课下巩固精练卷(7) 函数的概念及其表示（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(七)　函数的概念及其表示 【基础巩固题】 1．函数f(x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　 ) A．(－2，1) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，3) 解析：选A.由题意可得解得－2<x<1.故函数f(x)的定义域是(－2，1). 2．(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　 ) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D.法一　∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8. 法二　由x＋2＝1，得x＝－1， 代入f(x＋2)＝x2－3x＋4， 得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8. 3．已知函数f(x)＝则f(2 024)＝(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选D.由题意知f(2 024)＝f(2)＝＝f(3)＝f(1)＝＝sin ＝1. 4．已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　　 ) A．－1 B．－3 C．－5 D．－7 解析：选D.由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1>0，所以方程无解； 当m>1时，f(m)＝4＝－12， 得＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7， 所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7. 5．(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则函数y＝f(t)的大致图象是(　　 ) 解析：选A.依题意，当0<t≤1时，可得直角三角形的两条直角边分别为t，t， 从而可以求得f(t)＝， 当1<t≤2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得f(t)＝， 所以f(t)＝ 从而可知选项A的图象满足题意． 6．已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解集是(　　 ) A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．[0，3) D．(3，＋∞) 解析：选B.当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2，所以x2＋2x＋2>0，可得x<0； 当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2， 所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3， 所以不等式f(x)<2的解集是(－∞，3). 7．(多选)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　 ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 解析：选ABD.若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x). 8．(多选)(2024·长沙调考)下列说法中正确的是(　　 ) A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝1 D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数 解析：选BCD.对于A，y＝，有解集为∅，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误； 对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，则＝0，故＝f(0)＝1，故C正确； 对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确． 9．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________． 解析：由条件可知，函数的定义域需满足解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0]. 答案：[－1，0] 10．已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________． 解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)⇔x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0； 当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，所以0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立，综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 答案： 【综合应用题】 11．(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　 ) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：选B.∵定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1， ∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1　①， 当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2　②， ②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1. 12．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　 ) A．2 B． C．1 D．0 解析：选B.作出函数f(x)的图象，如图所示． 因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3， 此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝， 所以a＝，即a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝. 13．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1，1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　 ) A．(－2，2) B．(－2，0)∪(0，2) C．[－2，2] D．(－，) 解析：选B.当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1， 当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1， 所以M(x)＝ 若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1， 当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2， 综上，－2<n<0或0<n<2. 14．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求，，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解：(1)∵＞1，∴＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)此分段函数的图象如图所示． 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象， 得 解得m＝，n＝0， ∴y＝(x≥0). (2)令≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 【创新拓展题】 16．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 解析：若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是[，＋∞). 当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件； 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0， 当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件； 当m＞0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 答案：　 17．已知函数f(x)＝. (1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f； (3)利用(2)的结论求表达式：f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)的值． 解：(1)已知函数f(x)＝， ∴f＋f(3)＝＋f(2)＝＝1. (2)由f(x)＝，得f，∴f(x)＋f＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1，f(1)＝， ∴f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024＋f(1)＝2 024×1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $