8.9 直线与圆锥曲线的位置关系（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

8．9　直线与圆锥曲线的位置关系 [课标要求]　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．　2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．　3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题． 【必备知识】 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. [提醒]　(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． (2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ ＝ ＝ ＝. 【必记结论】 1．与椭圆有关的结论： (1)通径的长度为； (2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－； (3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＝1. 2．已知M，N是椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－. 3．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. 4．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．(　　 ) (2)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　 ) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　 ) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(　　 ) A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得直线的斜率为k＝＝6， 又直线l过点P(2，1)，所以直线l的方程为6x－y－11＝0， 经检验此时l与双曲线有两个交点． 3．过点M(0，4)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有_________条． 解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时与抛物线y2＝8x只有一个公共点(0，0)，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋4， 由得k2x2＋8(k－1)x＋16＝0， 当k＝0时，符合题意； 当k≠0时，由Δ＝64(k－1)2－64k2＝0，可得k＝，即当k＝时，符合题意． 综上，满足条件的直线有3条． 答案：3 4．已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＝1有两个公共点，则m的取值范围是_____________． 解析：由方程组消去y，得25x2＋8mx＋m2－225＝0　①. 方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)， 由Δ>0，得－25<m<25，此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 答案：－25<m<25 5．已知斜率为2的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，如果线段AB的长等于5，则直线l的方程为______________． 解析：设直线l的方程为y＝2x＋b，A(x1，y1)，＋2b＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝2b， ∴|AB|＝＝， ∵|AB|＝5，∴＝5，∴b＝－2. ∴直线l的方程为y＝2x－2，即2x－y－2＝0. 答案：2x－y－2＝0 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】　(1)直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 解析：选A.直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)， ∵12<4×2，∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部， ∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交． (2)(2024·湖南衡阳模拟)已知直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切，则k的值为(　　 ) A.2 B． C．±2 D．± 解析：选C.依题意，联立得4x2＋3(－kx－2k)2＝12， 化解得(4＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－12＝0， 因为直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切， 所以Δ＝(12k2)2－4×(4＋3k2)×(12k2－12)＝0， 化简整理得k2－4＝0，所以k＝±2. 思维升华　直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 【对点练习】　1.(1)已知双曲线C：－y2＝1，过点P(2，1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有(　　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选B.由双曲线方程知，右顶点坐标为(2，0)，渐近线方程为y＝±x， 显然P(2，1)在y＝x上，如图所示， 所以过点P的直线x＝2以及与y＝－x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点． 故共有两条直线满足要求． (2)直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x至多有一个公共点，则k的取值范围为______． 解析：当k＝0时，联立可得此时直线y＝1与抛物线y2＝4x有一个公共点，合乎题意； 当k≠0时，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0， 由题意可得Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k≤0，解得k≥1. 综上所述，k的取值范围是{0}∪[1，＋∞)． 答案：{0}∪[1，＋∞) 题型二　中点弦问题 【例2】　(1)已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，4)，则直线l的方程为(　　 ) A．4x－y＝0 B．2x－y＝0 C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y1－y2＝＝2(x1＋x2)(x1－x2)， ∵线段AB的中点为(1，4)， ∴x1－x2≠0，x1＋x2＝2， ∴＝2(x1＋x2)＝4，即直线l的斜率为4， ∴直线l的方程为：y－4＝4(x－1)，即4x－y＝0. (2)已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为______________． 解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝1　①，＝1　②， ①－②得＝0，因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，所以k＝，经检验，k＝－满足题意．所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝.又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率． (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 【对点练习】　2.(1)(2023·河南省豫南名校三模)已知直线l：4x－2y－7＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点(3，0)，则双曲线C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为直线l：4x－2y－7＝0，所以k1＝2， 由题可知AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－3)， 将y＝－(x－3)与4x－2y－7＝0联立可得即AB的中点坐标为. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则且x1＋x2＝4，y1＋y2＝1， 两式作差可得＝0， 即，所以， 则双曲线C的离心率为e＝. (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　 ) A．(1，－1) B．(2，0) C． D．(1，1) 解析：选A.∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称， ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1， ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)． 题型三　弦长问题 【例3】　(2024·河北沧州检测)已知点A，B为椭圆C：＝1(a>b>0)上不同两点，点F(1，0)为椭圆的一个焦点． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)若△ABF的面积S＝，求直线AB的方程． 解：(1)由B在椭圆C：＝1(a>b>0)上可得＝1，解得b2＝3， 又F(1，0)可得c＝1，因此a2＝b2＋c2＝4，即a＝2. 所以椭圆C的标准方程为＝1，其离心率为e＝. (2)根据题意可知，若直线AB的斜率不存在，则A，如图所示， 此时|AB|＝2，△ABF的面积为S＝＝，满足题意， 可得此时直线AB的方程为x＝0； 若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋，如图所示， 联立消去y并整理可得(4k2＋3)x2＋8kx＝0，解得x＝0或x＝－， 又B，所以A， 此时|AB|＝， 点F(1，0)到直线y＝kx＋的距离为d＝. 所以△ABF的面积为S＝，解得k＝，所以直线AB的方程为y＝. 综上可知，直线AB的方程为x＝0或y＝. 【对点练习】　3.(2021·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，右焦点为F，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 解：(1)由题意得，椭圆半焦距c＝且e＝， 所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 必要性：若M，N，F三点共线， 可设直线MN：y＝k，即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝， 所以|MN|＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)， 即kx－y＋m＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1， 联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－， 所以|MN|＝ ＝ ＝， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， 所以或 所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋， 所以直线MN过点F ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $