第四章 第五节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数周期性、奇偶性与对称性核心考点，按“基础考点—多维探究—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（如周期性判断方法、奇偶性应用技巧）、方法指导（整体换元法、辅助角公式）、真题训练（2023全国乙卷等典型题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点。 资料特色在于真题与教材衔接，如改编教材习题为高考题型，设计分层练习（自主练透、对点练、课时测评）。通过对称性探究中整体换元分析对称轴，培养学生数学思维，结合即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考点一　三角函数的周期性自主练透 1.函数f(x)=的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 答案：C 解析：f(x)====sin xcos x=sin 2x，所以f(x)的最小正周期T==π.故选C． 2.下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　) A．f=sin x+cos 2x B．y= C．f=tan D．y=sin 答案：B 解析：对于A，因为f(x+π)=sin(x+π)+cos 2(x+π)=－sin x+cos 2x≠f，故A不符合题意；对于B，作出函数y=|cos x|的图象，由图可知，函数y=|cos x|的最小正周期为π，故B符合题意； 对于C，f(x)=tan 的最小正周期为=2π，故C不符合题意；对于D，函数y=sin∣x∣=其图象如图，由图可知，函数y=sin |x|不是周期函数，故D不符合题意.故选B． 3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 答案：D 解析：易知y=cos x，y1=2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.故选D． 4.(多选)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　) A．y=tan B．y=sin C．y=sin |x| D．y=cos |x| 答案：AD 解析：y=tan，则T==4π，故A正确；函数y=sin的最小正周期为8π，故B不正确；函数y=sin |x|不是周期函数，故C不正确；y=cos |x|=cos x，最小正周期为2π，所以4π也是它的一个周期，故D正确.故选AD． 考点二　三角函数的奇偶性与对称性多维探究 角度1　奇偶性 (1)函数f(x)=2sin2－1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 (2)已知函数f(x)=2sin是偶函数，则θ的值为　　　　.  答案：(1)D　(2) 解析：(1)f(x)=2sin2－1=－=－cos=sin 2x，可得f(x)的最小正周期为=π.因为f(－x)=sin(－2x)=－sin 2x=－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.故选D． (2)因为函数f(x)为偶函数，所以θ+=+kπ，k∈Z，解得θ=+kπ，k∈Z.又θ∈，所以θ=，经检验，符合题意. 三角函数奇偶性应用技巧 1.可结合常用结论判断奇偶性. 2.若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为奇函数，则当x=0时，y=0；若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为偶函数，则当x=0时，y取最大值或最小值. 学生用书⬇第101页 角度2　对称性 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f=(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y=f(x)的图象关于点中心对称，则f=(　　) A．1 B． C． D．3 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，且x=和x=是函数图象的对称轴，所以==，则T=π，ω==2，当x=时，f(x)取得最小值，则2×+φ=2kπ－，k∈Z，则φ=2kπ－，k∈Z，不妨取k=0，得φ=－π，则f(x)=sin，则f=sin=.故选D． (2)因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称，所以b=2，且sin+b=2，即sin=0，所以ω+=kπ，又2<ω<3，所以<ω+<，所以ω+=4π，解得ω=，所以f(x)=sin+2，所以f=sin+2=sin+2=1.故选A． 三角函数对称性应用技巧 1.求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. 2.判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 对点练1.设函数f(x)=cos，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)=f(x)+f'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ=(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：A 解析：由题意得g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)－sin=2cos.因为函数g(x)为偶函数，所以φ+=kπ，k∈Z，解得φ=－+kπ，k∈Z.又－π<φ<0，所以φ=－.故选A． 对点练2.已知函数f(x)=tan x－sin xcos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象不关于点对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 答案：D 解析：因为f(x+π)=f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，故A错误；因为f(－x)=－f(x)≠f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因为f(π－x)=－tan x+sin xcos x=－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称，故C错误；因为f(2π－x)=－tan x+sin xcos x=－f(x)，所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.故选D． 考点三　三角函数性质的综合应用师生共研 (1)(2024·山东临沂二模)已知函数f=sin(2x+φ)图象的一个对称中心为，则(　　) A．f在区间上单调递增 B．x=是f图象的一条对称轴 C．f在上的值域为 D．将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)由题意可得2×+φ=kπ，解得φ=－+kπ，又<，故φ=－，即f=sin.对于A，当x∈时，2x－∈，由函数y=sin x在上不为单调递增，故f在区间上不为单调递增，故A错误；对于B，当x=时，2x－=，由x=不是函数y=sin x的对称轴，故x=不是f图象的一条对称轴，故B错误；对于C，当x∈ 时，2x－∈，则f∈，故C错误；对于D，将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，可得y=sin= sin=cos 2x，该函数图象关于y轴对称，故D正确.故选D． (2)对于A，令f(x)=sin 2x=0，解得x=，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin=0，解得x=+，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，故C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－=kπ+⇔x=+，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC． 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 　　先将y=f(x)化为y=asin ωx+bcos ωx的形式，然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 对点练3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D．直线y=－x是曲线y=f(x)的切线 答案：AD 解析：法一：由2x+φ=kπ(k∈Z)，得x=(k∈Z).因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以=，即φ=kπ－(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin. 法二：因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin=0，可得+φ=kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin. 对于A，由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ+(k∈Z)，当k=0时，－≤x≤.因为⊆，所以函数f(x)在区间单调递减，故A正确；对于B，由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=(k∈Z)，当k=0时，x=－，当k=1时，x=，当k=2时，x=，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确；对于C，由选项B的分析知，函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z)，而方程=(k∈Z)无解，故C不正确；对于D，因为f'(x)=2cos，若直线y=－x为曲线y=f(x)的切线，则由2cos=－1，得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z)，所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z).当x=kπ(k∈Z)时，f(x)=，则由=－kπ(k∈Z)，解得k=0；当x=kπ+(k∈Z)时，f(x)=－，方程－=－kπ－(k∈Z)无解.综上所述，直线y=－x为曲线y=f(x)的切线，故D正确.故选AD． 对点练4.(多选)(2024·湖北武汉四调)已知函数f=sin 2x+sin，则(　　) A．函数f是奇函数 B．函数f是偶函数 C．f的最大值是 D．f在区间上单调递减 答案：BD 解析：f=sin 2x+sin=sin 2x+=sin 2x+cos 2x=sin.对于A，g=f=sin=sin，因为g=sin=－sin≠－g，故A错误；对于B，y=f=sin=sin=cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f=sin，知其最大值为1，故C错误；对于D，<x<，则<2x+<，由正弦函数的单调性知，函数f=sin在上单调递减.故D正确.故选BD． 学生用书⬇第102页 [真题再现]　(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间单调递增； ③f(x)在[－π，π]有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案：C 解析：因为f(－x)=sin|－x|+|sin(－x)|=sin |x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)=sin x+sin x=2sin x，所以f(x)在 上单调递减，故②错误；当x∈[－π，π]时，f(x)=sin |x|+|sin x|=2|sin x|，其图象如图所示，此时f(x)有3个零点，故③错误；因为y=sin |x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确.故选C． [教材呈现]　(人教A必修一P214T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　) A．y=|sin x| B．y=cos x C．y=tan x D．y=cos 点评：高考题与教材题目非常类似，是教材习题的改编，也是教材习题的升华. 课时测评32　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－9，每小题5分，共45分) 1.(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　) A．y=sin x+cos x B．y=sin xcos x C．y=sin2x+cos2x D．y=sin2x－cos2x 答案：A 解析：对于A，sin x+cos x=sin，周期T=2π，故A正确；对于B，sin xcos x=sin 2x，周期T==π，故B错误；对于C，sin2x+cos2x=1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于D，sin2x－cos2x=－cos 2x，周期T==π，故D错误.故选A． 2.(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)=sin B．f(x)=cos C．f(x)=sin D．f(x)=cos 答案：B 解析：由三角函数的最小正周期T=，可得y=sin与y=cos的最小正周期为4，而y=sin和y=cos的最小正周期为8，故排除C、D．因为函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2，所以f(x)在x=2处取得最值.对于A，f(2)=sin=sin π=0，对于B，f(2)=cos=cos π=－1，所以f(x)的解析式可能为f(x)=cos.故选B． 3.同时满足f(x+π)=f(x)与f=f的函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)=cos 2x B．f(x)=tan x C．f(x)=sin x D．f(x)=sin 2x 答案：D 解析：由题意得所求函数的周期为π，且图象关于直线x=对称.对于A，f(x)=cos 2x的周期为π，而f=0不是函数的最值，所以其图象不关于直线x=对称，不合题意.对于B，f(x)=tan x的周期为π，但图象不关于直线x=对称，不合题意.对于C，f(x)=sin x的周期为2π，不合题意.对于D，f(x)=sin 2x的周期为π，且f=1为函数的最大值，符合题意.故选D． 4.(多选)(2024·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=sin，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的图象关于点中心对称 D．f(x)在上有4个零点 答案：AC 解析：对于A，最小正周期T==，故A正确；对于B，当x∈时，4x+∈，不在区间内，故f(x)在上不单调递增，故B错误；对于C，f=sin=sin π=0，故点是f(x)的一个对称中心，故C正确；对于D，令f(x)=sin=0，则4x+=kπ，k∈Z，解得x=－+，k∈Z，故当x∈时，取k=0，1，2，3，4，分别得x1=－，x2=，x3=，x4=，x5=，故f(x)在上有5个零点，故D错误.故选AC． 5.(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)=sin+cos，则(　　) A．函数f为偶函数 B．曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ，k∈Z C．f(x)在区间单调递增 D．f(x)的最小值为－2 答案：AC 解析：f(x)=sin=－sin 2x.因为f=－sin 2 =cos 2x，为偶函数，故A正确；令2x=+kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，所以f(x)的对称轴为x=+，k∈Z，故B错误；由<2x<，得<x<，所以f(x)在区间上单调递增，又⊆，所以f(x)在区间上单调递增，故C正确；f(x)min=－，故D错误.故选AC． 6.(多选)(2025·湖南株洲模拟)下列关于函数f(x)=cos x+asin x(a≠0)的说法正确的是(　　) A．存在a，使f(x)是偶函数 B．存在a，使f(x)是奇函数 C．存在a，使f(x+π)=f(x) D．若f(x)的图象关于直线x=对称，则a=1 答案：AD 解析：函数f(x)=cos x+asin x=sin(x+θ)，其中sin θ=，cos θ=，θ∈(0，π).当a=0时，f(x)=cos x为偶函数，故A正确；对于B，无论a取何值，函数f(x)=sin(x+θ)都不可能为奇函数，故B错误；对于C，f(x+π)=sin(x+π+θ)=－sin(x+θ)≠f(x)，故C错误；对于D，当x=时，函数f(x)取得最大值或最小值，故+a=±，解得a=1，故D正确.故选AD． 7.(2024·四川内江模拟)已知函数f(x)=coscos(ω>0)的最小正周期为π，且曲线y=f(x)关于直线x=对称，则|φ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为ωx+φ+=+，所以f(x)=coscos=－sincos=－sin.因为f(x)的最小正周期是π，所以=π，所以ω=1，则f(x)=－sin.因为曲线y=f(x)关于直线x=对称，所以2×+2φ－=kπ+，k∈Z，所以φ=+，k∈Z，则当k=0时，|φ|=，当k=－1时，|φ|=，则|φ|的最小值为.故选B． 8.(新设问)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f=f，则其解析式可以是f(x)=　　　　.(写出一个满足条件的解析式即可)  答案：cos 3x(答案不唯一) 解析：因为对于任意的x∈R，都有f=f，所以函数的图象关于直线x=对称.又函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x. 9.已知函数f(x)=sin 2x－2cos2x+1，且方程f(x)－a=0在内有实数根，则实数a的取值范围是　　　　.  答案：[－2，1] 解析：f(x)=sin 2x－2cos2x+1=sin 2x－cos 2x=2sin，方程f(x)－a=0在内有实数根，即a=f(x)在内有实数根，由x∈，得2x－∈，故－2≤f(x)≤1，即实数a的取值范围是[－2，1]. 10.(13分)已知函数f(x)=sinsincos2x+. (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(6分) (2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.(7分) 解：(1)由题意，得f(x)=(－sin x)(－cos x) －cos2x+ =sin xcos x－cos2x+ =sin 2x－+ =sin 2x－cos 2x+=sin+， 所以f(x)的最小正周期T==π； 令2x－=kπ+，得x=+(k∈Z)， 故f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z). (2)当0≤x≤时，－≤2x－≤， 由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1， 即0≤sin+≤. 故f(x)的最小值为0，最大值为. 11.(14分)设函数f(x)=tan，已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的解析式；(3分) (2)求f(x)的单调区间；(4分) (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集.(7分) 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期T=，即=.因为ω>0，所以ω=2，所以f(x)=tan(2x+φ). 因为函数y=f(x)的图象关于点M对称，所以2×+φ=，k∈Z，即φ=+，k∈Z. 又0<φ<，所以φ=，所以f(x)=tan. (2)令－+kπ<2x+<+kπ，k∈Z，得－+<x<+，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间. (3)由(1)知，f(x)=tan. 由－1≤tan≤，得－+kπ≤2x+≤+kπ，k∈Z，即－+≤x≤+，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. (每小题6分，共12分) 12.(多选)(2024·山东德州二模)已知函数f=sin x·，则(　　) A．f是奇函数 B．f的最小正周期为π C．f的最小值为－ D．f在上单调递增 答案：AC 解析：对于A，函数f定义域为R，有f=sin·=－sin x·=－f，所以f是奇函数，故A正确；对于B，有f=sin·=－，f=sin·=.所以f≠f，这表明π不是f的周期，故B错误；对于C，我们有f=sin x·≥－=－≥－，而之前已计算得到f=－，故f的最小值为－，故C正确；对于D，由于f=sin·=0，f=sin 0·=0，故f=f，所以f在上并不是单调递增的，故D错误.故选AC． 13.(多选)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=cos x+sin 2x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．∃x0∈R，使f>f C．在[0，2π]内f(x)有4个零点 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 答案：BCD 解析：对于A，f(x+π)=cos(x+π)+sin [2(x+π)]=－cos x+sin 2x≠f(x)，故A错误；对于B，f=cos+sin=1+，f=cos+sin==3，=+，因为>，所以>1+，所以f>f，即∃x0∈R，使得f>f，故B正确；对于C，令f(x)=cos x+sin 2x=0，即2cos x =0，即cos x=0或sin x=－，解得x1=，x2=，x3=，x4=，恰好有4个零点，故C正确；对于D，f=0，f=cos+sin=sin x+sin 2x，f=cos+sin=－sin x－sin 2x，所以f+f=0，即f(x)关于点对称，故D正确.故选BCD． (每小题8分，共16分) 14.(多选)(2024·山东临沂模拟)已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是(　　) A．是f(x)的周期 B．f(x)的最小值为 C．f=f(x) D．f(x)=在上有两解 答案：AD 解析：因为f=+=|cos x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)是以为周期的函数，故A正确；当x∈时，f(x)=|sin x|+|cos x|=sin x+cos x=sin，则x+∈，所以1≤sin≤，函数f(x)的最小值为1，故B错误；由f=+=≠f(0)=1，故C错误；当x∈时，f(x)=|sin x|+|cos x|=sin x+cos x=sin，此时f(x)在x∈上单调递增，在x∈上单调递减，在x=处取得最大值，故f(x)=在x∈上有唯一解.又因为f(－x)=|sin(－x)|+|cos(－x)|=|sin x|+ |cos x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，因此f(x)=在x∈上有唯一解，所以f(x)=在上有两解，故D正确.故选AD． 15.(2024·陕西铜川模拟)已知函数f(x)=cos(2x+φ)，满足函数y=f是奇函数，且当|φ|取最小值时，函数f(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围为　　　　.  答案： 解析：因为函数f(x)=cos(2x+φ)，满足函数y=f=cos是奇函数，所以－+φ=+kπ，φ=+kπ，k∈Z，则当|φ|取最小值时，φ=－.因为函数f(x)=cos在区间和上均单调递增，所以解得≤a≤，则实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $