1.6 一元二次方程、不等式（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

1．6　一元二次方程、不等式 [课标要求]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式． 【必备知识】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 【必记结论】　 1．一元二次不等式的解集 (1)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，则 (2)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅，则 (3)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R，则 (4)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为∅，则 2．绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 3．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔ 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　 ) (3)不等式x2≤a的解集为{x|x≤}．(　　 ) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　 ) (5)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　 ) A．{x |x≤－1或x≥} B．{x |－1≤x≤} C．{x |x≤－或x≥1} D．{x ≤x≤1} 解析：选D.将不等式变形为2x2＋7x－9≤0，解得≤x≤1，所以解集为{x≤x≤1}． 3．不等式<0的解集为(　　 ) A．∅ B．(2，3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选B.<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3. 4．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________． 解析：∵A＝{x|x2－16<0}＝{x|(x＋4)(x－4)<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|(x－1)(x－3)>0}＝{x|x<1或x>3}， 画数轴如图，可知A∪B＝R. 答案：R 5．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 答案：[1，3] 题型一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参的不等式 【例1】　(多选)下列选项中，正确的是(　　 ) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“<0”的充分不必要条件 解析：选ABD.因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由<0，可得－4<x<5，因此，“<0”的充分不必要条件，故D正确． 角度2　含参的不等式 【例2】　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为{x<x<4}，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解：(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0. 因为f(x)<0的解集是， 所以a>0且－，解得a＝3. (2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0， 当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为； 当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅； 当4>－，即a<－时，原不等式的解集为. 综上所述，当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为. 思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类如下： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【对点练习】　1.设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)>0； (2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0. 解：(1)当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0，即(2x＋1)(x－1)<0，解得－<x<1，故当a＝－2时，不等式f(x)>0的解集为. (2)由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0， 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0<a<1时，>1，解得1<x<； 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅； 当a>1时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为{x}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为. 题型二　三个二次之间的关系 【例3】　(1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x或x>} D．a＋b＋c>0 解析：选AC.由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确； 因为－4，5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以解得 所以 bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误； 不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，即(5x＋1)(4x－1)>0，解得x<－或x>，故C正确； 因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误． (2)(多选)(2024·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论中正确的是(　　 ) A．x1＋x2＋2＝0 B．－3<x1<x2<1 C．|x1－x2|>4 D．x1x2＋3<0 解析：选ACD.由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)， 所以a<0，且 所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，D正确； 原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1，且f(x)的图象开口向下， 又x1<x2，f(x)的大致图象如图所示， 由图知，x1<－3<1<x2，|x1－x2|>4，故B错误，C正确． 【对点练习】　2.(1)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(　　 ) A．R B．∅ C．{x|－1<x<3} D．{x|x<－1或x>3} 解析：选D.由得故不等式ax2＋(b－1)x－3>0可化为x2－2x－3>0，即(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>3. (2)已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|m<x<m＋4}，则实数c的值为(　　 ) A．9 B．8 C．6 D．4 解析：选D.由题意得x＝－时，y＝＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x－c＝0的根为m，m＋4，即m＋m＋4＝－a，解得m＝，＝－2，又m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝4. 题型三　一元二次不等式恒成立问题 【例4】　(1)(2024·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　 ) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：选D.不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. (2)(2024·山西太原五中模拟)已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.问题转化为m<在(0，2]上有解，设g(x)＝，则g(x)＝，x∈(0，2]，又x＋，当且仅当x＝时取等号，则g(x)max＝，故m<. (3)已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即mm－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 法一　令g(x)＝mm－6，x∈[1，3]. 当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝>0， 又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m<在x∈[1，3]上恒成立． 令y＝， 因为函数y＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是. 答案： 【对点练习】　3.已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1)． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立． (2)因为x＞1，所以m＜. 设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝， 所以m＜. 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)， 显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增． 当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0， 所以m≤0. 所以m的取值范围是(－∞，0]. (3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立， 当且仅当 即 由①得＜x＜， 由②得x＜或x＞， 取交集，得＜x＜， 所以x的取值范围是{x＜x＜}． 学科网（北京）股份有限公司 $