2.4 函数的奇偶性、周期性（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

2．4　函数的奇偶性、周期性 [课标要求]　 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．　3.会依据函数的性质进行简单的应用． 【必备知识】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 [提醒]　函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 【必记结论】 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在[a，b]上为奇函数，则a＋b＝0.(　　 ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　 ) (3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　 ) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B．图象关于y轴对称的函数是偶函数 C．函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数 D．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 解析：选AB.由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，错误；对于D，由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，则f(x)需在x＝0处有意义才满足f(0)＝0，错误． 3．已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x－m(m为常数)，则f(－2)＝(　　 ) A．1 B．2 C．－3 D．3 解析：选C.由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝20－m＝1－m＝0，即m＝1，即x≥0时，f(x)＝2x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3. 4．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________． 解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知y＝g(x)是奇函数．由f(－2)＝10，得g(－2)－8＝10，－g(2)－8＝10，所以g(2)＝－18，所以f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 答案：－26 5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________________________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，所以当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)(1－x)＝－f(x)， 整理有f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x，所以f(x)的解析式为f(x)＝ 答案：f(x)＝ 题型一　函数奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x＋1)； (4)f(x)＝ 解：(1)由得x2＝3，解得x＝即函数f(x)的定义域为{－， }，从而f(x)＝＝0，因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． 所以x－2＜0，|x－2|－2＝－x，f(x)＝. 又f(－x)＝，故函数f(x)为奇函数． (3)由得－1＜x≤1，因为f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x). 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，即函数f(x)为奇函数． 方法指导　判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶；若对称，判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． (2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断． (3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 【对点练习】　1.(1)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B．f(x)－g(x)为R上的偶函数 C．为R上的偶函数 D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数 解析：选D.因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． 对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误； 对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，M(－x)＝＝－M(x)≠M(x)，故错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故正确． (2)(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选B.对A，设f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，故A错误； 对B，设g(x)＝，函数定义域为R，且g(－x)＝＝g(x)，则g(x)为偶函数，故B正确； 对C，设h(x)＝x≠－1}，不关于原点对称，则 h(x)不是偶函数，故C错误； 对D，设φ(x)＝，函数定义域为R，因为φ(1)＝，φ(－1)＝，则φ(1)≠φ(－1)，则φ(x)不是偶函数，故D错误． 题型二　函数奇偶性的应用 角度1　利用奇偶性求值(解析式) 【例2】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)为偶函数，则a＝(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选B.法一　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数， 若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 法二　因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)． (2)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　 ) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：选B.由题意知，函数f(x)的定义域为R， 令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x， 则函数g(x)为奇函数，关于原点对称， ∴g(x)在区间[－2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2. (3)(2024·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　 ) A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1 C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1 解析：选D.当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1. 角度2　利用奇偶性解不等式(方程) 【例3】　若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　 ) A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5) C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，＋∞) 解析：选C.因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0， 所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)<0， 当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 所以由xf(x－2)<0， 可得或 解得－1<x<0或2<x<5， 即x∈(－1，0)∪(2，5)． 【对点练习】　2.(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　 ) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 解析：选B.因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e. (2)(2024·河南南阳检测)函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(1，－1)，则关于x的不等式4f(x)＋f(3－x2)<0的解集为(　　 ) A．(－∞，－1)(3，＋∞) B．(－1，3) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－3，1) 解析：选B.函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(1，－1)，则a＝－1，即f(x)＝－x|x|＝所以f(x)是减函数． 又f(－x)＝x|－x|＝x|x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数， f(2x)＝－2x|2x|＝－4x|x|＝4f(x)， 不等式4f(x)＋f(3－x2)<0化为4f(x)<－f(3－x2)，即f(2x)<f(x2－3)， 所以2x>x2－3，解得－1<x<3. 题型三　函数的周期性 【例4】　(1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2 024)＝________． 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，∵f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 024)＝f(4)＝. 答案： (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为________． 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)为周期为4的偶函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 【对点练习】　3.(1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　 ) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 解析：选D.因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1， 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)＝f(－1)＝1， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. (2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有________个． 解析：当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点． 答案：5 抽象函数模型 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性．除此外，我们可以找出抽象函数对应的函数模型，利用特例法解决问题．以下是常见的抽象函数模型： 1．正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； 2．反比例函数f(x)＝，对应f(x＋y)＝(x，f(x)，f(y)，f(x＋y)均不为0)； 3．幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或(f(y)≠0)； 4．指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝； 5．对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f＝nf(x)； 6．正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin (α－β)； 7．余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(x)不恒为0)或f(x)＋f(y)＝来源于cos α＋cos β＝·cos ； 8．正切函数f(x)＝tan x，对应f(x±y)＝(f(x)f(y)≠±1)，来源于tan (α±β)＝. 【典例】　1.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝(　　 ) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：选A.法一(赋值加性质)　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数， 令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知，f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 法二(构造特殊函数)　由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos (x＋y)＋cos (x－y)＝2cos x cos y，可设f(x)＝a cos ωx，则由方法一中f(0)＝2，f(1)＝1知a＝2，a cos ω＝1解得cos ω＝，取ω＝， 所以f(x)＝2cos x，则f(x＋y)＋f(x－y)＝2cos ＋2cos ＝4cos x cos y＝f(x)f(y)，所以f(x)＝2cos x符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，f(0)＝2，f(1)＝1，且f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0， 由于22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 2．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)为奇函数 B．f(－2)＝－1 C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D．f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023 解析：选AB.对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误． 【对点练习】　1.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，x>0时，f(x)>0，f(2)＝3，则(　　 ) A．f(1)＝1 B．函数f(x)在区间(0，＋∞)单调递增 C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 解析：选ABD.A项：因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3，令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正确； B项：任取：x1<x2∈(0，＋∞)， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)， 因为当x>0时，f(x)>0， 所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0， 所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)单调递增，B正确； C项： 令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1， 当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，与题意矛盾； 当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数． 综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误； D项：当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1， f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1， 所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增， 所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3， 故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确． 2．(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－y)＝f(x)f(y)＋f(1＋x)f(1＋y)，且f(0)≠f(2)，则＝________． 解析：令x＝y＝0，得f(0)＝[f(0)]2＋[f(1)]2， 再令x＝y＝1，得f(0)＝[f(1)]2＋[f(2)]2， 所以[f(0)]2＝[f(2)]2，因为f(0)≠f(2)，所以f(0)＝－f(2)， 令x＝1，y＝0，得f(1)＝f(1)f(0)＋f(2)f(1)＝0， 所以f(1)＝0，f(0)＝[f(0)]2，即 f(0)＝0或1， 若f(0)＝0，则代入f(0)＝[f(1)]2＋[f(2)]2中，f(2)＝0，由f(0)≠ f(2)，所以f(0)≠0，即f(0)＝1，且 f(2)＝－1， 令x＝0，得f(－y)＝f(0)f(y)＋f(1)f(1＋y)， 由f(0)＝1，f(1)＝0，所以f(－y)＝f(y)， 所以f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，f(－2)＝f(2)＝－1， 令x＝1，得f(1－y)＝f(1)f(y)＋f(2)f(1＋y)， 所以f(1－y)＝－f(1＋y)，即f(y)＋f(2－y)＝0， 因为f(－y)＝f(y)＝－f(y＋2)，所以f(y＋4)＝f(y)，所以f(x)为周期函数，周期为4， 所以f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，f(4)＝f(0)＝1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以＝25[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f (4)]＋f(1)＋f(2)＝－1. 答案：－1 学科网（北京）股份有限公司 $