第二章 直线与圆的位置关系（举一反三单元测试·培优卷）数学浙教版九年级下册

第二章 直线与圆的位置关系·培优卷 【浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 2．如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 4．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 8．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 12．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 14．（2024·河南周口·三模）如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    15．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ． 16．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长 ， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 18．（6分）（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； 19．（8分）（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 20．（8分）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 21．（10分）（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 22．（10分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 23．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．以为圆心，为半径作半圆，交直线分别于点，（点在的左侧）． （1）当秒时， 的长等于__________，__________秒时，半圆与相切； （2）当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长； （3）若，求扇形的面积． （参考数据：，，） 24．（12分）（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的位置关系·培优卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】考查直线和圆的位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 已知点P在直线l上且，d是圆心到直线的最短距离（垂线段长度），因此．结合半径，分析d的不同情况即可确定位置关系． 【详解】解：圆心O到直线l的距离d是直线l上各点到O的最短距离，由垂线段最短可知． ∵圆的半径， ∴当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； ∴直线l与的位置关系可能是相交、相切或相离． 故选：D 2．如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，，从而可得的周长，即可得解． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ∴的长是， 故选：B． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，切线的定义，三角形面积公式，熟记勾股定理，三角形面积公式是解题的关键． 设三边内切于点，连接 ，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设三边内切于点，连接 ， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 4．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 【答案】A 【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算出∠POA=72°，最后根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及等边对等角即可求出∠B． 【详解】解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=18°， ∴∠POA=90°-18°=72°， ∵∠POA =∠OCB+∠B，OC=OB， ∴∠B=∠OCB==36°， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于、、相切于点、、， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 8．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 【答案】6（或其他值） 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 12．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 【答案】②③④① 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可． 【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②， 第二步：画出圆的一条直径，即画图③； 第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①， 故答案为：②③④①． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键． 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（2024·河南周口·三模）如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，三角形内切圆的相关知识，设圆O与切于点E，连接，由已知条件可知平分，平分，求出，根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：设圆O与切于点E，连接，    ∵半径为2的圆O与的各边均相切， ∴平分，平分， 则 ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 15．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ． 【答案】 【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案． 【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图： ∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴∠C＝90° ∵⊙I为△ABC的内切圆， ∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID， ∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x， 则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x， ∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x， 由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x， 而AH+BH＝10， ∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2， ∴AH＝6，IH＝2， ∴IA＝＝2， ∴点A到圆上的最近距离为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长 ， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． 【答案】 / 【分析】（1）由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为，如图2，作于，于，则四边形是正方形，设正方形的半径为，则，由，可得，即，可求，然后求解作答即可； （2）设图3圆的半径为，，则新拼图形的水平长度为，竖直长度为，所截得的圆的直径最大为或，当时，即时，；当时，即时，；当时，即时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为， 如图2，作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∴， 设正方形的半径为，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆的半径为， ∵， ∴方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ， 故答案为：； （2）解：设图3圆的半径为，， ∴新拼图形的水平长度为，竖直长度为， ∴所截得的圆的直径最大为或， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，所截得的圆的直径最大为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆，切线的性质，正切，一次函数的应用等知识．熟练掌握圆，切线的性质，正切，一次函数的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相交，理由见解析 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 18．（6分）（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用同圆中圆心角与圆周角的关系（同弧所对圆周角是圆心角的一半 ），结合已知来求． （2）要证是切线，需证，即证，通过三角形内角和，结合已知求出，再结合的度数来推导． 本题主要考查了圆的基本性质（圆心角与圆周角关系、切线的判定 ）、解直角三角形（三角函数的应用 ），熟练掌握圆的性质及三角函数在直角三角形中的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是圆心角，是圆周角，且它们所对的弧都是， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵在中，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵是直径， ∴是的切线． 19．（8分）（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了切线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【详解】（1）解：点O如图所示： （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 20．（8分）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 21．（10分）（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定及性质，解直角三角形，扇形面积等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理即可求得，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得，得到，进而即可证明； （2）连接，由圆周角定理知，然后根据与相切得到即为的半径． （3）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接． ∵是的直径， ∴，即． ∵与相切， ∴即为的半径． ∵在，，， ∴， ∴当半径为3时，与相切； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．以为圆心，为半径作半圆，交直线分别于点，（点在的左侧）． （1）当秒时， 的长等于__________，__________秒时，半圆与相切； （2）当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长； （3）若，求扇形的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1），；（2）当点与点重合时，半圆被矩形的对角线所截得的弦长为；（3）或． 【分析】（1）先根据线段的和差求出BP的长，再根据勾股定理即可求出PC的长；先根据圆的性质、勾股定理求出BP的长，再根据线段的和差求出PQ的长，由此即可求出t的值； （2）如图3（见解析），先在中，求出，从而可得，再根据直角三角形的性质求出，然后根据正弦三角函数值求出CF的长，最后根据垂径定理即可得； （3）先依题意分两种情况，再分别根据三角形的外角性质求出的度数，然后根据直角三角形的性质求出PC的长，最后根据扇形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形 当秒时， 若半圆与相切，则点P在线段AB上，且 设，则 在中，，即 解得 故答案为：，； （2）如图3，过点作于 在中， ， 在中， ，即 由垂径定理可得： 故当点与点重合时，半圆被矩形的对角线所截得的弦长为； （3）若，分以下两种情况： ①如图4， 在中， 则 ②如图5， 在中， 则 综上，扇形的面积为或． 【点睛】本题考查了三角函数值、直角三角形的性质、垂径定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 24．（12分）（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【答案】发现：相切；探究：（1）；（2）；拓展：． 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，求弧长，熟练掌握相关知识是解题的关键． 发现：由折叠的性质可得，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明，据此根据切线的判定定理可得结论； 探究：（1）取中点O，连接，则点O为圆心，求出，由圆周角定理得到．由折叠的性质可得，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，则．据此根据弧长公式求解即可； （2）连接，如图所示，则，进而可得，由勾股定理得到．解直角三角形即可求出． 拓展：如图，作于点H．则，解直角三角形可得，，进而可求出，同理可证明四边形是矩形，则，进而可求出，则，即可得到． 【详解】解：发现：由折叠的性质可得， ∴一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴与圆相切； 探究：（1）如图，取中点O，连接，则点O为圆心， 是切线， ，即， ， ∴ ∴． 由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴． 的长为：． （2）连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ， ∴． ，即． ． 拓展：如图，作于点H．则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $