1.4 基本不等式（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

1．4　基本不等式 [课标要求]　1.了解基本不等式的推导过程．　2.会用基本不等式解决简单的最值问题．　3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　 【必备知识】 ≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．即两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立． (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值． [提醒]　利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，忽视任何一个条件，就会出错． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件．(　　 ) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　 ) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设a＞0，则的最小值为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.9a＋＝6，当且仅当9a＝，即a＝时等号成立． 3．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　 ) A．4 B． C． D．2 解析：选B.依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤，即矩形面积的最大值为. 4．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．3x≥3y B． C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 解析：选AD.由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 5．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________． 解析：当x＝±1时，1－x2＝0.当－1<x<1时，1－x>0，1＋x>0，∴1－x2＝(1－x)(1＋x)≤2＝1，当且仅当1＋x＝1－x，即x＝0时取等号，∴1－x2的最大值为1，此时x＝0. 答案：1 题型一　基本不等式的理解及常见变形 【例1】　(1)(人教A版必修一P40改编)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 解析：选C.∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>，∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a. (2)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　 ) A．(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．(a>0，b>0) D．(a>0，b>0) 解析：选C.根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD， 又OD＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝， 由于OD≥CD，所以(a>0，b>0)． 由于CD≥DE，所以(a>0，b>0)． [变式]　例题(2)中，条件改为：“点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b”，则该图形可以完成的无字证明为(　　 ) A．(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．(a>0，b>0) D．(a>0，b>0) 解析：选D.由图形可知，OF＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF＝， ∵CF≥OF， ∴ (a＋b)(a>0，b>0)． 【对点练习】　1.(多选)(2024·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．0< B．≥1 C．log2a＋log2b<2 D． 解析：选BD.因为a>0，b>0，所以ab≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤＝4或，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立． 题型二　利用基本不等式求最值 角度1　直接法 【例2】　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　 ) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D． 解析：选BC.选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＝2，当且仅当时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)(北师大版必修一P31)设x，y是满足2x＋y＝20的正数，则xy的最大值是________． 解析：由已知得20＝2x＋y≥2，即20≥2，解得xy≤50，当且仅当2x＝y时取等号，即x＝5，y＝10时取等号，所以xy的最大值为50. 答案：50 (3)(人教A版必修一P46)已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为________时，两条直角边的和最小，最小值是________． 解析：设三角形两直角边分别为x，y，则面积S＝＝50，所以xy＝100， 故x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时，取等号． 所以当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20. 答案：10　20 角度2　配凑法 【例3】　(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　 ) A． B． C．2 D．2 解析：选D.因为4a2＋b2＝7，则a ＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立． (2)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　 ) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 解析：选D.由题意可知，x－2>0，所以y＝(x－2)＋＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，所以函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. 思维升华　配凑法求解最值应注意的问题 (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 角度3　常值代换法 【例4】　(1)已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　 ) A．54 B．56 C．72 D．81 解析：选C.8a＋b＝(8a＋b)＋40＝72，当且仅当，即a＝6，b＝24时取等号． [变式]　将本例(1)中的＝1改为8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 解析：∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＝1，下同例4解析． 答案：72 (2)已知x>0，y>0且x＋y＝5，则的最小值为________． 解析：令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，(m＋n)＝＝，当且仅当，即m＝n＝4时等号成立， ∴的最小值为. 答案： 思维升华　常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题． 角度4　消元法 【例5】　(2024·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________，xy的最大值为________． 解析：(1)法一(换元消元法)　由已知得9－(x＋3y)＝xy＝，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)　由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＝3(1＋y)＋－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. (2)由已知得9－xy＝x＋3y≥2，令＝t，则t>0， 有9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0<t≤， 所以，即xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 所以xy的最大值为3. 答案：6　3 【对点练习】　2.(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　 ) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 解析：选AD.对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝，设t＝，则t≥，则y≥，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． (2)已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　 ) A．1 B． C．2 D．2 解析：选B.∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则b＝，∴b－，当且仅当，即a＝2时，等号成立，此时b＝. (3)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　 ) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D．的最小值为 解析：选BCD.对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2，即2＋2－8≤0，解得－4≤≤2，又因为a>0，b>0，所以0<≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误； 对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确； 对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝>0，解得0<a<8，所以a＋2b＝a＋2×－3，当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，故C正确； 对于D，[a(b＋1)＋b]＝×(2＋2)＝，当且仅当，即b＝4，a＝时取等号，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $