专题15平行线精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦平行线核心知识，系统梳理定义、同一平面内位置关系、平行公理及推论、尺规作图、三线八角识别、判定与性质、几何说理规范，构建从概念到应用的学习支架，同步解析六大易错点。 资料通过18个分层题型（含基础到提升）及拔高题设计，结合机器人武术、护眼台灯等生活实例培养数学眼光，以判定与性质逻辑辨析强化推理意识，规范几何说理提升数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题15平行线精讲学案 核心立意 理解平行线的定义与符号表示，掌握平行公理及其推论，会用直尺三角板作平行线；识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角；分清平行线判定与性质的逻辑区别，规范几何推理书写，提升识图与简单说理能力。 平行线定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a b；线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行。 同一平面内两直线位置关系： 不重合的两条直线，只有相交、平行两种位置关系。 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论（平行传递性）： 若ab，b c，则a c。 平行线尺规作图： 直尺、三角板平移法作图，步骤概括：一放、二靠、三推、四画。 三线八角识别： 两条直线被截线所截，产生同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型），识图关键是找准截线与被截两条直线。 平行线判定（由角证平行：角→线）： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 平行线性质（已知平行求角：线→角）： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 几何说理规范： 证明平行优先用判定；已知平行求角度优先用性质，推理过程标注对应依据。 ① 忽略前提“同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行； ② 平行公理易错：直线上一点，无法作出已知直线的平行线； ③ 不能直接由线段、射线无交点，判定线段、射线平行； ④ 混用判定与性质，颠倒“角推线”和“线推角”的逻辑； ⑤ 识别三线八角时，找错截线，错误判断同位角、内错角、同旁内角； ⑥ 使用平行传递性时，三条直线需在同一平面内。 题型 考察方向 难度 题型一 平面内两直线的位置关系 ★ 题型二 立体图形中平行的棱 ★ 题型三 用直尺、三角板画平行线 ★★ 题型四 平行公理的应用 ★★ 题型五 平行公理推论的应用 ★★ 题型六 同位角相等两直线平行 ★★ 题型七 内错角相等两直线平行 ★★ 题型八 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型九 同一平面内，垂直于同直线的两直线平行 ★★ 题型十 两直线平行同位角相等 ★★ 题型十一 两直线平行内错角相等 ★★ 题型十二 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 ★★★ 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 ★★★ 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 ★★★ 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 ★★★ 题型十七 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 12·1 题型一：平面内两直线的位置关系 解题思路：①限定前提：同一平面内两条不重合直线，位置关系仅相交、平行两类；②判定标准：有且仅有1个公共点⇒两直线相交；无公共点⇒两直线平行。 1．如图，能相交的是________，平行的是________．（填序号） 2．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 3．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：立体图形中平行的棱 解题思路：①在长方体、正方体等立体模型中识别棱；②判定棱平行：无公共端点、延伸后不相交、延伸方向一致；③辨析误区：立体中不相交的棱不一定平行。 4．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有_________条，这些棱都互相_________． 5．正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有_________条． 6．在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 题型三：用直尺、三角板画平行线 解题思路：①操作步骤：一放、二靠、三推、四画；②作图原理：利用平移构造一组相等同位角；③作图规范：保留平移痕迹，最终标注平行符号。 7．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 8．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 9．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 题型四：平行公理的应用 解题思路：①平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②辨析关键点：若点在已知直线上，不存在符合要求的平行线；③用于判断作图可行性、正误辨析。 10．如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 11．已知同一平面内三条直线，，，则下列说法中错误的是（     ） A．如果，，那么． B．如果，，那么． C．如果，，那么． D．如果，，那么． 12．如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 题型五：平行公理推论的应用 解题思路：①推论（平行传递性）：若ab，b c，则a c；②适用前提：三条直线共面；③用于多条平行线的递推证明与判断。 13．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 14．如图，，，，则的度数为_____________时，． 15．如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 题型六：同位角相等两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别同位角（F型）；②证得同位角度数相等；③推导两直线平行，说理依据标注：同位角相等，两直线平行。 16．如图，能判定的是（     ） A． B． C． D． 17．如图，记图中互相平行的直线的组数为组，则_______． 18．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型七：内错角相等两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别内错角（Z型）；②证得内错角度数相等；③推导两直线平行，说理依据标注：内错角相等，两直线平行。 19．如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 20．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 21．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 题型八：同旁内角互补两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别同旁内角（U型）；②证得两角之和为180；③推导两直线平行，说理依据标注：同旁内角互补，两直线平行。 22．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 23．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 24．如图，下面推理中，正确的是（     ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 题型九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题思路：①前提：同一平面内；②由垂直定义得到两组90角，可转化为同位角/内错角相等；③推证两直线平行，可作为推论直接使用。 25．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 26．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 27．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型十：两直线平行同位角相等 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的同位角；③直接推出同位角度数相等，说理依据标注：两直线平行，同位角相等。 28．如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 29．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，、在上，且点在点的右侧，连接、，，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号为________． 30．如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 题型十一：两直线平行内错角相等 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的内错角；③直接推出内错角度数相等，说理依据标注：两直线平行，内错角相等。 31．将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．如图，已知，，连接、，，则的度数为______°． 33．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十二：两直线平行同旁内角互补 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的同旁内角；③直接推出两角之和为180，说理依据标注：两直线平行，同旁内角互补。 34．如图，直线、被、所截，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故B选项符合题意； 35．如图，已知，则__________． 36．如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（     ） A． B． C． D． 题型十三：根据平行线的性质探究角的关系 解题思路：①由直线平行，选用对应平行线性质，得到基础等角或补角关系；②结合对顶角、邻补角等量代换，推导目标两角的数量关系；③规范书写逻辑链，注明每一步推理依据。 37．已知直线，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 38．如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______． 39．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 题型十四：根据平行线的性质求角的度数 解题思路：①识别平行线与截线，确定目标角与已知角的位置关系；②选用平行线性质建立角度等式；③代入已知角度数值计算，完成求值。 40．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（     ） A． B． C． D． 41．如图所示，，，点C在射线上，且，线段的延长线交于点D，则的度数是________________． 42．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 题型十五：平行线的性质在生活中的应用 解题思路：①从实际情境抽象出平行线模型与截线；②转化为三线八角，利用平行线性质建立角度关系；③结合已知条件求解或说理，回归实际问题作答。 43．机器人在年春晚舞台上大放异彩，如图为机器人武术表演精彩瞬间的示意图，当机器人的胳膊和腿平行（即）时，若的度数为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则___________． 45．如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若保持不变为，此时，底座与灯臂的夹角可通过绕点转动调节照明，当灯体调节到平行于桌面时，的大小变化为（     ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 题型十六：根据平行线判定与性质求角度 解题思路：①先利用角的数量关系，通过平行线判定证明两直线平行；②再依据已证平行关系，使用平行线性质转化角度；③列式计算目标角。 46．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，直线被直线所截，点A、D分别在直线上，，点E在直线的右侧，连接平分交于点G，过点E作射线，若，，，则的度数为______°． 48．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十七：根据平行线判定与性质证明 解题思路：①梳理条件与待证结论，区分“证平行”和“利用平行推角相等/互补”；②按需选用平行线判定或性质，分步书写；③每一步推理标注规范几何依据，逻辑闭环。 49．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 50．如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是____． ①；②；③；④；⑤若，则． 51．如图，已知，点是线段延长线上一点，且．以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十八：同位角、内错角、同旁内角 解题思路：①先锁定截线、两条被截直线；②依据位置特征区分三类角：同位角在截线同侧、被截两线同方；内错角在截线两侧、被截两线之间；同旁内角在截线同侧、被截两线之间；③F/Z/U型仅作辅助识别模型，优先以位置定义为准。 52．如图，直线、被直线所截，则图中共有同旁内角________对． 53．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 54．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 解答题 1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行？请画图说明． 2．如图，直线与交于点O，点E在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点E画，垂足为H； ②过点E画直线，使； (2)线段与的大小关系是 ，依据是 ． 3．如图，已知，，点E、F分别在线段、上，连接，，那么与平行吗？为什么？ 4．如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)过点作，若，，求的度数． 5．如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 6．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 7．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)若，则 ； (2)若，射线在内交直线于点，如图②所示，当、分别在点、的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15平行线精讲学案 核心立意 理解平行线的定义与符号表示，掌握平行公理及其推论，会用直尺三角板作平行线；识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角；分清平行线判定与性质的逻辑区别，规范几何推理书写，提升识图与简单说理能力。 平行线定义： 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a b；线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行。 同一平面内两直线位置关系： 不重合的两条直线，只有相交、平行两种位置关系。 平行公理： 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论（平行传递性）： 若ab，b c，则a c。 平行线尺规作图： 直尺、三角板平移法作图，步骤概括：一放、二靠、三推、四画。 三线八角识别： 两条直线被截线所截，产生同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型），识图关键是找准截线与被截两条直线。 平行线判定（由角证平行：角→线）： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 平行线性质（已知平行求角：线→角）： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 几何说理规范： 证明平行优先用判定；已知平行求角度优先用性质，推理过程标注对应依据。 ① 忽略前提“同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行； ② 平行公理易错：直线上一点，无法作出已知直线的平行线； ③ 不能直接由线段、射线无交点，判定线段、射线平行； ④ 混用判定与性质，颠倒“角推线”和“线推角”的逻辑； ⑤ 识别三线八角时，找错截线，错误判断同位角、内错角、同旁内角； ⑥ 使用平行传递性时，三条直线需在同一平面内。 题型 考察方向 难度 题型一 平面内两直线的位置关系 ★ 题型二 立体图形中平行的棱 ★ 题型三 用直尺、三角板画平行线 ★★ 题型四 平行公理的应用 ★★ 题型五 平行公理推论的应用 ★★ 题型六 同位角相等两直线平行 ★★ 题型七 内错角相等两直线平行 ★★ 题型八 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型九 同一平面内，垂直于同直线的两直线平行 ★★ 题型十 两直线平行同位角相等 ★★ 题型十一 两直线平行内错角相等 ★★ 题型十二 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 ★★★ 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 ★★★ 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 ★★★ 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 ★★★ 题型十七 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 12·1 题型一：平面内两直线的位置关系 解题思路：①限定前提：同一平面内两条不重合直线，位置关系仅相交、平行两类；②判定标准：有且仅有1个公共点⇒两直线相交；无公共点⇒两直线平行。 1．如图，能相交的是________，平行的是________．（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 2．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 3．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 题型二：立体图形中平行的棱 解题思路：①在长方体、正方体等立体模型中识别棱；②判定棱平行：无公共端点、延伸后不相交、延伸方向一致；③辨析误区：立体中不相交的棱不一定平行。 4．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有_________条，这些棱都互相_________． 【答案】 4 平行 【分析】本题考查长方体棱的位置关系，解题关键是明确长方体棱的分组及垂直、平行的定义． 根据长方体的性质，与地面垂直的棱是竖直棱，数量为4条，且这些棱都互相平行． 【详解】教室的形状为长方体，长方体共有12条棱，分为长、宽、高三组，每组各4条． 地面可看作长方体的一个底面，与地面垂直的棱是连接底面和顶面的4条高，这4条棱垂直于底面所在平面． 因为这4条棱的方向完全相同， 所以它们互相平行． 综上，与地面垂直的棱有4条，这些棱都互相平行． 故答案为：4，平行． 5．正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有_________条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．正方体中每条棱属于两个面，在每个面中，存在一条对边与给定棱平行且共面，因此满足条件的棱有两条． 【详解】解：设给定棱为．在正方体中，棱同时属于两个面，例如面和面． 在面中，棱与平行且共面； 在面中，棱与平行且共面． 不存在其他棱与既平行又共面． 故答案为． 6．在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．根据长方体的性质，同一方向的棱互相平行． 【详解】解：∵在长方体中，方向相同的棱具有相同的空间取向，属于同一组平行棱， ∴方向相同的四条棱一定平行． 对于其他选项：A选项相交于同一顶点的三条棱互相垂直； B选项同一面上的四条棱由两组平行的对边组成，这两组对边不互相平行； C选项长度相等的棱可能来自不同方向（如长和宽相等但不平行），因此不一定平行． 故选：D． 题型三：用直尺、三角板画平行线 解题思路：①操作步骤：一放、二靠、三推、四画；②作图原理：利用平移构造一组相等同位角；③作图规范：保留平移痕迹，最终标注平行符号。 7．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 【答案】同位 【分析】明确平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：已知，得出， 因此，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 8．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 9．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 题型四：平行公理的应用 解题思路：①平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②辨析关键点：若点在已知直线上，不存在符合要求的平行线；③用于判断作图可行性、正误辨析。 10．如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【详解】解：是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 11．已知同一平面内三条直线，，，则下列说法中错误的是（     ） A．如果，，那么． B．如果，，那么． C．如果，，那么． D．如果，，那么． 【答案】B 【详解】解：A、如果，，那么，故A正确； B、如果，，那么，故B错误； C、如果，，那么，故C正确； D、如果，，那么，故D正确． 12．如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 题型五：平行公理推论的应用 解题思路：①推论（平行传递性）：若ab，b c，则a c；②适用前提：三条直线共面；③用于多条平行线的递推证明与判断。 13．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即与的位置关系是平行 14．如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 15．如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作EH∥CD，由此求出，得到，根据平行线的推论得到AB∥EH，利用平行线的性质求出答案． 【详解】解：过点E作EH∥CD，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵EH∥CD，， ∴AB∥EH， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键． 题型六：同位角相等两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别同位角（F型）；②证得同位角度数相等；③推导两直线平行，说理依据标注：同位角相等，两直线平行。 16．如图，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，与是直线、被第三条直线所截形成的同位角， （同位角相等，两直线平行）， ， 与是同旁内角，需互补才能判定平行， 与 是对顶角，与 是邻补角，它们的相等关系均不能判定 ． 17．如图，记图中互相平行的直线的组数为组，则_______． 【答案】 【分析】根据可判断，求出可判断，进而可求出x的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，图中互相平行的直线有组． 所以． 18．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形对各选项进行分析即可． 【详解】 A、与是直线，被第三条直线所截形成的同位角，则当时，，故A选项符合题意； B、与是对顶角，不能判定，故B选项不符合题意； C、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故C选项不符合题意； D、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故D选项不符合题意． 题型七：内错角相等两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别内错角（Z型）；②证得内错角度数相等；③推导两直线平行，说理依据标注：内错角相等，两直线平行。 19．如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 20．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 【答案】④ 【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可． 【详解】①无法得到，不符合题意； ②可得，不符合题意； ③可得，不符合题意； ④可得，符合题意； ⑤得，不符合题意． 21．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 题型八：同旁内角互补两直线平行 解题思路：①定位截线与被截两直线，识别同旁内角（U型）；②证得两角之和为180；③推导两直线平行，说理依据标注：同旁内角互补，两直线平行。 22．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不能判断出，故A选项不符合题意； B、不能判断出，故B选项不符合题意； C、能判断出，故C选项符合题意； D、不能判断出，故D选项不符合题意． 23．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】由同旁内角互补，两直线平行．即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选择数据①③可判断模型位置能够达标． 24．如图，下面推理中，正确的是（     ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【详解】解：A、∵，∴，不能得到，该选项不符合题意； B、∵，∴，不能得到，该选项不符合题意； C、∵，∴，该选项符合题意； D、∵，不能得到，该选项不符合题意． 题型九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题思路：①前提：同一平面内；②由垂直定义得到两组90角，可转化为同位角/内错角相等；③推证两直线平行，可作为推论直接使用。 25．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此可得答案． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 26．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 27．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 题型十：两直线平行同位角相等 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的同位角；③直接推出同位角度数相等，说理依据标注：两直线平行，同位角相等。 28．如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 29．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，、在上，且点在点的右侧，连接、，，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号为________． 【答案】①②/②① 【分析】对于①和②，利用平行线的性质即可判断；对于③，由平分，平分，再作差即可判断． 【详解】解：设， ∵， ∴，，故①正确， ∵， ∴平分，故②正确， ∵， 又∵为的平分线， ∴， ∴，故③错误， 综上，正确的结论为①②． 30．如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用两直线平行同旁内角互补，结合题意得到，再通过平角定义求出，最后依据平行线性质推出的度数． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十一：两直线平行内错角相等 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的内错角；③直接推出内错角度数相等，说理依据标注：两直线平行，内错角相等。 31．将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平角定义和两直线平行内错角相等结合题目条件求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 32．如图，已知，，连接、，，则的度数为______°． 【答案】90 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，从而得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 33．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 题型十二：两直线平行同旁内角互补 解题思路：①已知条件：两条被截直线互相平行；②定位截线，找出对应的同旁内角；③直接推出两角之和为180，说理依据标注：两直线平行，同旁内角互补。 34．如图，直线、被、所截，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故B选项符合题意； ∵直线c，d位置关系不确定，则、不一定成立，故C、D选项都不符合题意； 35．如图，已知，则__________． 【答案】102 【详解】解：， ， ， ， ． 36．如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义表示出与的数量关系，再利用邻补角的性质及角平分线定义表示出，通过代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 分别平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． 题型十三：根据平行线的性质探究角的关系 解题思路：①由直线平行，选用对应平行线性质，得到基础等角或补角关系；②结合对顶角、邻补角等量代换，推导目标两角的数量关系；③规范书写逻辑链，注明每一步推理依据。 37．已知直线，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 根据现有条件无法得到，，， ∴四个选项中，只有D选项中的说法正确，符合题意． 38．如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，；故⑤正确； ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，；故②④正确； ∵， ∴；故③正确； 故答案为：①②③④⑤ 39．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，结合角的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：纸条的两对边平行， （两直线平行同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），故①②正确； 直角三角尺的直角顶点在上， ，，故④正确； ， ，故③正确． 故选A． 题型十四：根据平行线的性质求角的度数 解题思路：①识别平行线与截线，确定目标角与已知角的位置关系；②选用平行线性质建立角度等式；③代入已知角度数值计算，完成求值。 40．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直尺两边平行得到同位角相等，再结合三角板直角为，通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 41．如图所示，，，点C在射线上，且，线段的延长线交于点D，则的度数是________________． 【答案】/42度 【分析】先求出，然后根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 42．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 过点作， ∴， ∴ ∴ 题型十五：平行线的性质在生活中的应用 解题思路：①从实际情境抽象出平行线模型与截线；②转化为三线八角，利用平行线性质建立角度关系；③结合已知条件求解或说理，回归实际问题作答。 43．机器人在年春晚舞台上大放异彩，如图为机器人武术表演精彩瞬间的示意图，当机器人的胳膊和腿平行（即）时，若的度数为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 根据平行线的性质：两直线平行,同旁内角互补． 44．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则___________． 【答案】53 【详解】解：如图， ∵， ， ∵， ∴． 45．如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若保持不变为，此时，底座与灯臂的夹角可通过绕点转动调节照明，当灯体调节到平行于桌面时，的大小变化为（     ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】D 【分析】过点作，利用平行线的性质求出与的夹角，从而确定旋转角度，进而得出的变化量． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， 即此时与的夹角为 ， 当时，需将灯体绕点（整体绕）顺时针旋转 ， 灯臂也顺时针旋转 ， 增大 题型十六：根据平行线判定与性质求角度 解题思路：①先利用角的数量关系，通过平行线判定证明两直线平行；②再依据已证平行关系，使用平行线性质转化角度；③列式计算目标角。 46．如图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明出，再由两直线平行，同旁内角互补计算即可得出结果． 【详解】解：如图， 由对顶角相等可得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 47．如图，直线被直线所截，点A、D分别在直线上，，点E在直线的右侧，连接平分交于点G，过点E作射线，若，，，则的度数为______°． 【答案】70 【分析】先证得出，即可求出的度数，于是得出的度数，根据角平分线的定义得出，即可得出的度数，再证，得出，然后根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ， 平分交于点， ， ， ，， ， ， ． 48．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E、F分别作的平行线，设，因为，所以所作直线也平行于，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等性质，依据角平分线的定义，将平分平分的条件转化为角的倍分关系，分别将用α和β表示．结合已知条件，将得到的两个角的表达式代入，求出，即可求解的度数． 【详解】解：过点E作，过点F作，设， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十七：根据平行线判定与性质证明 解题思路：①梳理条件与待证结论，区分“证平行”和“利用平行推角相等/互补”；②按需选用平行线判定或性质，分步书写；③每一步推理标注规范几何依据，逻辑闭环。 49．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴，故不一定成立，故B错误； ，故不一定成立，故A错误； ，故C正确； ，不一定成立，故D错误． 50．如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是____． ①；②；③；④；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； 平分， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ，故④错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②⑤． 51．如图，已知，点是线段延长线上一点，且．以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合，得到即可判断A项，再结合，得到，即可判断B项，根据，得到角的关系，即可判断C项，根据现有条件无法证明判断D项，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 故A正确，不符合题意． ， ， ， 故B正确，不符合题意． ， ， ， ， ， 故C正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，但题目中无任何条件能推出， ∴无法证明． 故D错误，不符合题意． 题型十八：同位角、内错角、同旁内角 解题思路：①先锁定截线、两条被截直线；②依据位置特征区分三类角：同位角在截线同侧、被截两线同方；内错角在截线两侧、被截两线之间；同旁内角在截线同侧、被截两线之间；③F/Z/U型仅作辅助识别模型，优先以位置定义为准。 52．如图，直线、被直线所截，则图中共有同旁内角________对． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角． 【详解】解：如图，和，和是同旁内角，共对． ． 53．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 54．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】对每个选项，先找到对应两个角的边，确定截线与被截直线，再根据三类角的位置特征判断是否符合定义，选出不符合对应角定义的选项． 【详解】解：本题考查三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，三类角都要求两个角各有一条边在同一条公共截线上，再根据位置判断： 选项A：与，是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且夹在、之间， 属于同旁内角，A说法正确． 选项B：与，是直线、被直线所截，两个角在截线两侧，且夹在、之间， 属于内错角，B说法正确． 选项C：与，不满足同位角的位置关系， 不存在公共截线使二者构成同位角，C说法错误． 选项D：与是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且在被截线、之间， 属于同旁内角，D说法正确． 解答题 1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行？请画图说明． 【答案】c与b相交，画图如下： 【分析】由平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行，判断即可． 【详解】c与b相交，画图如下： 理由： 假设 ， ， 与 与 相交，矛盾，假设不成立， 与 相交． 2．如图，直线与交于点O，点E在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点E画，垂足为H； ②过点E画直线，使； (2)线段与的大小关系是 ，依据是 ． 【答案】(1)①；②； (2)，垂线段最短． 【分析】（1）①根据题意画垂线即可； ②根据题意画平行线即可； （2）根据垂线段最短进行判断求解，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：线段与的大小关系是，依据是垂线段最短． 3．如图，已知，，点E、F分别在线段、上，连接，，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先根据垂直得到，再根据得到，最后根据平行公理得到． 【详解】略 4．如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)过点作，若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由可得，结合可得，因此； （2）由可得，由可得，，因此 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 5．如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由等角的补角相等得出，即可得出． （2）由平行线的性质得出，，等量代换可得出． 【详解】（1）略 （2）略 6．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； (2)， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 7．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)若，则 ； (2)若，射线在内交直线于点，如图②所示，当、分别在点、的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过点作直线，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （2）延长交于点，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （3）分情况讨论，①当分别在点的右侧，②当点在点的左侧，点在点的右侧时，③当分别在点的左侧，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：过点作直线，如图： ， ， ，， ， ， （2）解：延长交于点，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：①当分别在点的右侧，如图： ， ， ， ， ， ，， ∵射线平分， ； ②当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ； ③当点分别在点的左侧，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $