8.9 直线与圆锥曲线的位置关系（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”专题，覆盖位置关系判断、弦长公式、焦点弦与中点弦三大高考核心考点，严格对接课标要求。通过梳理必备知识（如Δ判定法、弦长公式推导）和必记结论（椭圆通径、中点弦斜率关系），明确三大常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如2023新课标Ⅰ卷椭圆题、2024河北沧州检测双曲线题等实例，深入剖析易错点（如与渐近线平行的直线和双曲线交点问题）。通过“题型探究+思维升华”模式，培养学生数学思维和数学语言素养，助力掌握点差法等得分技巧，为教师提供精准复习指导，提升备考效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 [课标要求] 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．　 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．　 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题． 8．9　直线与圆锥曲线的位置关系 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七十一) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(七十一) 直线与圆锥曲线的位置关系 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 【必备知识】 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0. [提醒]　(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． (2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． > ＝ < 2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 【必记结论】 1．与椭圆有关的结论： (1)通径的长度为； (2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－； (3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＝1. 2．已知M，N是椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－. 3．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. 4．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．(　　 ) (2)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　 ) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　 ) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　 ) √ √ √ × 2．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(　　 ) A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得直线的斜率为k＝＝6， 又直线l过点P(2，1)，所以直线l的方程为6x－y－11＝0， 经检验此时l与双曲线有两个交点． 3．过点M(0，4)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有_________条． 解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝0， 此时与抛物线y2＝8x只有一个公共点(0，0)，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋4， 由得k2x2＋8(k－1)x＋16＝0， 当k＝0时，符合题意； 当k≠0时，由Δ＝64(k－1)2－64k2＝0，可得k＝， 即当k＝时，符合题意． 综上，满足条件的直线有3条． 答案：3 4．已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＝1有两个公共点，则m的取值范围是_____________． 解析：由方程组消去y， 得25x2＋8mx＋m2－225＝0　①. 方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)， 由Δ>0，得－25<m<25，此时方程①有两个不相等的实数根， 直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 答案：－25<m<25 5．已知斜率为2的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，如果线段AB的长等于5，则直线l的方程为______________． 解析：设直线l的方程为y＝2x＋b，A(x1，y1)， ＋2b＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝2b， ∴|AB|＝＝， ∵|AB|＝5，∴＝5，∴b＝－2. ∴直线l的方程为y＝2x－2，即2x－y－2＝0. 答案：2x－y－2＝0 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】　(1)直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 解析：选A.直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)， ∵12<4×2，∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部， ∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交． (2)(2024·湖南衡阳模拟)已知直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切，则k的值为(　　 ) A.2 B． C．±2 D．± 解析：选C.依题意，联立 得4x2＋3(－kx－2k)2＝12， 化解得(4＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－12＝0， 因为直线kx＋y＋2k＝0与椭圆＝1相切， 所以Δ＝(12k2)2－4×(4＋3k2)×(12k2－12)＝0， 化简整理得k2－4＝0，所以k＝±2. 思维升华　直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 【对点练习】　1.(1)已知双曲线C：－y2＝1，过点P(2，1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有(　　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选B.由双曲线方程知，右顶点坐标为(2，0)， 渐近线方程为y＝±x， 显然P(2，1)在y＝x上，如图所示， 所以过点P的直线x＝2以及与y＝－x平行且过点P的直线与双曲线 都只有一个交点． 故共有两条直线满足要求． (2)直线y＝kx＋1与抛物线y2＝4x至多有一个公共点，则k的取值范围为______． 解析：当k＝0时，联立可得 此时直线y＝1与抛物线y2＝4x有一个公共点，合乎题意； 当k≠0时，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0， 由题意可得Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k≤0，解得k≥1. 综上所述，k的取值范围是{0}∪[1，＋∞)． 答案：{0}∪[1，＋∞) 题型二　中点弦问题 【例2】　(1)已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，4)，则直线l的方程为(　　 ) A．4x－y＝0 B．2x－y＝0 C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y1－y2＝＝2(x1＋x2)(x1－x2)， ∵线段AB的中点为(1，4)， ∴x1－x2≠0，x1＋x2＝2， ∴＝2(x1＋x2)＝4，即直线l的斜率为4， ∴直线l的方程为：y－4＝4(x－1)，即4x－y＝0. (2)已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为______________． 解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝1　①，＝1　②， ①－②得＝0，因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，所以k＝，经检验，k＝－满足题意．所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝.又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率． (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 【对点练习】　2.(1)(2023·河南省豫南名校三模)已知直线l：4x－2y－7＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点(3，0)，则双曲线C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为直线l：4x－2y－7＝0，所以k1＝2， 由题可知AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－3)， 将y＝－(x－3)与4x－2y－7＝0联立可得 即AB的中点坐标为. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则且x1＋x2＝4，y1＋y2＝1， 两式作差可得＝0， 即，所以， 则双曲线C的离心率为e＝. (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　 ) A．(1，－1) B．(2，0) C． D．(1，1) 解析：选A.∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称， ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1， ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)． 题型三　弦长问题 【例3】　(2024·河北沧州检测)已知点A，B为椭圆C：＝1(a>b>0)上不同两点，点F(1，0)为椭圆的一个焦点． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)若△ABF的面积S＝，求直线AB的方程． 解：(1)由B在椭圆C：＝1(a>b>0)上可得＝1， 解得b2＝3， 又F(1，0)可得c＝1，因此a2＝b2＋c2＝4，即a＝2. 所以椭圆C的标准方程为＝1，其离心率为e＝. (2)根据题意可知，若直线AB的斜率不存在，则A， 如图所示， 此时|AB|＝2，△ABF的面积为S＝＝， 满足题意， 可得此时直线AB的方程为x＝0； 若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋，如图所示， 联立消去y并整理可得(4k2＋3)x2＋8kx＝0， 解得x＝0或x＝－， 又B，所以A， 此时|AB|＝， 点F(1，0)到直线y＝kx＋的距离为d＝. 所以△ABF的面积为S＝ ，解得k＝，所以直线AB的方程为y＝. 综上可知，直线AB的方程为x＝0或y＝. 【对点练习】　3.(2021·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＝1 (a>b>0)，右焦点为F，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 解：(1)由题意得，椭圆半焦距c＝且e＝， 所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 必要性：若M，N，F三点共线， 可设直线MN：y＝k，即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝， 所以|MN|＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)， 即kx－y＋m＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1， 联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－， 所以|MN|＝ ＝ ＝， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， 所以或 所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋， 所以直线MN过点F ＝. 【基础巩固题】 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 2．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(4，9] B．[4，＋∞) C．[4，9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 解析：选C.直线kx－y＋2＝0过定点(0，2)， 所以≤1，解得m≥4.① 由于方程＝1表示椭圆， 所以m>0且m≠9.② 由①②得m的取值范围是[4，9)∪(9，＋∞)． 3．(2024·河南新乡模拟)已知直线l交抛物线C：y2＝18x于M，N两点，且MN的中点为(5，3)，则直线l的斜率为(　　 ) A． B． C．3 D． 解析：选C.易知直线l的斜率存在， 设直线的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则两式相减得＝18(x1－x2)，整理得， 因为MN的中点为(5，3)，则y1＋y2＝6， 所以k＝＝3，即直线l的斜率为3. 4．(多选)直线y＝kx－与椭圆＝1的位置关系可能为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 解析：选AB.直线y＝kx－＝k＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.将直线y＝x＋m与椭圆联立得 消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0， 解得－2＜m＜2， 设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2， 易知F1，F2， 则d1＝， ＝2，解得m＝或－3(舍去)． 6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2，|BF|＝1，则p＝(　　 ) A． B． C． D．2 解析：选C.由题意可知直线AB的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为y＝k， 联立方程 消去y后整理为k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，有x1x2＝， 又由|AF|＝2，|BF|＝1，可得x1＝2－， 则＝，解得p＝. 7．(多选)关于双曲线C：＝1，下列说法正确的是(　　 ) A．该双曲线与双曲线＝1有相同的渐近线 B．过点F(3，0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条 件的直线只有一条 C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率 k∈ D.过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点 解析：选ACD.双曲线C：＝1的渐近线方程可表示为＝0，双曲线＝1的渐近线方程可表示为＝0，整理后都是y＝±x，故A正确； 由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误； 由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确； 由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确． 8．(人教A版选择性必修一P128)已知斜率为2的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2，1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得＝0，即＝0，因为点P(2，1)是线段AB的中点，所以＝0，得＝0，又因为直线l的斜率为2，所以＝0，得a2＝b2，即a2＝c2－a2，所以C的离心率e＝. 答案： 9．(2024·河南郑州一模)直线l：x＋y－1＝0与椭圆C: ＋ ＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为________． 解析：直线l与椭圆C联立 得3x2－4x－2＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 所以|AB|＝. 由椭圆C知点P(2，0)，故点P到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝， 所以△ABP的面积为S＝·d＝. 答案： 10．已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 解：(1)由得 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)， 设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即y1＋y2＝. 又S△BMN＝＝ ＝， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 【综合应用题】 11．已知直线l：mx－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，当|AB|取最大值时m的值为(　　 ) A．± B．± C．± D．± 解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y整理得(1＋4m2)x2＋8mx＝0，解得x1＝0或x2＝， 则y1＝1，y2＝， 则A(0，1)，B， 所以|AB|＝＝8 ＝8 ＝8 ＝8， 所以当，即m＝±取最大值． 12．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．x2－＝1 解析：选D.因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 所以b＝a，则双曲线方程为＝1(a>0)， F1，F2， 所以直线l为y＝， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2－6ax＋11a2＝0， 则x1＋x2＝6a，x1x2＝11a2， 所以|MN|＝ ＝2＝16a， 因为|MF1|＝|MF2|＋2a，|NF1|＝|NF2|＋2a， 所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4a＝|MN|＋4a＝20a， 因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝36， 所以20a＋16a＝36，解得a＝1， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. 13．(多选)(2024·河南周口模拟)已知O为坐标原点，椭圆T：＝1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是(　　 ) A． B．若M(异于点F，O)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之 积为－ C．若，则直线AB的斜率为± D．△AOB面积的最大值为3 解析：选BC.易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值， 由椭圆T的方程知F(1，0)，当x＝1时，y＝± 的最小值为3，故A错误； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1≠x2，x0≠0， 因为M为线段AB的中点， 所以x0＝， 又点A，B在椭圆T上， 所以＝1， 两式相减得， 所以， 即直线AB与OM的斜率之积为－，故B正确； 设直线AB的方程为x＝my＋1， 代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， 则y1＋y2＝， 因为，所以m≠0，y1＝－2y2， 所以y1＋y2＝－y2＝， 则y2＝， 所以y1y2＝，解得m＝±， 所以直线AB的斜率为±，故C正确； △AOB的面积S＝＝ ＝， 令＝t，则t≥1，S＝， 易知函数y＝3t＋在t∈[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1，即m＝0时，△AOB的面积取得最大值， 且最大值为，故D错误． 14．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆＝1相切， 联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5， ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0， 且两平行直线间的距离为d＝， ∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5. 答案：5 15．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，长轴长为2a＝4， 解得a＝2，c＝1，则b2＝3， 所以椭圆C的标准方程是＝1. (2)易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率k＝0时， 易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称； 当k≠0时，有kAB＝， 设AB中点的坐标为(x0，y0)，又 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0， 又y0＝k，解得x0＝1，y0＝， 因为线段AB的中点在椭圆内部， 所以<1，即<1，解得－2<k<0或0<k<2， 综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2，2)． 【创新拓展题】 16．(2024·四川绵阳模拟)已知圆C：x2＋(y－3)2＝1，点P在抛物线T：x2＝4y上运动，过点P作圆C的切线l1，l2，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析：∵圆C的标准方程为：x2＋(y－3)2＝1， ∴圆心为(0，3)，半径为1， ∵点P在抛物线T：x2＝4y上运动， 过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A，B点． ∴CB⊥PB，CA⊥PA，|CA|＝|CB|＝1，易得△PAC≌△PBC， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×＝|PA|， ∵设P(a，b)，a2＝4b，则|PC|2＝a2＋(b－3)2＝(b－1)2＋8， 故|PC|2≥8(当b＝1时取等号)， |PA|＝， ∴S四边形PACB＝|PA|≥， 可知四边形PACB面积的最小值为. 答案： $