专题6.4平行线(20大题型+知识点梳理+题型精析)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

本讲义系统梳理平行线的核心知识，从定义（三要素：同一平面内、两条直线、永不相交）及四步规范画法入手，衔接平行公理及推论，再到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的三大判定方法，构建从概念到公理再到判定的完整学习支架。 资料特色在于用“F/Z/U型”模型直观识别角（几何直观），结合抖空竹、工程车等生活实例培养数学眼光，19个题型分层设计（含跟踪训练与提升题），强化推理意识与应用能力，课中助力教师高效授课，课后方便学生回顾强化，弥补知识盲点。

专题6.4 平行线 【知识点 1】平行线的定义及画法 一、定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。若直线a与直线b平行，记作a∥b。 二、核心要点 1.定义三要素：同一平面内、两条直线、永不相交，三者缺一不可； 2.线段 / 射线平行：实际指它们所在的直线平行，线段不相交不等于线段平行； 3.平面内直线位置关系：仅相交和平行两种（重合直线视为一条直线，不归属这两类）。 三、直尺三角板画法（四步规范） 落：将三角板的一条斜边与已知直线完全重合； 靠：用直尺紧紧贴合三角板的一条直角边； 推：沿直尺平稳平移三角板，使与已知直线重合的斜边精准通过指定已知点； 画：沿这条斜边画出直线，该直线即为已知直线的平行线。 【知识点 2】平行公理及推论 一、核心内容 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 二、要点提示 公理关键限定：需明确 “经过直线外一点”，注意与垂线的相关性质区分，避免混淆直线上的点与直线外的点； 公理关键词解读：“有” 表明满足条件的直线存在性，“只有” 表明满足条件的直线唯一性； 推论别称：该推论又称 “平行线的传递性”，是判断两条直线平行的重要依据之一。 【知识点 3】直线平行的判定 一、三大判定方法（含几何语言） 判定方法 1：同位角相等，两直线平行 同位角特征：呈 “F” 型（可正向、反向、旋转），如直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 与∠2 在 l 的右侧，且分别在 a、b 的上方，即为同位角。 关键提醒：同位角是 “位置关系角”，与角的大小无关，只有 “相等” 这个条件成立时，才能判定直线平行。 判定方法 2：内错角相等，两直线平行 内错角特征：形状呈 “Z” 型（可正向、反向、旋转，如倒 Z、横 Z）。例：直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 在 l 左侧、a 下方，∠2 在 l 右侧、b 上方，且两角都在 a、b 之间，即为内错角。 快速区分：对比同位角的 “F” 型，内错角是 “交错在截线两侧”，而非同旁，避免位置判断混淆。 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 同旁内角特征：形状呈 “U” 型（可正向、反向、旋转，如倒 U、横 U）。例：直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 和∠2 都在 l 的右侧，且都夹在 a、b 两条直线之间，即为同旁内角。 对比区分：与 “F” 型同位角、“Z” 型内错角对比，同旁内角是 “同旁 + 内部”，三个角型特征结合记忆，可快速精准找角。 二、核心要点提示 平行线的判定核心是由数推形：即通过判断两个角的数量关系（相等或互补），推导出两条直线的位置关系（平行）。 题型1.平面内两直线的位置关系 [例题讲解1]如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． [跟踪训练2]在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 跟踪训练3]在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型2.立体图形中棱的平行关系 （例题讲解1）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． [跟踪训练2]观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【答案】 ， ， ， 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，， 【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键． [跟踪训练3]如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 题型3.用直尺.三角板画平行线的方法 (例题讲解1)如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（    ）      A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等、两直线平行解答即可． 【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选C． [跟踪训练2]下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． [跟踪训练3]．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 题型4.平行公理的实际应用 (例题讲解1)．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． [跟踪训练2]．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质的应用，平行公理的推论，过点E作，则，由两直线平行、同旁内角互补，可得，，由此可解． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选A [跟踪训练3]．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 题型5.平行公理推论的应用示例 (例题讲解1)．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． [跟踪训练2]．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． [跟踪训练3]．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，利用平行线的性质求出和，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6.同位角相等,两直线平行 (例题讲解1)．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】选项A：同位角相等，两直线平行，符合题意； 选项B：内错角相等，两直线平行，符合题意； 选项C：两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，不符合题意 选项D：， ， 同旁内角互补，两直线平行，符合题意； 故选：C． [跟踪训练2]．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． [跟踪训练3]．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 题型7.内错角相等,两直线平行 (例题讲解1)．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题关键． 【详解】解：由图可知：是截产生的内错角， 若，则根据内错角相等两直线平行可推出， 故选：C [跟踪训练2]．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． [跟踪训练3]．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质，求出的度数判断①；根据，得到，进而求出的度数，判断②；根据平行线的性质，判断③，角的和差关系判断④即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵；故④正确； 故答案为：①③④． 题型8.同旁内角互补,两直线平行 (例题讲解1)．如图，，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定以及平行线间距离的定义，先求出平行，再根据平行线间距离的定义即可得． 【详解】， 平行于， ， 点到的距离是， 故答案为：． [跟踪训练2]．如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定定理．根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行或者同位角相等，两直线平行，或者同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：①添加， 则， ∴（内错角相等，两直线平行） ②添加， 则， ∴（同位角相等，两直线平行） ③添加， 则 ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行（答案不唯一） [跟踪训练3]．如图，下列不能判定条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据选项中角的关系，结合平行线的判定，进行判断即可． 【详解】解：A．，由同位角相等，两直线平行，可判断； B． ，由内错角相等，两直线平行，可判断； C．，由内错角相等，两直线平行，可判断，但不能判断； D．，由同旁内角互补，两直线平行，可判断； 故选：C． 题型9.在同一平面内垂直与同一直线的两直线平行 (例题讲解1)．连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握垂直于同一直线的两直线平行是关键． 根据垂直于同一直线的两直线平行判定即可． 【详解】解：工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是垂直于同一直线的两直线平行， 故选：B ． [跟踪训练2]．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． [跟踪训练3]．下列说法：①，，是同一平面内不同的三条直线，若，，则；②夹在两条平行线间的线段的长度，叫作这两条平行线的距离；③在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，平行线间的距离，同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，据此可判断①；夹在两条平行线间且与这两条平行线垂直的线段的长度，叫作这两条平行线的距离，据此可判断②；根据平行线的定义可判断③；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此可判断④． 【详解】解：①，，是同一平面内不同的三条直线，若，，则，原说法正确； ②夹在两条平行线间且与这两条平行线垂直的线段的长度，叫作这两条平行线的距离，原说法错误； ③在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，原说法正确； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法正确． 故选：C． 题型10.两直线平行同位角相等 (例题讲解1)．如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故选A． [跟踪训练2]．下列说法不正确的有（   ） 相等的两个角是对顶角；若，则与互为邻补角；同位角相等；垂线段最短；同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，平行和垂直；同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质、对顶角、邻补角、两直线位置关系等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，对顶角、邻补角、两直线位置关系逐一判断即可解答． 【详解】解：相等的两个角不一定是对顶角，也可能仅仅是度数相等，故原说法错误，符合题意； 若，则与互为补角，不一定是邻补角，故原说法错误，符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原说法错误，符合题意； 垂线段最短，该说法正确，不符合题意； 同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，垂直是相交的特殊情况，故原说法错误，符合题意； 同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，该说法正确，不符合题意， 综上，说法不正确的有个． 故选：A． [跟踪训练3]．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 题型11.两直线平行内错角相等 (例题讲解1)．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． [跟踪训练2]．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． [跟踪训练3]．如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据题意得平分，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 题型12.两直线平行同旁内角互补 (例题讲解1)．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接利用两直线平行，同旁内角互补可得答案． 【详解】解：∵反射光线刚好与平行，， ∴， 故选：C [跟踪训练2]．如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、若，不是同位角、内错角等特殊位置关系的角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、若，则，故该选项正确，符合题意． C、若，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． [跟踪训练3]．如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 题型13.根据平行线的性质探究角的数量关系 (例题讲解1)．如图，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行的性质得到角的关系是关键． 根据邻补角判定A、B选项，根据两直线平行，同位角相等判定C选项，根据对顶角相等，两直线平行，同旁内角互补判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵与互为邻补角， ∴，故A选项错误； 同理可得，，故B选项错误； ∵， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项错误， 故选：C． [跟踪训练2]．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． [跟踪训练3]．如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线的性质，余角的概念，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 先根据，可得出，，再由平行线的性质可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：，， ，． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 故答案为：3． 题型14.根据平行线的性质求角的度数 (例题讲解1)．如图，两条平行线被直线所截，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质与邻补角的定义，解题的关键是利用平行线的同位角相等，结合邻补角的和为建立方程求解． 先根据平行线的性质得出，再结合和邻补角的关系，建立方程求解的度数． 【详解】解：， ， 与是邻补角， ， 又，且， ， 将代入，得： 解得：， ． 故答案为：． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质与邻补角的定义，解题的关键是利用平行线的同位角相等，结合邻补角的和为建立方程求解． 先根据平行线的性质得出，再结合和邻补角的关系，建立方程求解的度数． 【详解】解：， ， 与是邻补角， ， 又，且， ， 将代入，得： 解得：， ． 故答案为：． [跟踪训练2]．在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质，解题的关键在于能够画图，数形结合进行分析求解．根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：① 如图所示： 令， 依题意，，， ∴， ∴， 又∵比大， ∴， ∴； ②如图所示： 令， 依题意，，， ∴，， ∴， ∵比大， ∴此种情况不符合题意， 故答案为：． [跟踪训练3]．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 题型15.平行线的性质在生活中的实际应用 (例题讲解1)．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据题意可得，代入数据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：水平面与容器底面是平行的， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． 故选：C． [跟踪训练2]．某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． [跟踪训练3]．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 题型16.结合平行线判定与性质求角度 (例题讲解1)．如图，已知，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，进而根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． [跟踪训练2]．如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．分别过点，，作，，，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点，，作，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． [跟踪训练3]．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，即可判断①；由，得到，即可判断③；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平行线的性质求出的度数，即可判断②；由即可判断④． 【详解】解：， ，故①正确； ， ，故③不正确； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故④正确． ∴正确的有3个，不正确的有1个， 故选：B． 题型17.结合平行线判定与性质进行几何证明 (例题讲解1)．已知在同一平面内的直线，如果，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上全不对 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解： 如果，那么与的位置关系是平行． 故选：A． [跟踪训练2]．如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． [跟踪训练3]．如图，若，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、同角的余角相等、垂直的定义等知识点，熟知垂直的定义及平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理可判定①；由垂直的定义可得，再根据同角的余角相等可判定②；由平行线的定义可得可得，再结合即可判定③；根据垂直的定义以及等量代换可得，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∵， ， 不一定成立， 得不到，即④错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为①②③． 题型18.求平行线间的距离 (例题讲解1)．如图，已知，，，则与间的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查两平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键． 与间的距离就是的长度，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：与间的距离就是的长度， ∵，， ∴与间的距离是5， 故答案为：5． [跟踪训练2]．在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． 【答案】7或3 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． [跟踪训练3]．已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键． 分两种情况，结合平行线之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：情况一：直线在与之间， ，， ， 与的距离是 情况二：直线在与之间， ，， ， 与的距离是， 综上所述：则与的距离是或． 故选：C． 题型19.利用平行线间的距离解决实际问题 (例题讲解1)．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． [跟踪训练2]．把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．由于平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，据此即可解答． 【详解】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高； 由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的； 答：这两个梯形的高总是相等． 故选：C． .[跟踪训练3]．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    题型20.同位角.内错角.同旁内角 (例题讲解1)．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． [跟踪训练2]．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． [跟踪训练3]．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ．. 【答案】②③ 【分析】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结合角平分线的定义得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：②③． (分层提升题) 一.选择题 1．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 2．如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、两个角是同位角，，不能判定，故A不符合题意； B、由，，可得，能判定，故B符合题意； C、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定，故C不符合题意； D、两个角是内错角，，不能判定，故D不符合题意． 故选：B． 3．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（    ）    甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可得． 【详解】解：A、可得（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意； B、可得（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意； C、可得（同位角相等，两直线平行），不能得到，则此项符合题意； D、可得（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 4．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论： ①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①依据，，可得； ②依据，即可得到； ③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； ④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①，， ； 故①正确． ②， ， ，是定值； 故②错误． ③如图1所示， 当时，， ， 如图2所示， 当时，， ， 当时，则或； 故③错误． ④设，则． 如图 由（1）可知，， ， 解得：， 即， ， ； 如图 由（1）得：， ， ， ， ， ． 此时或； 故④错误． 综上所述：只有①正确，所以正确的个数有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． .5．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 二.填空题 8．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：. 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：如下图所示， ∵∠1=∠2， ∴(同位角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行 【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 9．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 10．如图，平分，平分，当和满足 时，． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、补角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．通过作辅助线，结合三角形内角和定理、补角的性质可求得的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，， 如图所示，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 【答案】或或或 【详解】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角尺的性质求解是解题的关键． 【分析】解：①当时，如图，， ； ②当时，如图，，即， ； ③当时，如图，， ； ④当时，如图，延长交于点， ∴， 故答案为：或或或． 13．数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 14．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，． 【答案】或或或 【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】解：①当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，（）； ②当时，如图，则， ∵，     ∴， 即， 解得，（）； ③当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，（）； 当时，如图，则， ∵，     ∴， 即， 解得，（）； 综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． 三.解答题 15．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图： (1)连接，作射线； (2)过点B画的垂线，垂足为E； (3)过点A作交于点F； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】本题考查了画射线，线段，垂线，平行线，三角形的面积公式，平行线间的距离相等： （1）根据题意，连接，作射线画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据平行线之间的距离相等，过点A作交于点F，则点F即为所求； （4）根据边上的高相等，可得． 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线即为所求． （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点F即为所求， （4）解：∵边上的高相等， ∴． 16．在同一平面内，已知，，若直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，则直线，之间的距离是多少？ 【答案】直线，之间的距离是或 【分析】本题考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之间时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，外部时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 17．如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 18．如图，平行于，，于点O，于点H， (1)平分吗？请说明理由 (2)求证： 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】利用本题重点考查​平行线的性质、角平分线的判定和垂直的性质​，​灵活运用平行线的性质进行角的转化是解题的关键​． （1）根据，得，再根据，，得，即可得到答案； （2）根据，结合（1），得，，再根据平行于，得，进而得到答案． 【详解】（1）由，得， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴平分． （2）∵， ∴ 由（1）知 ∴， ∵平行于， ∴， ∴． 19．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平行线 【知识点 1】平行线的定义及画法 一、定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。若直线a与直线b平行，记作a∥b。 二、核心要点 1.定义三要素：同一平面内、两条直线、永不相交，三者缺一不可； 2.线段 / 射线平行：实际指它们所在的直线平行，线段不相交不等于线段平行； 3.平面内直线位置关系：仅相交和平行两种（重合直线视为一条直线，不归属这两类）。 三、直尺三角板画法（四步规范） 落：将三角板的一条斜边与已知直线完全重合； 靠：用直尺紧紧贴合三角板的一条直角边； 推：沿直尺平稳平移三角板，使与已知直线重合的斜边精准通过指定已知点； 画：沿这条斜边画出直线，该直线即为已知直线的平行线。 【知识点 2】平行公理及推论 一、核心内容 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 二、要点提示 公理关键限定：需明确 “经过直线外一点”，注意与垂线的相关性质区分，避免混淆直线上的点与直线外的点； 公理关键词解读：“有” 表明满足条件的直线存在性，“只有” 表明满足条件的直线唯一性； 推论别称：该推论又称 “平行线的传递性”，是判断两条直线平行的重要依据之一。 【知识点 3】直线平行的判定 一、三大判定方法（含几何语言） 判定方法 1：同位角相等，两直线平行 同位角特征：呈 “F” 型（可正向、反向、旋转），如直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 与∠2 在 l 的右侧，且分别在 a、b 的上方，即为同位角。 关键提醒：同位角是 “位置关系角”，与角的大小无关，只有 “相等” 这个条件成立时，才能判定直线平行。 判定方法 2：内错角相等，两直线平行 内错角特征：形状呈 “Z” 型（可正向、反向、旋转，如倒 Z、横 Z）。例：直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 在 l 左侧、a 下方，∠2 在 l 右侧、b 上方，且两角都在 a、b 之间，即为内错角。 快速区分：对比同位角的 “F” 型，内错角是 “交错在截线两侧”，而非同旁，避免位置判断混淆。 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 同旁内角特征：形状呈 “U” 型（可正向、反向、旋转，如倒 U、横 U）。例：直线 a、b 被截线 l 所截，∠1 和∠2 都在 l 的右侧，且都夹在 a、b 两条直线之间，即为同旁内角。 对比区分：与 “F” 型同位角、“Z” 型内错角对比，同旁内角是 “同旁 + 内部”，三个角型特征结合记忆，可快速精准找角。 二、核心要点提示 平行线的判定核心是由数推形：即通过判断两个角的数量关系（相等或互补），推导出两条直线的位置关系（平行）。 题型1.平面内两直线的位置关系 [例题讲解1]如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 [跟踪训练2]在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 跟踪训练3]在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 题型2.立体图形中棱的平行关系 （例题讲解1）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． [跟踪训练2]观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． [跟踪训练3]如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 题型3.用直尺.三角板画平行线的方法 (例题讲解1)如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（    ）      A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 [跟踪训练2]下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． [跟踪训练3]．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    题型4.平行公理的实际应用 (例题讲解1)．a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 [跟踪训练2]．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． [跟踪训练3]．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 题型5.平行公理推论的应用示例 (例题讲解1)．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 [跟踪训练2]．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． [跟踪训练3]．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 题型6.同位角相等,两直线平行 (例题讲解1)．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ [跟踪训练3]．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 题型7.内错角相等,两直线平行 (例题讲解1)．如图，能判定的条件是（　　） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． [跟踪训练3]．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有 ． 题型8.同旁内角互补,两直线平行 (例题讲解1)．如图，，，，则点到的距离是 ． [跟踪训练2]．如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ． [跟踪训练3]．如图，下列不能判定条件是（　　） A． B． C． D． 题型9.在同一平面内垂直与同一直线的两直线平行 (例题讲解1)．连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 [跟踪训练2]．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） [跟踪训练3]．下列说法：①，，是同一平面内不同的三条直线，若，，则；②夹在两条平行线间的线段的长度，叫作这两条平行线的距离；③在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10.两直线平行同位角相等 (例题讲解1)．如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．下列说法不正确的有（   ） 相等的两个角是对顶角；若，则与互为邻补角；同位角相等；垂线段最短；同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，平行和垂直；同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 [跟踪训练3]．如图，，，则的度数为 ． 题型11.两直线平行内错角相等 (例题讲解1)．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． [跟踪训练3]．如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为 ． 题型12.两直线平行同旁内角互补 (例题讲解1)．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 [跟踪训练3]．如图，若，，则图中与互补的角有 个． 题型13.根据平行线的性质探究角的数量关系 (例题讲解1)．如图，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ [跟踪训练3]．如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 题型14.根据平行线的性质求角的度数 (例题讲解1)．如图，两条平行线被直线所截，若，则 ． [跟踪训练2]．在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 °． [跟踪训练3]．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型15.平行线的性质在生活中的实际应用 (例题讲解1)．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． [跟踪训练3]．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为 ． 题型16.结合平行线判定与性质求角度 (例题讲解1)．如图，已知，，则 度． [跟踪训练2]．如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． [跟踪训练3]．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型17.结合平行线判定与性质进行几何证明 (例题讲解1)．已知在同一平面内的直线，如果，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上全不对 [跟踪训练2]．如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． [跟踪训练3]．如图，若，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为 ．（填序号） 题型18.求平行线间的距离 (例题讲解1)．如图，已知，，，则与间的距离是 ． [跟踪训练2]．在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． [跟踪训练3]．已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 题型19.利用平行线间的距离解决实际问题 (例题讲解1)．如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（　　） A． B． C． D． [跟踪训练2]．把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 .[跟踪训练3]．如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    题型20.同位角.内错角.同旁内角 (例题讲解1)．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． [跟踪训练2]．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． [跟踪训练3]．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点在上，连接，已知，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④．其中所有正确结论的序号为 ．. (分层提升题) 一.选择题 1．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 2．如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（    ）    甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论： ①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 .5．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 二.填空题 8．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：. 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 9．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 10．如图，平分，平分，当和满足 时，． 11．如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则 ． 12．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 13．数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 14．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，． 三.解答题 15．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图： (1)连接，作射线； (2)过点B画的垂线，垂足为E； (3)过点A作交于点F； (4)求的面积． 16．在同一平面内，已知，，若直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，则直线，之间的距离是多少？ 17．如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 18．如图，平行于，，于点O，于点H， (1)平分吗？请说明理由 (2)求证： 19．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 20．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $