专题10 不等式的应用八类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题10 不等式的应用八类综合题型 典例详解 类型一、行程问题 类型二、求范围问题 类型三、工程问题 类型四、销售问题 类型五、方案选择问题 类型六、分段收费问题 类型七、几何问题 类型八、其他问题 压轴专练 类型一、行程问题 例1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 变式1-1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 变式1-2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 类型二、求范围问题 例2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）水是人类宝贵的自然资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平，每个人都要节约用水．为帮助小明家和小亮家制定更合理的家庭用水计划，张老师对小明家和小亮家2022年的月平均用水量进行调查，发现2022年小明家月平均用水量比小亮家月平均用水量多5吨． (1)如果2022年小明家和小亮家共用水420吨，那么2022年小明家和小亮家的月平均用水量分别为多少吨？ (2)如果小明家计划2023年实际用水总量不低于144吨，同时又不超过180吨．那么小明家2023年的月平均用水量应该控制在什么范围？ 变式2-1．（2025八年级上·全国·专题练习）一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元． (1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？ (2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？ 变式2-2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 变式2-3．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数） (1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？ (2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围． 类型三、工程问题 例3．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 变式3-1．（20-21七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 变式3-2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 类型四、销售问题 例4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）现在越来越多的大学生选择回到家乡投身农业，在外地创业成功的大学毕业生小姣响应号召，毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地，最近为给基地蔬菜施肥，她购买甲、乙两种有机肥，已知购买2吨甲种有机肥和3吨乙种有机肥共需4100元，购买3吨甲种有机肥和4吨乙种有机肥共需5850元， (1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ (2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不超过7950元，则小姣最少能购买乙种有机肥多少吨？ 变式4-1．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 变式4-2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元． (1)求这两种家电每件的进价分别是多少元． (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ 类型五、方案选择问题 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 变式5-1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 变式5-2．（25-26七年级上·全国·期中）某校为准备秋季运动会，计划购买一批运动服和运动鞋．已知购买3套运动服和2双运动鞋共需560元，购买1套运动服和3双运动鞋共需420元． (1)求每套运动服和每双运动鞋的单价． (2)根据学校实际情况，需要一次性购买运动服和运动鞋共100件（鞋是双，服是套），总费用不超过11400元，且购买运动服的套数不少于运动鞋双数的2倍．请问学校共有哪几种购买方案？ 类型六、分段收费问题 例6．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 变式6-1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 变式6-2．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 变式6-3．（20-21七年级下·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 类型七、几何问题 例7．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 变式7-1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 变式7-2．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 类型八、其他问题 例8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀（不低于90分），那么小明至少答对了 题． 变式8-1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图①，一种长方形餐桌的四周可坐8人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图②方式进行拼接． (1)若把2张这样的餐桌拼接起来，四周可坐________人； (2)若把n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐________人；（用含n的代数式表示） (3)某公司有员工65人集体聚餐，要保证每人都有座位，按此方式，至少需要拼接多少张餐桌？ 变式8-2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人． (1)直接写出x的范围． (2)如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 6．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 7．（广西南宁市兴宁区新兴学校 2017年九年级数学中考模拟试卷（含答案））为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 a 二档 b 三档 0.82 (1)已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； (2)六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 9．（25-26九年级上·重庆·月考）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． (1)请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 10．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）（1）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／］ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过148元，则李叔家七月份最多可用电多少？ （2）已知关于的不等式组；当时，求这个不等式组的解集． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 不等式的应用八类综合题型 典例详解 类型一、行程问题 类型二、求范围问题 类型三、工程问题 类型四、销售问题 类型五、方案选择问题 类型六、分段收费问题 类型七、几何问题 类型八、其他问题 压轴专练 类型一、行程问题 例1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 变式1-1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 变式1-2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 【答案】(1)无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时 (2)无人机的速度还要至少增加千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：传统车辆匀速配送路程为30千米的所用时间无人机飞行路程为16千米的所用时间小时，据此列方程，即可求解； （2）不等关系式：小时无人机的增速后的速度千米，据此列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设无人机的配送速度分别是千米/时，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （千米/时）， 答：无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时； （2）解：设无人机的速度还要增加千米/时，由题意得 ， 解得：， 答：无人机的速度还要至少增加千米/时． 类型二、求范围问题 例2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）水是人类宝贵的自然资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平，每个人都要节约用水．为帮助小明家和小亮家制定更合理的家庭用水计划，张老师对小明家和小亮家2022年的月平均用水量进行调查，发现2022年小明家月平均用水量比小亮家月平均用水量多5吨． (1)如果2022年小明家和小亮家共用水420吨，那么2022年小明家和小亮家的月平均用水量分别为多少吨？ (2)如果小明家计划2023年实际用水总量不低于144吨，同时又不超过180吨．那么小明家2023年的月平均用水量应该控制在什么范围？ 【答案】(1)小明家月平均用水量为20吨，小亮家月平均用水量为15吨 (2)小明家2023年月平均用水量应该控制在12吨到15吨之间 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题，列一元一次不等式组解决实际问题，根据题意找准等量关系是解题的关键． （1）设小亮家2022年月平均用水量为x吨，则小明家月平均用水量为吨，然后根据两家总用水量列方程求解即可； （2）通过设小明家月平均用水量为y吨，则年用水量为12y吨，然后根据用水总量范围列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设小亮家2022年月平均用水量为x吨，则小明家月平均用水量为吨， 根据题意，两家年总用水量为420吨，则 解得 ∴小明家月平均用水量为吨， 答：2022年小明家月平均用水量为20吨，小亮家月平均用水量为15吨． （2）解：设小明家2023年月平均用水量为y吨，则年用水量为12y吨， 根据题意， 解得 ∴月平均用水量应满足， 答：小明家2023年月平均用水量应该控制在12吨到15吨之间． 变式2-1．（2025八年级上·全国·专题练习）一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元． (1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？ (2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？ 【答案】(1)这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人； (2)这个八年级学生有人． 【分析】本题考查了不等式组的应用，分式方程的应用，读懂题意，列出不等式组，分式方程是解题的关键． （）设这个学校八年级有人，根据题意得，然后解不等式组即可； （）设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支，根据题意得，然后解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解：设这个学校八年级有人， 根据题意得：， 解得：， 答：这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人； （2）解：设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴（人）， 答：这个八年级学生有人． 变式2-2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 变式2-3．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数） (1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？ (2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围． 【答案】(1)他的不正常 (2) 【分析】（1）根据的计算公式求解即可； （2）根据，可得，根据他的正常，可得体重的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 他的不正常； （2）解：男性的身体质量指数正常范围是， ， ， 他的体重范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题中的公式是解题的关键． 类型三、工程问题 例3．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 变式3-1．（20-21七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 变式3-2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 类型四、销售问题 例4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）现在越来越多的大学生选择回到家乡投身农业，在外地创业成功的大学毕业生小姣响应号召，毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地，最近为给基地蔬菜施肥，她购买甲、乙两种有机肥，已知购买2吨甲种有机肥和3吨乙种有机肥共需4100元，购买3吨甲种有机肥和4吨乙种有机肥共需5850元， (1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ (2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不超过7950元，则小姣最少能购买乙种有机肥多少吨？ 【答案】(1)甲种有机肥每吨1150元，乙种有机肥每吨600元 (2)小姣最少能购买乙种有机肥7吨 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设甲、乙两种有机肥每吨分别为元和元，根据购买2吨甲种有机肥和3吨乙种有机肥共需4100元，购买3吨甲种有机肥和4吨乙种有机肥共需5850元，列出方程组进行求解即可； （2）设小姣购买乙种有机肥吨，根据小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不超过7950元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种有机肥每吨分别为元和元，由题意，得： ， 解得； 答：甲种有机肥每吨1150元，乙种有机肥每吨600元； （2）解：设小姣购买乙种有机肥吨，则购买甲种有机肥吨，由题意，得： ， 解得； ∴的最小整数解为； 故小姣最少能购买乙种有机肥7吨． 变式4-1．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元 (2)A种商品至少购进10件 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键． （1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价． （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量． 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； （2）解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 变式4-2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元． (1)求这两种家电每件的进价分别是多少元． (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ 【答案】(1)甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元 (2)60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种家电每件的进价是元，乙种家电每件的进价是元，根据购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据总金额不超过54000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是x元，乙种家电每件的进价是y元， 由题意得， 解得， 答：甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元； （2）解：设该商场购进甲种家电m件，则购进乙种家电件， 由题意得，， 解得， 答：该商场至少购进甲种家电60件． 类型五、方案选择问题 例5．（25-26八年级上·全国·课后作业）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 【答案】(1)这五天共累计增加410碳币； (2)乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为； (3)一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），详见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）利用这五天共累计增加碳币的数量（选择方式一单程出行累计增加碳币数每次签到可累计增加碳币数）,即可求出结论； （2）设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （碳币）． 答：这五天共累计增加410碳币． （2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为， 根据题意得：， 解得：． 答：乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为． （3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），理由如下： 设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以为25，26，27，28，29，30， 一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一）． 变式5-1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 变式5-2．（25-26七年级上·全国·期中）某校为准备秋季运动会，计划购买一批运动服和运动鞋．已知购买3套运动服和2双运动鞋共需560元，购买1套运动服和3双运动鞋共需420元． (1)求每套运动服和每双运动鞋的单价． (2)根据学校实际情况，需要一次性购买运动服和运动鞋共100件（鞋是双，服是套），总费用不超过11400元，且购买运动服的套数不少于运动鞋双数的2倍．请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)运动服120元/套，运动鞋100元/双 (2)共4种方案，具体方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，不等式组的应用； （1）设运动服元/套，运动鞋元/双，根据“购买3套运动服和2双运动鞋共需560元，购买1套运动服和3双运动鞋共需420元”列方程组求解即可； （2）设购买运动服套，则运动鞋双，根据题意列不等式组，求出，再根据为整数求出方案即可． 【详解】（1）解：设运动服元/套，运动鞋元/双． 由题意得， ， 解得． 答：运动服120元/套，运动鞋100元/双 （2）解：设购买运动服套，则运动鞋双． 由题意得，， 解得． ∵为整数， ∴． ∴共4种方案，分别为： 方案一：，购买运动服套，运动鞋双； 方案二：，购买运动服套，运动鞋双； 方案三：，购买运动服套，运动鞋双； 方案四：，购买运动服套，运动鞋双． 类型六、分段收费问题 例6．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 变式6-1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 变式6-2．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 变式6-3．（20-21七年级下·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)的值为8，的值为12 (2)有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本 (3)书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减的应用，正确建立方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得； （2）设该书店购进种新书本，则购进种新书本，根据题意建立一元一次不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数解答即可得； （3）分别求出三种方案的利润，再根据整式的加减法则比较大小，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 答：的值为8，的值为12． （2）解：设该书店购进种新书本，则购进种新书本， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本， 答：有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本． （3）解：方案①购进种新书58本，种新书42本， 则书店获得的利润为（元）； 方案②购进种新书59本，种新书41本， 则书店获得的利润为（元）； 方案③购进种新书60本，种新书40本， 则书店获得的利润为（元）； ∵， ∴，， ∴， 答：书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润． 类型七、几何问题 例7．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 变式7-1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据当时，点在点的右侧运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：点在点左侧和点在点的右侧时，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 解得， 故答案为：； （2）解：平分的面积， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 点在点左侧时，， 则， 解得； 当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或时，． 变式7-2．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 【答案】(1)或时，； (2)当时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的面积，解一元一次方程以及解一元一次不等式． （1）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式，计算即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得； 综上所述，或时，； （2）解：∵平行线间的距离相等， ∴、、的高相等， 当时，， ， 解得， 当时，． 类型八、其他问题 例8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀（不低于90分），那么小明至少答对了 题． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意，根据不等关系列出不等式是关键；通过设未知数表示答对题数，根据总题数和得分规则列出不等式，求解后取整数解． 【详解】解：设小明答对了题，则答错了题（因为有1题没答，共答了29题）． 根据得分规则，得分为，且不低于90分， 即：， 化简得：， 解得：， 由于为整数，因此． 故小明至少答对了22题． 变式8-1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图①，一种长方形餐桌的四周可坐8人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图②方式进行拼接． (1)若把2张这样的餐桌拼接起来，四周可坐________人； (2)若把n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐________人；（用含n的代数式表示） (3)某公司有员工65人集体聚餐，要保证每人都有座位，按此方式，至少需要拼接多少张餐桌？ 【答案】(1) (2) (3)这样的餐桌至少需要11张． 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是从特殊到一般寻找规律． （1）根据图形的变化可知2张这样的餐桌拼接起来，四周可坐人； （2）把n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐人； （3）用餐的人数有65人，则，进一步即可求解可得这样的餐桌至少需要多少张． 【详解】（1）解：2张长方形餐桌拼接起来四周可坐（人）． （2）解：n张长方形餐桌拼接起来四周可坐人． （3）解：用餐的人数有65人，则， 解得：． ∴的最小整数值为， 答：这样的餐桌至少需要11张． 变式8-2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 【答案】(1)一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨 (2)该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键， （1）设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行”列不等式再结合m为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥， ∴， 解得：， 因为m为整数，所以最大整数解， 答：该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 【答案】(1)一个大玻璃球的体积为； (2)一个小玻璃球体积的大于且不大于． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）利用容器的底面积倒入水的体积水面的高度，可求出容器的底面积，再利用一个大玻璃球的体积容器的底面积放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可求出一个大玻璃球的体积； （2）设一个小玻璃球的体积是，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：容器的底面积为， 一个大玻璃球的体积为． 答：一个大玻璃球的体积为； （2）解：设一个小玻璃球的体积是， 根据题意得：， 解得：． 答：一个小玻璃球体积的大于且不大于． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人． (1)直接写出x的范围． (2)如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 【答案】(1) (2)500人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，分式方程的应用； （1）由不等关系式：八年级人数人，八年级人数 人人，列出不等式组，即可求解； （2）等量关系式：元零售价购买的数量个元批发价购买的数量，据此列方程，即可求解； 找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个学校八年级学生有人．由题意得， ， 解得：， 故：； （2）解：设批发的价格为每支元，由题意得 按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同， 零售的价格为每支元， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （人）； 答：这个学校八年级学生有人． 6．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 7．（广西南宁市兴宁区新兴学校 2017年九年级数学中考模拟试卷（含答案））为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 a 二档 b 三档 0.82 (1)已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； (2)六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 【答案】(1)a的值是0.52，b的值是0.57； (2)小华家六月份最多可用电350度. 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用. （1）根据四月份和五月份交的电费各列一个方程，组成方程组求解； （2）先根据用电量280度，求出小华家的用电量缴费的档次，然后列不等式求解 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 答：a的值是0.52，b的值是0.57； （2）解：因为当小华家用电量时，， 所以小华家用电量超过280度.        设小华家六月份用电量为m度，根据题意得：， 解得：                            答：小华家六月份最多可用电350度 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)6 (2)11 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批饮料购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，即可求出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为元，利用销售利润=销售单价×销售数量－进货总价，结合获利不少于4200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元， 依题意得：，解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为6元． （2）第一批饮料购进数量为：（瓶）， 第二批饮料购进数量为：（瓶）， 设销售单价为元， 依题意得：，解得， 答：销售单价至少为11元． 9．（25-26九年级上·重庆·月考）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． (1)请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 【答案】(1)商场本次购进了卫衣件，衬衫件 (2)每件卫衣降价元． 【分析】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，理清数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设商场本次购进了卫衣件， 衬衫件， 利用总价单价数量，结合商场用14500元共购进了某品牌卫衣和衬衫共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）每件卫衣降价元，根据预期利润卫衣利润卫衣损坏衬衫利润，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设商场本次购进了卫衣件，衬衫件， 依题意得：， 解得：． 答：商场本次购进了卫衣件，衬衫件； （2）解：以元的价格销售的卫衣：（件）， 降价销售的卫衣：（件）， 销售衬衫的利润：（元）， 设每件卫衣降价元，依题意得： 解得： 答：每件卫衣最多降价元，该商场销售完这批衬衫和卫衣后销售利润率不低于的预期目标． 10．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）（1）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／］ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过148元，则李叔家七月份最多可用电多少？ （2）已知关于的不等式组；当时，求这个不等式组的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）先判断出电费是否超过度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过元，列不等式计算即可； （2）将代入，然后分别解两个不等式，取公共部分求得解集，即可求解． 【详解】解：（1）（元）， 李叔家七月份用电量不超过， 设李叔家七月份最用电， 依据题意可得， ， 解得，， 故李叔家七月份最多可用电 ， （2）当时， 不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $