专题09解不等式八类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题09 解不等式八类综合题型 典例详解 类型一、解不等式（组） 类型二、不等式（组）的整数解 类型三、根据不等式的解集求参数 类型四、根据不等式解的情况求参数 类型五、根据不等式计算多元未知数极值 类型六、绝对值型不等式 类型七、不等式与方程综合 类型八、不等式的特殊解法 压轴专练 类型一、解不等式（组） 例1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 变式1-1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 变式1-2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）解一元一次不等式． (1) (2) 变式1-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式： (1)； (2) 类型二、不等式（组）的整数解 例2．（24-25七年级下·全国·期末）不等式的非负整数解的个数为 个． 变式2-1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 变式2-2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）不等式的负整数解有哪些？ 变式2-3．（25-26九年级上·重庆·期中）解不等式组，并写出它的正整数解 类型三、根据不等式的解集求参数 核心步骤 1.整理不等式（组），分离参数与未知数 先将不等式（组）化为 “标准形式”，确保未知数的系数含参数（明确参数位置：是在未知数系数上，还是常数项上） 2.分析参数对 “不等号方向” 的影响（关键！） 若参数在未知数的系数位置，必须先讨论系数的符号，因为符号决定不等号方向，进而影响解集： 3.结合已知解集，建立参数的 “边界关系式” 根据题目给出的 “明确解集”、“解集的包含关系”、“整数解个数”（如 3 个整数解）、“具体整数解”（如整数解为 0,1,2），反向推导参数的范围： 4.检验 “边界等号” 是否可取（避免漏解 / 错解） 参数的边界值（如上述示例中的 2 和 3）是否能包含，必须单独检验： 5.综合所有条件，确定参数的最终范围 若有多个限制条件（如分类讨论后的不同情况、边界的正负要求），需取所有条件的 “公共部分”，得到参数的最终取值范围。 例3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若不等式组的解为，则的取值范围是 ． 变式3-1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 变式3-2．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 类型四、根据不等式解的情况求参数 例4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 变式4-1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 变式4-2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 变式4-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 类型五、根据不等式计算多元未知数极值 例5．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 变式5-1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是 ． 变式5-2．（2024八年级上·全国·竞赛）是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 变式5-3．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 类型六、绝对值型不等式 例6．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）解不等式： 变式6-1．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 变式6-2．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 类型七、不等式与方程综合 例7．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 变式7-1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 变式7-2．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 变式7-3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 变式7-4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 类型八、不等式的特殊解法 例8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 变式8-1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 变式8-2．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 6．（16-17七年级下·湖北·期末）已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 7．（22-23七年级下·广西梧州·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 8．（25-26九年级上·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 9．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解不等式八类综合题型 典例详解 类型一、解不等式（组） 类型二、不等式（组）的整数解 类型三、根据不等式的解集求参数 类型四、根据不等式解的情况求参数 类型五、根据不等式计算多元未知数极值 类型六、绝对值型不等式 类型七、不等式与方程综合 类型八、不等式的特殊解法 压轴专练 类型一、解不等式（组） 例1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 【答案】(1)第一步 (2) 【分析】本题考查解不等式，求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键： （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：第一步 （2）解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 变式1-1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 变式1-2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）解一元一次不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，即可求解； （2）先去括号，然后移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得，， 化系数为1得，. （2）解： 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 变式1-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和求不等式组解集的方法是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项求解一元一次不等式； （2）分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再取它们的解集的公共部分． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为 类型二、不等式（组）的整数解 例2．（24-25七年级下·全国·期末）不等式的非负整数解的个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再确定不等式的非负整数解即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∴不等式的非负整数解为，共个， 故答案为：． 变式2-1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对新定义的理解与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）利用加减消元法求出相应的，的值再根据新定义求出x，y的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 由得， 由得， 解得， ， 把代入得， 解得， ． 变式2-2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）不等式的负整数解有哪些？ 【答案】不等式的负整数解为，，． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据运算法则求出，即可得到负整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解： ， ∴不等式的负整数解为，，． 变式2-3．（25-26九年级上·重庆·期中）解不等式组，并写出它的正整数解 【答案】不等式组的解集为，所有正整数解为 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为，所有正整数解为． 类型三、根据不等式的解集求参数 核心步骤 1.整理不等式（组），分离参数与未知数 先将不等式（组）化为 “标准形式”，确保未知数的系数含参数（明确参数位置：是在未知数系数上，还是常数项上） 2.分析参数对 “不等号方向” 的影响（关键！） 若参数在未知数的系数位置，必须先讨论系数的符号，因为符号决定不等号方向，进而影响解集： 3.结合已知解集，建立参数的 “边界关系式” 根据题目给出的 “明确解集”、“解集的包含关系”、“整数解个数”（如 3 个整数解）、“具体整数解”（如整数解为 0,1,2），反向推导参数的范围： 4.检验 “边界等号” 是否可取（避免漏解 / 错解） 参数的边界值（如上述示例中的 2 和 3）是否能包含，必须单独检验： 5.综合所有条件，确定参数的最终范围 若有多个限制条件（如分类讨论后的不同情况、边界的正负要求），需取所有条件的 “公共部分”，得到参数的最终取值范围。 例3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若不等式组的解为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集为 ，利用“同小取小”的原则确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故答案为：． 变式3-1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 变式3-2．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 类型四、根据不等式解的情况求参数 例4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 变式4-1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 变式4-2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解，即，不等式组整理得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 不等式组，整理得， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故答案为：． 变式4-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查根据不等式组解集的情况求参数．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为．根据至少有2个整数解的条件，确定，进而求出，得到最大整数值． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组至少有2个整数解， ∴，解得， ∴的最大整数值为8． 故答案为：8． 类型五、根据不等式计算多元未知数极值 例5．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了解三元一次方程组及不等式约束条件下的最值问题．先通过方程组消元，消去变量c，建立a与b的关系，再将a的表达式代入c的表达式，得到c与b的关系式，利用非负条件限制b的取值范围（b最大为），再把a，c代入W的表达式，化简为只含b的表达式，最终取b的最大值计算W的最大值即可得出结果． 【详解】解：， 由①得，， 将c代入②：， ∴， ∴， 代入c的表达式：， ∵a，b，c为三个非负实数， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值： 此时． 故选：D． 变式5-1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知x，y，z为非负实数，且满足，．代数式的最大值是 ． 【答案】130 【分析】此题考查了代数式的最值．将y、z的转化为关于x的表达式，求出u关于x的表达式是解题的关键． 将，联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最小值代入解析式即可得到u的最大值． 【详解】将已知的两个等式联立成方程组， ∴①+②得，． ． 将代入①， 可解得． ∵y，z均为非负实数， ∴． 解得． 设． 当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大． 故当时，u有最大值130． 故答案为：130． 变式5-2．（2024八年级上·全国·竞赛）是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 【答案】B 【分析】本题考查了自然数的性质，不等式的性质，解题关键是找出连续的100个自然数，使其和最接近7001．根据题意得出，求出，进而得出，当时，100个自然数的和等于6950最接近7001，此时，为了使前50个数和最大，应将个1分配给后51个数，此时有最大值，即可求解． 【详解】解：是自然数，且， 若， 则， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，当，，……，，，，……，时， 有最大值，最大值为， 故选：B 变式5-3．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 类型六、绝对值型不等式 例6．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 变式6-1．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 变式6-2．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 类型七、不等式与方程综合 例7．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式7-1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 变式7-2．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 变式7-3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 变式7-4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【详解】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 类型八、不等式的特殊解法 例8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 变式8-1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 变式8-2．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数， 且． 由得， ； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 6．（16-17七年级下·湖北·期末）已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·广西梧州·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（）；（）不等式组的解集为，在数轴上表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据移项合并同类项，化系数为即可求解； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后再数轴上表示即可． 【详解】解：（） ； （）， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图， 8．（25-26九年级上·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为 ，，，． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握知识点是解题的关键． 求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为 ，，，． 9．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非负数可以列出不等式组，从而求出m的范围． （2）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出的范围，结合（1）中的范围，即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵为负数，为非负数， ， 解得：． （2）解：解不等式得， ， ， ， ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $