1.3 等式性质与不等式性质（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

1．3　等式性质与不等式性质 [课标要求]　理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性质判断相关命题的真假． 【必备知识】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 3．不等式的性质 性质1　如果a>b，且b>c，那么a>c. 性质2　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质3　(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 性质5　(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd. 性质6　当a>b>0时，>，其中n∈N+，n≥2. 【必记结论】 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若>1，则a>b.(　　 ) (2)0<a<x<b或a<x<b<0⇔<<.(　　 ) (3)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　 ) (4)a＝b⇔ac＝bc.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　 ) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 解析：选D.对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误． 对于B，当a<0<b时，<，故B错误． 对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误． 对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 解析：选ABD.C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误． 4．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为____________． 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N. 答案：M＞N 5．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为________． 解析：方案A：一次性投资500万元； 方案B：第一年投资100万元， 两年后总投资为(100＋10)万元， 三年后总投资为(100＋10×2)万元， …… n年后总投资为[100＋10(n－1)]万元． 由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以100＋10(n－1)≥500. 答案：100＋10(n－1)≥500 题型一　比较两个数(式)的大小 【例1】　(1)若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　 ) A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解析：选B.p－q＝＝(b2－a2)·， 因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q. (2)已知M＝，则M，N的大小关系为________． 解析：方法一　∵M－N＝>0， ∴M>N. 方法二　令f(x)＝， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 答案：M>N 方法指导　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：利用函数的单调性比较大小． (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 【对点练习】　1.(1)若ln a>ln b，则(　　 ) A．> B．< C．πa－b<3a－b D．a－b> 解析：选D.因为ln a>ln b，所以a>b>0，<0，所以<，故A错误； ，无法确定符号，故B错误； 因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，所以πa－b>3a－b，故C错误； a－b－＝(a－b)，其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，所以a－b－>0，a－b>，故D正确． (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 解析：，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 答案：eπ·πe＜ee·ππ 题型二　不等式的基本性质 【例2】　(1)(人教A版必修一P43改编)下列不等式中成立的是(　　 ) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则ln (a－b)>0 C．若a<b<0，则3a<3b D．若a<b<0，则< 解析：选C.对于A，若a>b>0，则ac2>bc2错误，如c＝0时，ac2＝bc2，所以该选项错误； 对于B，当0<a－b<1时，ln (a－b)<0，故该选项错误； 对于C，因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a<b时，3a<3b，所以该选项正确； 对于D，若a<b<0，则>0，∴>，所以该选项错误． (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．> B．－a2<－ab C．ln |a－1|>ln |b－1| D．2a－b>1 解析：选ABD.因为a>b>0，则>，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝＝ln |b－1|＝ln ，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 【对点练习】　2.(1)(2024·福州一模)“0＜a＜b”是“a－＜b－”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.∵y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，∴当0＜a＜b时，a－＜b－，充分性成立； 当a－＜b－时，不能推出0＜a＜b，例如a＝1，b＝－满足a－＜b－，但不满足0＜a＜b，必要性不成立，∴“0＜a＜b”是“a－＜b－”的充分不必要条件． (2)(多选)(2024·济南调研)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　 ) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 解析：选BC.对于A，∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∴<，A错误； 对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，a－b>0，∴b＋c＝－a<0，∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确； 对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C正确； 对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误． 题型三　不等式性质的综合应用 【例3】　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　 ) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 解析：选D.因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7. [变式]　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解：设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　 ) A．20 B．22 C．26 D．28 解析：选B.设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【对点练习】　3.(1)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.原式分子和分母同时除以x，得， 由条件得2<－2y<6，<<， 所以<－<，即<－<3， 所以<1－<4，所以<<. (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 解析：由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a，2a>－c，>－2，－a－c>c，－a>2c，<－，所以－2<<－. 答案：－2<<－ 学科网（北京）股份有限公司 $