专题03 一元一次不等式（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 一元一次不等式 题型1文字语言转化为不等式 题型8 解一元一次不等式组（常考点） 题型2利用不等式的性质判断式子变形正误（常考点） 题型9由一元一次不等式组的解集求参数 题型3根据一元一次不等式求参数 题型10由一元一次不等式组的整数解的情况求参数（重点） 题型4求一元一次不等式（常考点） 题型11不等式组与方程组综合（难点） 题型5求一元一次不等式整数解（重点） 题型12列不等式（组）（常考点） 题型6解含绝对值的不等式（难点） 题型13一元一次不等式组的实际应用（常考点） 题型7一元一次不等式的应用（常考点） 题型一 文字语言转化为不等式（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【详解】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意列出不等式即可． （3）根据正数是大于0列出不等式即可． （4）根据非负数即大于等于0列出不等式即可． （5）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：x的与3的差大于2 即 （2）解：与3的和小于或等于零， 即 （3）解：a的2倍与4的差是正数， 即 （4）解：b的与c的和是非负数， 即 （5）解：x与17的和比x的5倍小， 即 题型二 利用不等式的性质判断式子变形正误（共4小题） 4．（25-26八年级上·浙江·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，可得，原式一定成立，符合题意； D、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，需注意不等式两边乘除时符号的变化以及乘数是否为零．利用不等式的性质，注意判定得出答案即可． 【详解】解：A、若，则（不等式两边同乘负数，不等号方向改变），故 A不符合题意； B、若，则，即，故，故B不符合题意；； C、若，当时，，故不一定成立，故C符合题意；； D、若，则（因为所以，且），故两边同除以得，故D不符合题意． 故选：C． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 【详解】解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 题型三 根据一元一次不等式求参数（共3小题） 8．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后进行分类讨论，当时，当时，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 10．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 题型四 求一元一次不等式（共4小题） 11．（25-26八年级上·浙江台州·期中）解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）按移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． （2）按去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 13．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 题型五 求一元一次不等式整数解（共4小题） 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 16．（22-23七年级下·江苏盐城·月考）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最大整数解． 【详解】解： 移项，合并同类项得： 系数化为1得： ∴不等式的最大整数解是， 故选：C． 17．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 题型六 解含绝对值的不等式（共2小题） 19．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）解关于x的不等式：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 综上所述，原不等式的解集为或． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 题型七 一元一次不等式的应用（共4小题） 21．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在一次“交通安全”知识竞赛中，共有20道题，对于每道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，总得分不低于80分者可得奖，若要得奖至少应答对几题？ 【答案】18题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用；设若要得奖应答对的题数为题，则不答或答错的题数为题，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求得最小整数解，即可求解． 【详解】解：设若要得奖应答对的题数为题，则不答或答错的题数为题， 根据题意得：， 解得：， 答：若要得奖至少答对18题． 22．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 【答案】(1)钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件 (2)件 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设立牌买m件，钥匙扣买件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之取最大值即可． 【详解】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：          解得， 答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件． （2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得： ， 解得， 答：最多购买立牌件． 23．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 24．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 【答案】(1)（且x为整数） (2)购进A种商品25件、B种商品75件；最大的销售总利润为11000元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）先根据公式：销售总利润A种商品的销售总利润 B种商品的销售总利润，列出函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可； （2）根据函数解析式得到随的增大而减小，再利用一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， B种商品的进货量不超过A种商品的3倍， ， 解得：， y与x之间的函数表达式为（且x为整数）． （2）解：， 对于函数，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， 此时， 该商场购进A种商品25件、B种商品75件，才能使销售总利润最大，最大的销售总利润为11000元． 题型八 解一元一次不等式组（共3小题） 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查求不等式组的解集，把解集表示在数轴上，熟练掌握解不等式组的步骤是关键． 根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上，结合数轴，公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由，得， 由，得，解得． ∴不等式的解集为：． 在数轴上表示如下： 26．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小明解不等式组的过程如下： 解：由①，得，所以，因此． 由②，得，所以，合并得，，因此． 所以原不等式组解为． 判断小明的解答过程是否正确．若正确，请在虚线框内打“√”，并把它的解集表示在数轴上；若错误，请在虚线框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】错误，，过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：小明的解答错误，解答过程如下： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是：． 27．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式组：，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0，1． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，再确定不等式的非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∴不等式组的非负整数解为0，1． 题型九 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 28．（23-24七年级下·辽宁·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组无解， ， 故选：D． 29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 30．（2024九年级下·浙江·专题练习）关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】 解：由①得：， 由②得：， 解集为， ，， 解得：，， 则 ， 故选：C． 31．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？ 【答案】，的值分别是-3和3． 【分析】求出不等式组的解集，结合题意，即可列出关于a，b的二元一次方程组，再解出a，b的值即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：． ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故，的值分别是-3和3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组的应用．掌握求一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键． 题型十 由一元一次不等式组的整数解的情况求参数（共4小题） 32．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则下列的取值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的整数解的应用，无理数．根据已知即可得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：关于的不等式组有且仅有两个整数解， 整数解为2，3， ， 观察四个选项，符合题意， 故选：C． 34．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有一个整数解， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 题型十一 不等式组与方程组综合（共4小题） 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 37．（2022八年级上·浙江·专题练习）若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 38．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 题型十二 列不等式（组）（共4小题） 40．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过170分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 41．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 42．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键． 43．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入即可． 【详解】解：位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到2棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为． 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键． 题型十三 一元一次不等式组的实际应用（共4小题） 44．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲品牌篮球的单价是90元，乙品牌篮球的单价是70元． (2)学校共有三种购买方案：方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据题意正确列方程（组）． （1）设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个，根据购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元． 根据题意，得， 解得， 答：甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是90元，70元． （2）解：设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个． 根据题意，得， 解得， a为整数， ， 共有三种方案， 方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 45．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 46．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用、两种型号的大巴车，已知租用辆型大巴车和辆型大巴车，共需费用元；辆型大巴车比辆型大巴车的费用多元． (1)求型大巴车和型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用、两种型号大巴车共辆，且型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过元，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元 (2)共有3种采购方案：方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车；方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车；方案：租用辆型大巴车，辆型大巴车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；辆台型大巴车比辆型大巴车的费用多元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； （2）解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，辆型大巴车． 47．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式 题型1文字语言转化为不等式 题型8 解一元一次不等式组（常考点） 题型2利用不等式的性质判断式子变形正误（常考点） 题型9由一元一次不等式组的解集求参数 题型3根据一元一次不等式求参数 题型10由一元一次不等式组的整数解的情况求参数（重点） 题型4求一元一次不等式（常考点） 题型11不等式组与方程组综合（难点） 题型5求一元一次不等式整数解（重点） 题型12列不等式（组）（常考点） 题型6解含绝对值的不等式（难点） 题型13一元一次不等式组的实际应用（常考点） 题型7一元一次不等式的应用（常考点） 题型一 文字语言转化为不等式（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 题型二 利用不等式的性质判断式子变形正误（共4小题） 4．（25-26八年级上·浙江·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型三 根据一元一次不等式求参数（共3小题） 8．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 9．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 10．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型四 求一元一次不等式（共4小题） 11．（25-26八年级上·浙江台州·期中）解下列不等式． (1) (2) 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 13．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 14．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 题型五 求一元一次不等式整数解（共4小题） 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 16．（22-23七年级下·江苏盐城·月考）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 题型六 解含绝对值的不等式（共2小题） 19．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）解关于x的不等式：． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 题型七 一元一次不等式的应用（共4小题） 21．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在一次“交通安全”知识竞赛中，共有20道题，对于每道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，总得分不低于80分者可得奖，若要得奖至少应答对几题？ 22．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元． (1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？ (2)学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？ 23．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 24．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； (2)该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 题型八 解一元一次不等式组（共3小题） 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 26．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小明解不等式组的过程如下： 解：由①，得，所以，因此． 由②，得，所以，合并得，，因此． 所以原不等式组解为． 判断小明的解答过程是否正确．若正确，请在虚线框内打“√”，并把它的解集表示在数轴上；若错误，请在虚线框内打“×”，并写出你的解答过程． 27．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式组：，并写出它的非负整数解． 题型九 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 28．（23-24七年级下·辽宁·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（2024九年级下·浙江·专题练习）关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．3 C． D．1 31．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？ 题型十 由一元一次不等式组的整数解的情况求参数（共4小题） 32．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则下列的取值可能为（   ） A．0 B． C． D．2 34．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 题型十一 不等式组与方程组综合（共4小题） 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 37．（2022八年级上·浙江·专题练习）若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 39．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 题型十二 列不等式（组）（共4小题） 40．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 41．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 42．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 43．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　） A． B． C． D． 题型十三 一元一次不等式组的实际应用（共4小题） 44．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 45．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 46．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用、两种型号的大巴车，已知租用辆型大巴车和辆型大巴车，共需费用元；辆型大巴车比辆型大巴车的费用多元． (1)求型大巴车和型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用、两种型号大巴车共辆，且型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过元，共有哪几种采购方案？ 47．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $