4.5 三角函数的图象与性质（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦三角函数图象与性质高考核心考点，涵盖定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及对称性，按必备知识梳理、基点诊断、题型突破逻辑架构知识体系。通过诊断查漏、方法指导、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破单调性等难点，体现复习系统性与针对性。 讲义突出数学眼光与思维培养，如用五点法作图发展几何直观，单调性求法中整体代换训练推理能力。设基点诊断与分层练习，确保复习高效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

4．5　三角函数的图象与性质 [课标要求]　1.能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质． 【必备知识】 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)(π，－1)(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ，且x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【必记结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限单调递增．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域上是增函数．(　　) (3)由sin ＝sin ，知是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　) (4)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(　　) (5)函数y＝cos |x|和y＝cos x周期相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析：选A.最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1. 3．已知函数f(x)＝sin (x＋2φ)是奇函数，则φ＝______(写出一个值即可). 解析：因为函数f(x)＝sin (x＋2φ)是奇函数，所以2φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝，k∈Z.故φ可取(答案不唯一). 答案：(答案不唯一) 4．函数y＝cos ，x∈的值域是_______________． 解析：由x∈得x＋∈， 所以y＝cos ∈. 答案： 5．比较下列两个三角函数值的大小：cos ______cos . 解析：cos ＝cos ，∵ 0<<<π，且y＝cos x在(0，π)内为减函数，∴cos >cos ，即cos >cos . 答案：> 6．函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是__________． 解析：令z＝，x∈[－2π，2π]，则z∈. 因为y＝sin z，z∈的单调递增区间是，且由－≤x＋≤，得－≤x≤. 所以函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是. 答案： 题型一　三角函数的定义域和值域 【例1】　(1)函数y＝tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.函数y＝tan ＝－tan ，令x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，故函数y的定义域是． (2)(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为 π，则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 解析：选A.f(x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f(x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈ ， 画出f(x)＝－sin 2x图象，如图， 由图可知，f(x)＝－sin 2x在上递减， 所以当x＝时，f(x)min＝－sin ＝－. 【对点练习】　1.(1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________. 解析：要使函数有意义，则有 即 解得(k∈Z)， 所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z. 所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}． 答案： (2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． 解析：因为x∈，所以sinx∈. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2，即函数的值域为. 答案： (3)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________． 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，sin x cos x＝，且t＝sin x－cos x＝sin ，有－≤t≤，∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为. 答案： 题型二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 【例2】　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．点是y＝f(x)图象的对称中心 C．点是y＝f(x)图象的对称中心 D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 解析：选AD.f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sinxcos x＝sin 2x＝－sin ＋＝π，故A正确； 当x＝－时，2x＋＝0，此时sin ＝0，则函数关于点对称，故B错误； 当x＝时，2x＋，此时sin ＝1， 则函数关于直线x＝对称，故C错误； 当x＝时，2x＋，此时sin ＝－1， 则函数关于直线x＝对称，故D正确． (2)函数f(x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． 解析：若f(x)＝3sin ＋1为偶函数， 则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝. ∴f(x)＝3sin ＋1＝3cos 2x＋1， 由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝，k∈Z， ∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z. 答案：，k∈Z 思维升华　1.对于函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． 2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. 3．三角函数奇偶性的判断方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． 【对点练习】　2.(1)(多选)(2024·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)的最小正周期为π C．f为奇函数 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 解析：选ABD.因为函数f(x)＝sin ， 所以f(x)的最大值为，A正确； 最小正周期T＝＝π，B正确； f＝sin [－]＝sin ＝－cos 2x为偶函数，C错误； f(x)的对称轴满足2x－＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故D正确． (2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则＝________． 解析：函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称， 则 ∵，∴ω＝2，φ＝， 故f(x)＝2sin ， 则f＝2sin . 答案： 题型三　三角函数的单调性 角度1　求三角函数的单调区间 【例3】　(1)函数f(x)＝sin 的单调递减区间为__________． 解析：f(x)＝sin 的单调递减区间是g(x)＝sin 的单调递增区间， 由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故所给函数的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z. 答案：[，kπ＋]，k∈Z [变式]　若例中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间． 解：令A＝[，kπ＋]，k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. (2)(人教A版必修一P207)函数y＝3sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为________． 解析：∵y＝3sin 在2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)上单调递减， ∴y＝3sin 在kπ＋≤x≤kπ＋上单调递减， 当k＝0时，x∈⊂[0，2π]；当k＝1时，x∈⊂[0，2π]； ∴、为y＝3sin (2x＋)，x∈[0，2π]的单调递减区间． 答案：∪ 角度2　根据三角函数的单调性求参数 【例4】　(2024·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝sin ＋cos (ω>0)在[0，]上单调递增，则实数ω的取值范围是(　　) A．(0，1] B． C． D． 解析：选B.因为f(x)＝sin ＋cos ＝2sin ＝2sin ，当x∈时，ωx－∈，又函数f(x)在上单调递增，所以有，解得ω≤，因为ω>0，所以实数ω的取值范围是. 思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【对点练习】　3.(1)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 解析：选D.因为tan 5＝tan (5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间(，π)上单调递增， 所以tan (5－π)＜tan 2＜tan 3， 所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b. (2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 解析：选A.f(x)＝cos x－sin x＝， 由题意得a>0， 因为f(x)＝在[－a，a]上单调递减， 所以解得0<a≤， 所以a的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $