【★★题型23】费用问题（计费标准、购物优惠） 【例题23】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价． （2）该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）“五一”节前夕，贝贝佳商场准备购进A，B两种商品，已知购进每件A 商品比每件B商品少用5元，用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若购进A，B两种商品共200件的费用不低于3400元且不高于3500元，请求出该商场有几种采购方案； （3）在（2）的条件下，A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，200件商品全部售出的最大利润为1500元，请直接写出a的值． 【变式2】 （25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． （1）长安汉服体验馆年卡________元； （2）请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ （3）若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 【★★题型24】工程问题（工作量、工作效率） 【例题24】（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； （2）求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【变式2】（24-25八年级下·广东云浮·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了______天． （2）求乙组停工后关于的函数解析式． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 考点十四：一次函数的实际应用（进阶建模） 【★★★题型25】分段函数问题（多计费标准、多优惠方案） 【例题25】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 （1）写出用气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； （3）某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 【★★★题型26】方案选择问题（利用一次函数性质比较最优方案） 【例题26】（25-26八年级上·全国·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为 元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）家电超市出售某种充电器，可从，两个厂家进货，进价均为60元/个，为了促销，两个厂家给出了不同的优惠方案： 厂家：一律打8折； 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 设该家电超市计划购进这种充电器个，去厂家购进应付元，去厂家购进应付元． （1）分别求出，与之间的函数关系式； （2）若该家电超市只在一个厂家进货，怎样选择划算？ 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）我校为了加强学生的体育锻炼，需要采购一批排球．已知甲、乙两个商店的单价分别是50元、55元，甲、乙两店各自推出不同的优惠方案，具体如下： 甲店：按原价的九折出售； 乙店：若购买不超过6个，按原价出售；若购买6个以上，超出6个的部分可按原价的六折进行优惠． 若我校要购买个排球，选择甲店费用为元，选择乙店费用为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式． （2）如果学校提供经费为990元，选择哪个商店能购买更多的排球？ 考点十五：一次函数与几何图形的综合 【★★★题型27】一次函数与三角形、四边形的综合计算 【例题27】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，直线分别与轴和轴交于、两点，、两点的位置如图所示，直线分别与轴和轴交于、两点，且与直线交于点．； （1）求直线的解析式； （2）若点、关于轴对称，，求四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； （3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十六：一次函数的规律探究问题 【★★★题型28】由一次函数图象或解析式探究数值规律 【例题28】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 考点十七：一次函数与不等式（组）的综合应用 【★★★题型29】由一次函数图象解一元一次不等式 【例题29】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，已知一次函数（k为常数，且）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数交于点C，已知点C的横坐标为2，下列说法错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．将的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C．对于一次函数，当时， D．关于x、y的方程组的解为 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时，的取值范围； （3）是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【★★★题型30】利用一次函数解决不等式相关的最值问题 【例题30】（23-24八年级上·广东佛山·月考）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）对每个是三个值中的最大值，则当变化时，函数的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是： ． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.7 一次函数全章专项训练（17大考点30类题型） 目录 一、基础篇 2 考点一：函数与变量的概念 2 【★题型1】常量与变量的识别 2 【★题型2】函数概念的辨析 3 考点二：函数值的求解 5 【★题型3】已知自变量求函数值 5 【★题型4】已知函数值求自变量 6 考点三：自变量的取值范围 7 【★题型5】根据代数意义求自变量取值范围 7 【★题型6】结合实际意义求自变量取值范围 9 考点四：函数的三种表示方法 11 【★题型7】解析式法、列表法、图象法的识别与转换 11 考点五：一次函数的定义 13 【★题型8】一次函数与正比例函数的判定 13 【★题型9】利用一次函数定义求参数值 14 考点六：一次函数的图象绘制 15 【★题型10】根据一次函数解析式画图象（列表、描点、连线） 15 考点七：一次函数图象的基本性质（k、b的意义） 19 【★题型11】由k的符号判断函数的增减性 19 【★题型12】由b的符号判断图象与y轴的交点位置 20 考点八：用待定系数法求一次函数解析式 22 【★题型13】已知两点坐标求一次函数解析式 22 【★题型14】已知图象特征求一次函数解析式（如过原点、与坐标轴交点） 23 二、培优篇 26 考点九：一次函数图象的综合判断（k、b共同作用） 26 【★★题型15】由k、b的符号判断图象经过的象限 26 【★★题型16】由图象经过的象限求参数的取值范围 28 考点十：一次函数与坐标轴的交点问题 30 【★★题型17】求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标 30 【★★题型18】利用交点求三角形面积 32 考点十一：一次函数的平移问题 35 【★★题型19】一次函数图象的平移规律应用（上下平移、左右平移） 35 考点十二：两条一次函数的交点问题 37 【★★题型20】求两条一次函数图象的交点坐标（解方程组） 37 【★★题型21】判断两条直线的平行与垂直关系 39 考点十三：一次函数的实际应用（基础建模） 42 【★★题型22】行程问题（匀速行驶、相遇追及） 42 【★★题型23】费用问题（计费标准、购物优惠） 46 【★★题型24】工程问题（工作量、工作效率） 49 考点十四：一次函数的实际应用（进阶建模） 53 【★★★题型25】分段函数问题（多计费标准、多优惠方案） 53 【★★★题型26】方案选择问题（利用一次函数性质比较最优方案） 56 考点十五：一次函数与几何图形的综合 58 【★★★题型27】一次函数与三角形、四边形的综合计算 58 考点十六：一次函数的规律探究问题 64 【★★★题型28】由一次函数图象或解析式探究数值规律 64 考点十七：一次函数与不等式（组）的综合应用 68 【★★★题型29】由一次函数图象解一元一次不等式 68 【★★★题型30】利用一次函数解决不等式相关的最值问题 72 【题型标注说明】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一、基础篇 考点一：函数与变量的概念 【★题型1】常量与变量的识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 单价 数量，金额 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）在正方形面积公式中，变量为（   ） A．和2 B．，和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量. 在正方形面积公式 中， 和 是变化的量，而 2 是常数指数，不是变量. 解：∵ 变量是可以在公式中变化的量，常量是固定值； 在 中，（面积）和 （边长）的值可以变化，而 2 是固定指数，为常量； ∴ 变量为 和 . 故选：C. 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 【答案】自变量 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义即可解答． 解：根据函数的定义，中，是的函数，是自变量，是因变量， 故答案为：自变量． 【★题型2】函数概念的辨析 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【答案】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；因此此题可根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行求解即可． 解：由题意可知：可以把Q看成是h的函数； 故答案为Q，h． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的定义，准确理解“的每一个确定值对应唯一的值”是解题的关键． 根据函数的定义，判断取一个值时是否有唯一值与之对应，进而确定不是的函数的选项． 解：函数的定义是：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项、、中，任意一条垂直于轴的直线与曲线都只有一个交点，满足“每取一个值，有唯一值对应”，因此是的函数． 故选：． 考点二：函数值的求解 【★题型3】已知自变量求函数值 【例题3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查求函数值，将代入关系式计算即可． 解：当时，， 故答案为：7． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了函数值，分类讨论思想，根据输入的值为2时，输出的的值为1求出的值是解答关键. 利用输入的值为2时，输出的的值为1求出，再将代入计算求解. 解：当时，， ， 当时，. 故答案为：7. 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 【答案】720 【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函数值是解题的关键； 把代入关系式计算，可得结果． 解：由题知，当时，． 故答案为：720 ． 【★题型4】已知函数值求自变量 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数的变量，放完水时存水量，代入函数表达式解方程即可． 解：∵ 放完水时，且， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 考点三：自变量的取值范围 【★题型5】根据代数意义求自变量取值范围 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数；（2）见详解，答案不唯一； （3）①，x可为任意实数；；；②；；． 【分析】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 解：∵分母， ∴． 故自变量x的取值范围为 ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 【★题型6】结合实际意义求自变量取值范围 【例题6】以等腰三角形一个底角的度数x为自变量，顶角的度数y为x的函数，则它的解析式为，其中x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式． 根据三角形内角和定理得，然后变形就可以求出与的函数解析式． 解：， ∵ ， ∵为底角度数， ∴． 故选C． 【变式1】（24-25八年级下·全国·假期作业）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． （1）填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 （2）这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． （3）试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【答案】（1）见分析；（2）x与y，5；（3），周长，一边，另一边 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量之间的关系，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． （1 ）根据：（长宽）周长，填表可得； （2 ）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3 ）由（1 ）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 解：（1）解：填写表格如下： 一边长 3 4 x 另一边长 2 1 （2）解：在以上这个过程中，变量是x与y，不变化的量5； （3）解：用含x的式子表示y，，x的取值范围是， 这个问题反映了矩形的周长不变，一边随另一边的变化过程． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 考点四：函数的三种表示方法 【★题型7】解析式法、列表法、图象法的识别与转换 【例题7】（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 【变式1】（23-24八年级上·广东河源·期中）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表所示，则这个关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式、函数值，找到变量之间的变化规律是解题的关键．根据表格中变量的变化规律解答即可． 解：根据表格，得. 故答案为：. 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 考点五：一次函数的定义 【★题型8】一次函数与正比例函数的判定 【例题8】（2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数①；②；③；④中，是的一次函数的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 【★题型9】利用一次函数定义求参数值 【例题9】（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的函数为一次函数，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 解：由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值． 解：函数是一次函数， 指数满足，且系数满足， 由得，， 由得， ， 故选：． 考点六：一次函数的图象绘制 【★题型10】根据一次函数解析式画图象（列表、描点、连线） 【例题10】（25-26八年级上·全国·课前预习）在同一直角坐标系中画出函数和的图象． 列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 【答案】见分析 【分析】本题考查了一次函数图象的绘制，解题的关键是通过列表、描点、连线的步骤画出函数图象． 先根据函数表达式，代入值求出对应的值完成列表，再依据列表中的坐标进行描点、连线． 解：中，； 中，； 中，． 画图如答图． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河北·期中）请画出函数的图象： （1）列表为： （2）描点、连线后画出该函数图象为： （3）结合图象，写出该函数的两条性质． 【答案】（1）；；；；；（2）描点、连线见详解；（3）该函数图象经过第一、三、四象限；随的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据的值求出的值即可； （）描点、连线即可作出的图象； （）根据一次函数的性质即可求解． 解：（1）解：列表为： （2）解：描点、连线如图， （3）解：该函数的性质该函数图象经过第一、三、四象限； 随的增大而增大． 考点七：一次函数图象的基本性质（k、b的意义） 【★题型11】由k的符号判断函数的增减性 【例题11】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）直线经过两点和，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的增减性判断函数值的大小关系． 先确定一次函数的斜率符号，得出其增减性；再比较两点横坐标的大小，进而得到函数值、的大小关系． 解：对于一次函数，， 随的增大而增大； 又， 对应的函数值，选项A符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期中）对于一次函数，下列判断错误的是（    ） A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象中随的增大而减小 C．自变量的值每增加1，函数的值减小2 D．该函数的图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 解：函数中，，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； ∵，∴ y随x增大而减小，B正确； ∵，∴ x每增加1，y减小2，C正确； 设，则，解得，∴与x轴交点为， D错误． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与y轴的交点特征，解题的关键是确定一次函数与y轴交点的纵坐标（截距）的符号，进而求出的取值范围． 求出一次函数与y轴的交点纵坐标为，根据交点在y轴负半轴得，解得，再判断选项中符合该范围的值． 解：一次函数与y轴的交点纵坐标为， 图象与y轴负半轴相交， ，即． 故选：D． 【★题型12】由b的符号判断图象与y轴的交点位置 【例题12】（25-26八年级上·广西百色·期中）若直线与直线平行，且截距为6，则直线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键．根据两直线平行和截距的长度得到，再把代入运算即可． 解：∵， ∴， 又∵截距为6，即， ∴； 令，得， ∴， ∴交点坐标为 ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．解题时，利用了一次函数图象的性质．首先得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围得到函数值的取值范围即可． 解：∵在一次函数中，， ∴随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴函数值的取值范围为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出，两点的坐标，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点八：用待定系数法求一次函数解析式 【★题型13】已知两点坐标求一次函数解析式 【例题13】（24-25八年级下·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数解析式，根据表格中的数据，确定是一次函数关系，运用待定系数法求出一次函数的关系式，代入验证即可得出正确选项． 解：当x由33增加到36时，h由62增加到67（增加）；同理，x由36增加到39时，h由67增加到72，仍增加，可知h与x成一次函数， 设h与x之间函数关系式为， 把代入得，， 解得：， 所以，h关于x的函数表达式为， 当时，，满足条件， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查一次函数平行的规律：k值相等，据此得，再将点坐标代入求出函数的解析式 解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴． ∴一次函数的解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）将点代入求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及利用一次函数解析式求点的坐标，掌握待定系数法是解题关键． 解：（1）将，代入一次函数得， ， 解得 ∴； （2）∵在该函数图象上， ∴ ∴． 【★题型14】已知图象特征求一次函数解析式（如过原点、与坐标轴交点） 【例题14】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（为实数）的图象经过原点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入一次函数解析式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵函数（为实数）的图象经过原点， ∴时，， 即， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，就可以确定棋子的位置，已知“帅”所在点的坐标为，“马”所在点的坐标为．    （1）求“炮”所在点的坐标； （2）求经过棋子“帅”和“兵”所在点的直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坐标在实际问题中的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据点的坐标确定平面直角坐标系，正确建立直角坐标系是解题的关键． （1）先根据点的坐标，建立平面直角坐标系，再写出“炮”的坐标即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可． 解：（1）解：如图建立平面直角坐标系，由图可知“炮”所在点的坐标为；    （2）由图可知“兵”所在点的坐标为，“帅”所在点的坐标为， 设其表达式为，由题意得， 解得， 该函数的表达式为． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． （1）求k，m的值； （2）将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的平移． （1）将代入即可求出m的值，将A点坐标代入即可求出k的值； （2）设点坐标为，则点平移后得到的点坐标为，点代入计算求出，即可求出点的坐标． 解：（1）将代入， 得， 将代入， 得， 解得； （2）已知点在函数图象上，设点坐标为， 则点平移后得到的点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 所以点坐标为． 二、培优篇 考点九：一次函数图象的综合判断（k、b共同作用） 【★★题型15】由k、b的符号判断图象经过的象限 【例题15】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由直线为，则令，则，可得与x轴相交于点，故可判断A；根据两条直线平行，可得与直线平行的直线，故可判断B；依据题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故可判断C；依据题意，由直线为，，则y随x的增大而增大，结合一次函数的性质即可判断D． 解：∵直线为， ∴令，则，可得与x轴相交于点，故A错误； 根据两条直线平行，可得与直线平行的直线的，故B错误； 由题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故C错误； ∵直线为，， ∴y随x的增大而增大． ∵点在上，且， ∴，则D正确． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象得，，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 解：由一次函数的图象得：， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 【★★题型16】由图象经过的象限求参数的取值范围 【例题16】（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是 ． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，一次函数的性质，理解经过两点求得的临界值是解题的关键． （1）根据，当时，y与k的值无关，即可得出定点的坐标； （2）要使直线与线段没有交点，则直线在点B上方或直线在点C下方，分别将代入，即可解答． 解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 故答案为：； （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则，解得， 当直线过C点时， 则，解得， ∴或． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、截距等知识点，理解一次函数的一次项系数不能为零是解题的关键． 一次函数的y轴截距为常数项，需为正实数；同时一次项系数不能为零，以确保函数为一次函数，据此求解即可． 解：该函数为一次函数，因此一次项系数，解得． ∵y轴截距为正数， ∴当时的函数值，即，需满足，解得：． 综上，的取值范围为且，即或． 故答案为：2或． 【变式2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、四象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解分式方程、一次函数的图象与性质、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先求解分式方程得到，根据分式方程解为非负数得到的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、四象限，得到关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围，再结合a是整数得出满足条件的整数a的值，即可得出答案． 解：， 去分母，得， 解得， ∵分式方程解为非负数， ∴且， ∴且， 解得且， ∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得， ∴且， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值为， ∴满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：4． 考点十：一次函数与坐标轴的交点问题 【★★题型17】求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标 【例题17】一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由得，当时，，由得，当时，，又一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则有，然后化简即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 解：由得，当时，， 由得，当时，， ∵一次函数与的图象在轴上相交于同一点， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的横坐标为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）将直线向上平移4个单位后经过点，平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线平移时解析式的变化规律，待定系数法求解析式，直线与坐标轴的交点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据平移规律得到平移后的直线方程，再利用经过的点求参数k，最后求与x轴的交点坐标． 解：将直线 向上平移4个单位后，得到新直线方程为 ， 由于新直线经过点 ，代入得 ， 解得 ． ∴平移后的直线方程为 ， 令 ，得 ， 解得 ， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为 ． 故答案为：． 【★★题型18】利用交点求三角形面积 【例题18】（24-25八年级上·甘肃白银·月考）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和几何综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式．先求出，设点C的坐标为，则，根据直线将分为面积比为的两部分列出方程，求出或，得到点C的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式即可． 解：当时，，解得， 当时，， ∴， ∴， 设点C的坐标为，则， ∵直线将分为面积比为的两部分， ∴或 ∴或 ∴或 解得或 当时，点C的坐标为, 设直线的函数表达式为，把，代入得到， 解得 ∴直线的函数表达式为， 当时，点C的坐标为， 同理可得，此时直线的函数表达式为， 综上可知，直线的函数表达式为或， 故选：C 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为点，试解决下面的问题： （1）求直线的函数表达式； （2）试求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法是解此题的关键． （1）设直线的函数表达式为将点代入表达式计算即可得解； （2）求出，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 解：（1）解：由题图可设直线的函数表达式为， 将点代入表达式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∴． 考点十一：一次函数的平移问题 【★★题型19】一次函数图象的平移规律应用（上下平移、左右平移） 【例题19】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律． 根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式． 解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标等知识点，掌握第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0是解题的关键． 解方程组可得直线与直线的交点坐标为，依据交点在第一象限，即可得出，再结合已知条件即可解答． 解：把直线向下平移m个单位，可得， 解方程组，解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第一象限， ∴，解得：． 故答案为：． 考点十二：两条一次函数的交点问题 【★★题型20】求两条一次函数图象的交点坐标（解方程组） 【例题20】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，及一次函数与坐标轴的交点问题，由与轴交点的纵坐标为，求得，由与给定直线无交点，求得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵ 一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴ 当时，，即， 又∵ 一次函数的图象与直线没有交点， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知a为实数，则一次函数与的图象的交点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了求函数交点坐标，判断点所在的象限． 通过联立两个一次函数解析式求交点坐标，再根据交点横纵坐标的符号判断所在象限． 解：， ， ， ， ， ∴交点坐标为 ． 若交点在第一象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第二象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第三象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第四象限，则且，解得且，无解，不成立； 故选：D． 【★★题型21】判断两条直线的平行与垂直关系 【例题21】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图象平行的问题、求一次函数的解析式，解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式． 设此一次函数的解析式为，根据一次函数图象平行得到相同，再代入得到方程组求解即可． 解：设此一次函数的解析式为 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：． 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据图象平行，得，于是向下平移3个单位后为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数图象平行的条件，平移，图象过点，熟练掌握图象平行的条件和平移是解题的关键． 解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新解析式经过点， ∴ 解得， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、函数图象的平移以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与图象平移规律是解题的关键． （1）将已知的、值代入一次函数解析式，解方程求出、的值，进而得到函数表达式． （2）先根据函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再分别求出平移后图象与轴、轴的交点坐标，最后利用勾股定理计算线段的长． 解：（1）解：将，代入得， 解得， 将，，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：函数向左平移个单位长度，得平移后的解析式为 ， 令，得， 解得， ∴． 令，， ∴． ∴． 【变式3】阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 解：（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点拨】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 考点十三：一次函数的实际应用（基础建模） 【★★题型22】行程问题（匀速行驶、相遇追及） 【例题22】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）一辆轿车从市驶往市，1后一辆货车从市驶往市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回市，货车到达市比轿车返回市早2.5，轿车比货车每小时多行驶40，两车到达市后均停止行驶，两车距市的路程（单位：）与轿车行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示： （1）轿车行驶的速度； （2）求轿车从市返回市时的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出货车出发多长时间，与轿车相距200． 【答案】（1）120；（2）；（3）货车出发2或4或，与轿车相距200 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用； （1）设轿车行驶的速度为，则货车行驶的速度为，列式计算即可； （2）设轿车从B市返回A市时的函数解析式为，求出，代入计算即可； （3）设货车出发x小时，与轿车相距200，根据图中信息，分别在相遇前，相遇后列式计算即可． 解：（1）解：设轿车行驶的速度为， 则货车行驶的速度为， ∴ 解得； 答：轿车行驶的速度为． （2）解：设轿车从B市返回A市时的函数解析式为． 轿车从B市返回A市所需时间为． 而货车速度为， 货车全程所需时间为， 轿车往返共用时间为， ， ， 所以． 带入解析式可得： ． 解得 ∴轿车从B市返回A市时的函数解析式为． （3）解：设货车出发x小时，与轿车相距200， 相遇前：；解得：． 相遇后：；解得：． 轿车返回过程中：当时， 两车距离， ∴ ∴， 答：货车出发2或4或，与轿车相距200． 【变式1】（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 【★★题型23】费用问题（计费标准、购物优惠） 【例题23】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价． （2）该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元；（2）当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A纪念品x件，则，由题意得：，再利用一次函数的增减性求最值即可． 解：（1）解：设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元， 则，解得：， 答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 （2）解：设购进A纪念品x件，则， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时购进B纪念品件， 答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）“五一”节前夕，贝贝佳商场准备购进A，B两种商品，已知购进每件A 商品比每件B商品少用5元，用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若购进A，B两种商品共200件的费用不低于3400元且不高于3500元，请求出该商场有几种采购方案； （3）在（2）的条件下，A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，200件商品全部售出的最大利润为1500元，请直接写出a的值． 【答案】（1）每件A商品进价为15 元，每件B商品进价为20 元；（2）有21种购买方案；（3）a的值是3 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设A种商品每件的进价为m元，根据“用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A商品n件，根据“总费用不低于3400元且不高于3500元”列不等式组求解即可； （3）设销售利润为w元，则 ，根据一次函数的性质，求解，然后作答即可． 解：（1）解：设A种商品每件的进价为m元，则B种商品每件的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：每件A商品进价为15 元，每件B商品进价为20 元； （2）解：设购进A商品n件，则购进B商品件， 根据题意，得， 解得， 又n 为整数， ∴共有种采购方案； （3）解：设销售利润为w元， 则 ， ∵ ， ∴w随n的增大而减小， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 解得，， 答：a的值为3． 【变式2】 （25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． （1）长安汉服体验馆年卡________元； （2）请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ （3）若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 【答案】（1）480；（2）每件汉服租金的原价是120元；；；（3）选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（方案选择问题），解题的关键是根据题意建立租金与租用件数的函数关系式，结合函数图象与已知条件求解参数，并通过代入预算值比较方案的性价比． （1）由时的数值得年卡； （2）设原价为，利用时列方程求原价，再写两种方案的函数表达式； （3）将预算代入函数式求租用件数，比较件数判断更划算的方案． 解：（1）解：由图象，当时，，即年卡； 故答案为：480． （2）解：设每件汉服租金原价为元， 由题意得，， 当时，，则， 解得． 即每件汉服租金的原价是120元． 方案一的函数表达式：； 方案二的函数表达式：． （3）解：当租金预算为4800元时，代入，得，解得； 代入，得，解得． ， 选择方案二更划算． 【★★题型24】工程问题（工作量、工作效率） 【例题24】（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； （2）求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）10天 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 解：（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】（1）y关于x的函数关系式为；（2）现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 解：（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 【变式2】（24-25八年级下·广东云浮·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了______天． （2）求乙组停工后关于的函数解析式． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】（1）；（2）；（3）天 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）求出甲组的挖掘速度，从而求出乙组停工后关于的函数解析式即可； （3）设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度列方程列关于的方程并求解即可． 解：（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）． 故答案为：． （2）解：甲组的挖掘速度为（/天）， 则当时，， 乙组停工后关于的函数解析式为． （3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天）， 则乙组的挖掘速度为（/天）， 设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天， 根据题意，得， 解得， （天）． 答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天． 考点十四：一次函数的实际应用（进阶建模） 【★★★题型25】分段函数问题（多计费标准、多优惠方案） 【例题25】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 （1）写出用气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； （3）某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1）；（2）该户这一年的用气费为1147元；（3）该户去年一年的用气量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据表格分段列出函数关系式即可； （2）将代入，求出值即可； （3）求出第一档和第二档的最高费用，可推出该户的年用气量属于第二档，所以，即可求解． 解：（1）解：由表格可知， 当时，； 当时，； 当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 即该户这一年的用气费为1147元； （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为， 所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：． 答：该户去年一年的用气量为． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数应用． 根据九月份用水量与水费的关系可得的值，根据十月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可． 解：九月份的用水量为，水费为12元，未超过6， 则，解得， 十月份的用水量为，水费为元，超过6 ∴，解得， 设某户该月用水量为，应交水费为， 即 故答案为： ， 【★★★题型26】方案选择问题（利用一次函数性质比较最优方案） 【例题26】（25-26八年级上·全国·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为 元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）李老师选乙商店比较合算，理由见分析 【分析】（）求出时的值即可求解； （）根据题意解答即可求解； （）求出时和的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：当时，， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴ 的函数表达式为； （3）解：选乙商店比较合算．理由如下： 当时，，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 【变式1】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）家电超市出售某种充电器，可从，两个厂家进货，进价均为60元/个，为了促销，两个厂家给出了不同的优惠方案： 厂家：一律打8折； 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 设该家电超市计划购进这种充电器个，去厂家购进应付元，去厂家购进应付元． （1）分别求出，与之间的函数关系式； （2）若该家电超市只在一个厂家进货，怎样选择划算？ 【答案】（1），；（2）当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当时、当时，与之间的函数关系即可； （2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可． 解：（1）解：根据题意，得； 当时，； 当时，； 综上，， 与之间的函数关系为，与之间的函数关系为； （2）解：当时：； 当时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，；当时，；当时，． 当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）我校为了加强学生的体育锻炼，需要采购一批排球．已知甲、乙两个商店的单价分别是50元、55元，甲、乙两店各自推出不同的优惠方案，具体如下： 甲店：按原价的九折出售； 乙店：若购买不超过6个，按原价出售；若购买6个以上，超出6个的部分可按原价的六折进行优惠． 若我校要购买个排球，选择甲店费用为元，选择乙店费用为元． （1）请分别求出，关于的函数关系式． （2）如果学校提供经费为990元，选择哪个商店能购买更多的排球？ 【答案】（1）；；（2）选择乙店能购买更多的排球，见分析 【分析】本题考查一次函数的实际应用. （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数关系式，求出x值，进行比较即可． 解：（1）解：根据题意得： ； ； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得； ， 选择乙店能购买更多的排球． 考点十五：一次函数与几何图形的综合 【★★★题型27】一次函数与三角形、四边形的综合计算 【例题27】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可． 解：（1）解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设点，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点M的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，直线分别与轴和轴交于、两点，、两点的位置如图所示，直线分别与轴和轴交于、两点，且与直线交于点．； （1）求直线的解析式； （2）若点、关于轴对称，，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由轴对称的性质可得，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可得点的坐标为，再由计算即可得解． 解：（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； （3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点B坐标，再根据求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出，再根据面积关系得到，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，继而确定点C的坐标即可； （3）根据条件可得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可． 解：（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即， ∴，即， 将点A坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：， ∵点C在直线上， ∴当时，，即； 当时，，即． ∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵， ∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时， ∴，即点P的横坐标为或， 如图： ∴点P的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或， 如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 考点十六：一次函数的规律探究问题 【★★★题型28】由一次函数图象或解析式探究数值规律 【例题28】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 解：作轴于点H， ，……均在直线上， ， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ， ……， ∴， 即点的横坐标是， 故答案为：． 考点十七：一次函数与不等式（组）的综合应用 【★★★题型29】由一次函数图象解一元一次不等式 【例题29】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，已知一次函数（k为常数，且）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数交于点C，已知点C的横坐标为2，下列说法错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．将的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C．对于一次函数，当时， D．关于x、y的方程组的解为 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．根据已知条件得到，把代入得到，即可求得，，再逐项分析即可得解． 解：A、∵点C的横坐标为2， ∴当时，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， 当时，，当时，， ∴，， 故选项A正确，不符合题意； B、将的图象向下平移2个单位长度后所得解析式为，其函数图象经过原点， 故选项B正确，不符合题意； C、由函数图象可知，对于一次函数，当时，， 故选项C错误，符合题意； D、方程组可变形为， ∵， ∴方程组的解为， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题． 直接根据函数图象作答即可． 解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时，的取值范围； （3）是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】（1）正比例函数，一次函数；（2）；（3）或 【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图象，写出在上方时，的取值范围； （3）分两种情况：①点在第二象限，，；②点在第二象限，，，利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 解：（1）解：，代入得： ，解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）根据函数图象可得，当时，； （3）解：对于一次函数， 当时，，即，， ， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ，， ， ； ②如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 综上，点的坐标为或． 【★★★题型30】利用一次函数解决不等式相关的最值问题 【例题30】（23-24八年级上·广东佛山·月考）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得：， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）对每个是三个值中的最大值，则当变化时，函数的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键．分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，画出大致图象，再根据交点坐标和图象即可求解． 解：联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， 联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， 联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， ∴函数图象如下， ∴由图象可知当时，最大，且； 当时，最大，且， ∴当x变化时，函数y的最小值为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是： ． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． ①把代入，求出点B的坐标即可； ②先求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式，求出的长度即可； ③先分别求出、的长，即可得出，说明为等腰三角形； ④根据，即可求解． 解：①把代入得， ∴点B的坐标为，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，， ∴， ∴为等腰三角形，故③正确； ④∵垂线段最短， ∴当时，最小， ， 又∵， ，即的最小值为3，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $