10.9 概率、统计与其他知识的交汇问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦概率统计与数列、导数函数的交汇考点，按高考知识网络交汇命题特点构建复习体系，通过题型解读明确考查方向，例题精讲提炼解题方法，对点练习强化应用能力，助力学生系统突破综合难点。 讲义注重数学思维与数学语言的培养，如例1构造概率递推数列培养推理意识，例2结合导数求极大值点渗透建模思想。真题训练与分层练习结合，保障复习针对性，帮助教师高效把控节奏，提升学生综合解题与应考能力。

10．9　概率、统计与其他知识的交汇问题 [题型解读]　以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题是今后高考的新特点和大方向，与概率交汇的试题正是在这种背景下“闪亮登场”，频频出现在各类试题中，除了上节讲解的概率统计的常见综合问题外，概率、统计与数列，与导数、函数的交汇应用也比较常见． 题型一　概率、统计与数列的交汇应用 【例1】　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求EY． 解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)， 即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝＋0.2， 构造等比数列{pi＋λ}， 设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－， 则pi＋1－， 又p1＝，所以是首项为，公比为的等比数列， 即pi－. (3)因为pi＝，i＝1，2，…，n， 所以当n∈N*时，EY＝p1＋p2＋…＋pn＝， 故EY＝. 【对点练习】　1.(2024·扬州两校联考)某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率． (1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从学生中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn. 解：(1)由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为， 则X的可能取值为3，4，5，6， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， P(X＝5)＝， P(X＝6)＝， 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 所以EX＝3×. (2)因为这n人的合计得分为n＋1分， 所以其中只有1人计划选择校本课程二， 所以Pn＝， 设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝　①， 则　②， ①－②得， 即， 所以P1＋P2＋…＋Pn＝. 题型二　概率统计与导数、函数的交汇应用 【例2】　某盒子内装有60个小球(除颜色之外其他完全相同)，其中有若干个黑球，其他均为白球．为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，作为一次实验结果．进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目xi.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1)． (1)求X的分布列； (2)实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目xi如表所示． i 1 2 3 4 5 xi 2 3 2 3 3 设函数f(p)＝. ①求f(p)的极大值点p0； ②据①估计该盒子中黑球的数目，并说明理由． 解：(1)从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X， ∵从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1)． ∴X～B(4，p)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4 (2)①由(1)可知，f(p)＝ ＝2ln [6p2(1－p)2]＋3ln [4p3(1－p)] ＝8ln 2＋2ln 3＋13ln p＋7ln (1－p)， ∴f′(p)＝， 令f′(p)＝0，解得p＝， ∴当p∈时，f′(p)>0，f(p)单调递增； 当p∈时，f′(p)<0，f(p)单调递减， ∴f(p)存在唯一的极大值点p0＝. ②估计盒子中黑球的数目为60p0＝39.理由如下： 由①可知，当且仅当p＝时，f(p)取得最大值； 即取得最大值，出现上述实验结果的概率最大， ∴可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为39是合理的． 【对点练习】　2.根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图． (1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率P1；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) (2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值． 参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185. 解：(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1 000件钢管内径的平均数为≈185×0.2＝37， 所以μ＝37，σ＝s＝0.3， 则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6， 则一等品内径在[μ－σ，μ＋σ]内，即在[36.7，37.3]内， 二等品内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内，即在[37.3，37.6]内， 所以该企业生产的产品为正品的概率为P1＝P(36.7≤X≤37.6)＝(0.8＋1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71. (2)①从n＋2件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法， 所以某箱产品抽检被记为B的概率为p＝1－. ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p， 则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)， f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， 所以当p∈时，f′(p)>0，函数f(p)单调递增， 当p∈时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减， 所以当p＝时，f(p)取得最大值为f ＝， 此时，p＝， 解得n＝3或n＝(舍去)， 所以当n＝3时，f(p)取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $