2.11 函数的图象（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象专题，覆盖画函数图象、运用图象研究性质及解决方程解与不等式问题等核心考点，按描点法、图象变换（平移、伸缩、对称、翻折）、对称关系等逻辑梳理必备知识与结论，通过考点诊断、方法指导（直接法、转化法、变换法）、真题精讲（2024年全国甲卷等）等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破图象识别与应用难点。 讲义以图象变换为线索串联性质探究，如通过翻折、平移变换分析函数对称性与单调性，结合2024年真题案例培养学生用数学眼光观察图象特征、用数学思维推理性质的能力，设置基点诊断与分层对点练习，精准匹配高考难度，助力教师把控复习节奏，高效提升学生运用图象解决复杂问题的应考能力。

2．11　函数的图象 [课标要求]　1.会画一些函数的图象，理解图象的作用．　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 【必备知识】 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 [提醒]　图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． (2)伸缩变换 ①y＝f(x) ＝f(ax)． ②y＝f(x) ＝． (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． [提醒]　x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变． (4)翻折变换 ①y＝f(x)＝|f(x)|． ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 【必记结论】 1．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称； (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　 ) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　 ) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　 ) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　 ) 解析：选C.其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和 y＝x－1图象中x≥0的部分组成，故C符合题意． 3．函数y＝的图象是(　　 ) 解析：选B.当x＝0时，函数值为2，排除A，D；当x＝3时，函数值为，排除C. 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 解析：f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x+1. 答案：e－x+1 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________. 解析：在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解． 答案：(0，＋∞) 题型一　作函数的图象 【例1】　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解：(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则y＝－1的图象如图所示． 方法指导　函数图象的画法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可以根据这些函数的特征直接作出函数图象． (2)转化法：对于含有绝对值符号的函数，可以脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出函数图象，但要注意变换的顺序． 【对点练习】　1.作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2x+1－1. 解：(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x+1－1的图象，如图所示． 题型二　函数图象的识别 【例2】　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　 ) 解析：选B.由题知函数f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；fsin 1>－1＋sin >0，排除 D. (2)(2024·天津滨海三模)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　 ) A．f(x)＝ B．f(x)＝sin 2x·ln C．f(x)＝ D．f(x)＝cos 2x·ln 解析：选B.由函数的图象，得f(x)的定义域为{x|x≠0}，其图象关于原点对称，为奇函数，在(0，＋∞)上，函数图象与x轴存在交点． 对于A，f(x)＝x≠0}，有f(－x)＝＝f(x)，f(x)为偶函数，不符合题意； 对于B，f(x)＝sin 2x·ln x≠0}，有f(－x)＝sin (－2x)·ln ＝－sin 2x·＝－f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，当x＝kπ＋(k∈Z)时，sin 2x＝0，f(x)＝0，函数图象与x轴存在交点，符合题意； 对于C，f(x)＝，当x>0时，ex＋e－x>0，x>0，故f(x)>0恒成立，所以该函数图象在(0，＋∞)上与x轴不存在交点，不符合题意； 对于D，f(x)＝cos 2x·ln x≠0}，有f(－x)＝cos (－2x)·ln ＝cos 2x·＝f(x)，f(x)为偶函数，不符合题意． 思维升华　识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 【对点练习】　2.(1)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 解析：选A.由ex－e－x≠0，得x≠0，则f(x)的定义域是{x|x≠0}，排除B； 由f(x)＝，得f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C； f＝>0，排除D. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选A.设f，则f＝0，故排除B； 设h，当x∈时，0<cos x<1， 所以h<≤1，故排除C； 设g，则g>0，故排除D. 题型三　函数图象的应用 角度1　研究函数的性质 【例3】　(多选)(2023·聊城模拟)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有(　　 ) A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 解析：选ABD.由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln |x||＝|ln |－x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝|ln |－(x－2)||＝|ln |2－x||的图象， 则函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示． 由图可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，若x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确． 角度2　解不等式 【例4】　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　 ) A．∪ B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪∪ D．∪∪(2，＋∞) 解析：选C.根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪∪. 思维升华　利用函数图象解不等式时，先作出两个函数f(x)，g(x)的图象，那么f(x)>g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象上方的部分所对应的自变量的取值集合，不等式f(x)<g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象下方的部分所对应的自变量的取值集合． 角度3　求参数的取值范围 【例5】　设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)， 所以当x∈(2，4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)， 当x∈(4，6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)， 函数部分图象如图所示， 由4(x－4)(6－x)＝3， 得4x2－40x＋99＝0， 解得x＝或x＝， 因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3， 所以由图可知m≤. 答案： 思维升华　利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题． 【对点练习】　3.(1)(多选)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　 ) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 解析：选AC.作出f(x)的图象，如图， f(x)的图象向左平移2个单位，得f(x＋2)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故C正确；由图象可知函数存在最小值0，故D不正确． (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为. 答案： (3)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为________________． 解析：不等式4ax-1＜3x－4等价于ax-1＜x－1.令f(x)＝ax-1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a2-1≤×2－1，解得a≤，所以a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $