课下巩固精练卷(10) 函数的奇偶性、周期性（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

课下巩固精练卷(十)　函数的奇偶性、周期性 【基础巩固题】 1．(2024·南昌模拟)函数f(x)＝的图象(　　 ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：选B.由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 2．(2024·南通模拟)若函数f(x)＝x是偶函数，则m＝(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.函数f(x)＝xx≠0}，由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即－x＝x，整理得＝－2，所以m＝－2. 3．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　 ) A．f(－1)<f(0)<f(－6.5) B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0) D．f(0)<f(－6.5)<f(－1) 解析：选D.∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2， ∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增， f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)， ∴f(0)<f(0.5)<f(1)， 即f(0)<f(－6.5)<f(－1)． 4．(2024·哈尔滨三模)已知函数f(x)＝(ex＋e-x)sin x－2在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　 ) A．－4 B．0 C．2 D．4 解析：选A.令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sin x，定义域为R， 因为f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M，N， 所以g(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2， 因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin (－x)＝－(e－x＋ex)sin x＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称， 所以g(x)的最大值和最小值互为相反数，即M＋2＋N＋2＝0，所以M＋N＝－4. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 025)的值为(　　 ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：选D.因为f(x－1)＋f(x＋1)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)， 则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(2 025)＝f(1)＝log22＝1. 6．函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为(　　 ) A．(－2，2) B．(－∞，0)∪(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选D.由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0， 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0， 所以f(x)的大致图象如图所示． 由f(－x)＝－f(x)可得，>0， 由于x在分母位置，所以x≠0， 当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2； 当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2； 综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 7．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　 ) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数 解析：选ABC.∵f(x＋1)与f(x ＋2)都为奇函数， ∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)　①，f(－x＋2)＝－f(x＋2)　②， ∴.由①可得f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)　③， ∴由②③得f(－x) ＝f(－x＋2)，所以f(x)的周期为2， ∴f(x)＝f(x＋2)，则f(x)为奇函数， ∴f(x＋1)＝f(x＋3)，则f(x＋3)为奇函数． 8．(多选)(2024·湖北孝感模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋1)＋f(x＋2)＝－f(x)，则(　　 ) A．f(1)＝1 B．f(x)的一个周期是3 C．f(x)的一个对称中心是 D．f(10)＋f(11)＋f(12)＝0 解析：选BCD.由f(x＋1)＋f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＋f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以有f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，选项B正确； 又f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，可得f(1)＋f(2)＝0，无法确定f(1)，f(2)的值，选项A错误； 由f(－x)＝－f(x)，及f(x＋3)＝f(x)，可得f(x＋3)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点对称，选项C正确； 由f(x)的周期为3，得f(10)＋f(11)＋f(12)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(0)＝0 ，选项D正确． 9．(2024·四川内江三模)若函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝______． 解析：函数f(x)＝是奇函数，f(0)＝0， 当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2－ax)＝－x2＋ax， 而当x<0时，f(x)＝bx2－2x，则b＝－1，a＝－2； 当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(bx2＋2x)＝－bx2－2x， 而当x>0时，f(x)＝x2＋ax，则b＝－1，a＝－2， 所以b＝－1，a＝－2，a＋b＝－3. 答案：－3 10．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2 023)＝3，求的最小值． 解：因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)， 所以函数f(x)的周期为6， 又因为f(2 023)＝3， 所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3， 因为当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，则有2a＋b＝3， 所以(2a＋b)＝＝， 当且仅当，即a＝时取等号． 【综合应用题】 11．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝时，f＝f，则f(6.5)＝(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选C.当x>时，将x替换为x＋，可得x＋>，解得x>0， 则f＝f，即f(x＋1)＝f(x)(x>0)， 故f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)， 当－1≤x≤1时，由f(－x)＝－f(x)，则＝＝－＝. 12．(2024·江西南昌模拟)已知定义域为R的函数f(x)，g(x)满足：g(0)≠0，f(x)g(y)－f(y)g(x)＝f(x－y)，且g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．g(0)＝1 B．f(x)是奇函数 C．若f(1)＋g(1)＝1，则f(2 024)－g(2 024)＝－1 D．g(x)是奇函数 解析：选D.B选项，由f(x)g(y)－f(y)g(x)＝f(x－y)得f(y)g(x)－f(x)g(y)＝f(y－x)，所以f(y－x)＝－f(x－y)，故f(x)是奇函数，故B正确； A选项，由f(x)是奇函数得f(0)＝0，令x＝y＝0，由g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)可得[g(0)]2－[f(0)]2＝g(0)，又g(0)≠0，得g(0)＝1，故A正确； D选项，由g(x)g(y)－f(x)f(y)＝g(x－y)得g(y)g(x)－f(y)f(x)＝g(y－x)，所以g(y－x)＝g(x－y)，故g(x)是偶函数，所以D错误； C选项，由题意得f(x－y)－g(x－y)＝f(x)g(y)－f(y)g(x)－g(x)g(y)＋f(x)f(y)＝[f(y)＋g(y)][f(x)－g(x)]， 令y＝1得f(x－1)－g(x－1)＝[f(1)＋g(1)][f(x)－g(x)]， 当f(1)＋g(1)＝1时，f(x－1)－g(x－1)＝f(x)－g(x)， 故f(2)－g(2)＝f(1)－g(1)，f(3)－g(3)＝f(2)－g(2)，依次求出，f(2 024)－g(2 024)＝f(0)－g(0)＝－1，所以C正确． 13．(2024·金华模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于(　　 ) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析：选D.当x>0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒21+x－21-x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2， 要想x>0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4； 当x<0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒m·2x＋n·2－x＝21-x－21+x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2， 要想x<0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， 综上所述，m－n＝－4. 14．已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则从小到大的排列是__________________． 解析：由题意知f(x＋1)＝， 且f(x＋2)＝＝f(x)， 故函数y＝f(x)的周期为2， f， f， f， ∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增， ∴f<f<f， 故f<f<f. 答案：f<f<f 15．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式； (3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x， ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－x＝－f(x)， 即f(x)＝x，－1≤x≤0， 即当－1≤x≤1时，f(x)＝x； 若1<x≤3，则－1<x－2≤1， ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x， 即当－1≤x≤3时，f(x)的解析式为f(x)＝ (3)作出函数f(x)在[－4，4]上的图象，如图， 则函数的最小值为－1， 若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4，4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2； 若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4，4]上共有4个解， 则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称， 设它们从小到大依次为a，b，c，d， 则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4. 【创新拓展题】 16．(多选)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名字命名的狄利克雷函数的解析式为F(x)＝关于狄利克雷函数F(x)，下列说法正确的是(　　 ) A．对任意x∈R，F(F(x))＝1 B．函数F(x)是偶函数 C．任意一个非零实数T都是F(x)的周期 D．存在三个点A(x1，F(x1))、B(x2，F(x2))、C(x3，F(x3)) ，使得△ABC为正三角形 解析：选ABD.∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A正确；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－＝0，所以A，B(0，1)，恰好△ABC为等边三角形，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $