第一章 数列单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册第一章《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 3．已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 5．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 6．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 7．已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 8．已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 10．设等差数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A． B．不是等差数列 C． D．数列的前n项和是 11．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 13．在数列中，，，则 . 14．在数列中，，，则数列的前10项和为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； 16．（15分）设数列的前n项和为，已知． (1)求的值和数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，求证：． 17．（15分）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 18．（17分）已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 19．（17分）设数列的前项之积为，已知. (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册第一章《数列》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知等差数列{a}满足4+4+a,+41=36,则4，=() A.7 B.8 C.9 D.10 2.记Sn为等比数列{a}的前n项和，若S=-3,S。=7S2,则S=() A.85 B.15 C.-85 D.-15 3.已知正项等差数列{an}的公差为d,若4+a=a。+3a,则 d=() A.1 B.2 C.3 D. 4。已知数列a的通项公式为“5，前”项和为9，则下列结论错误的是（) A.{a}的最小项是4，=-5，最大项是4=6 B.当n=7时，Sn最小 C.VneN',a <a D.neN',d<dn 5.数列{a}的通项公式为a=n(n+1),b}满足：b,=a 则数列b}的最大项是第()项. A.6 B.7 C.8 D.9 6.设数列{a}的前n项和为Sn,若a=n+8,a4s=10,则Sg=() A.110 B.130 C.290 D.190 7.己知数列{a}:1,1,2,3,满足4，+a+1=4+2,则21是该数列的第（)项 A.7 B.8 C.9 D.10 8已知等比数列a}的前”项和为8，者受-器则公比=（) A.3 B.2 C. D.+2 Γ2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是() A.若数列{a}为等差数列，且42=3，a。=5,则S,=28 B.若数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=+1,则{a}是等差数列. C.若数列{a}为等比数列，S为前n项和，S,=2,S,=6,则S。=l4 D.若数列a,}为等比数列，且a>1,aa-1>0,8-0,则g>1 46-1 10.设等差数列{a.}满足42=5，as+a=30,则下列说法正确的是() A.a =2n+1 B.{a}不是等差数列 c.1） 11 a-14nn+1 D.数列d一i 的前n项和是4n+ 11.己知公差为d的等差数列{a}，S,为其前n项和，下列说法正确的是() A.若S15=60,则4+43=8 B.若a=4,4,a,43成等比数列，则d=1 C.若4+ao>0,S1<0,数列{Sn}中最小的项为S6 D.若a=8,a=-1,则a+a+…+a=32 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） .S n+1 2.设等差数列a,物的前n项和分别为S,工，者72+4则6一 13.在数列{a}中，4=0,4+1=2a。-3”-n2+2+1,则an=_ 14.在数列{a}中，4=-10，a+1=a+2,则数列a}的前10项和为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知等差数列{an}的公差d≠0，且4=5,4，a2,a成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (②)设6，=心+n-2求数列私，}前”项和为8： 16.（15分)设数列a}的前n项和为S,已知a=1,28=m}0a+0m+2,neN. (1)求a,4的值和数列{a}的通项公式： 2n+1 (2)数列 的前n项和为T,求证：T,<1. aa) 17.(15分)记Sn为数列{a}的前n项和，已知a2=-2,2Sn=n(a,-4) (1)求a; (2)求数列{a}的通项公式； 3)求数列{(2+1)a}的前n项和. 18.(17分)己知等差数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn,满足a,4=63,Sg=64. (1)求{a}的通项公式a; @若数列C}满足C,=(←14”，求C}的前n项和工. aa 19.(17分)设数列{a}的前n项之积为I.,已知4=1，aH=2+ T (1)求2,43； (2)证明T+1}是等比数列，并求{a}的通项公式： ③)设c,=1-名，数列6，}的前n项和为S,证明：S<2 1 aa+1 湘教版高中数学选择性必修第一册第一章《数列》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，分析计算，即可得答案 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得，故选：C. 2．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列，设，则成等比数列，即， 解得或，若，则，，设的公比为，则，舍去； 若，则，，，则，满足要求， 由于成等比数列，故成等比数列，故，解得，故选：D 3．已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式列方程，即可得解. 【详解】由已知数列为等差数列，且，即，化简可得， 即，故选：B. 4．已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误；由，，所以，故D正确.故选：C. 5．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得，所以，又，所以， 即数列的最大项是第项.故选：A. 6．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【分析】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，则，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则.故选：C 7．已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】可根据已知的递推公式，结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数值为21的项，从而确定其项数. 【详解】;;; ;;;故可知21为数列的第8项，故选：. 8．已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】由题知，所以.故选：C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 10．设等差数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A． B．不是等差数列 C． D．数列的前n项和是 【答案】ACD 【分析】先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列是等差数列；选项C，由裂项可得；选项D，在C的基础上，可求得. 【详解】选项A：等差数列满足，，设公差为. 由,则，解得,则.故选项A正确. 选项B：又，则，且. 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故选项B错误. 选项C：由，得，故选项C正确. 选项D：根据选项的结果，设数列的前项和为. 则，故选项D正确.故选：ACD. 11．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列性质判断A，利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B，利用等差数列前项和的性质判断C，逐步求出等差数列的前项，再求和判断D即可. 【详解】对于A，由等差数列性质得， 解得，故A正确；对于B，因为，，成等比数列，所以， 可得， 解得或，故B错误； 对于C，由等差数列性质得，， 则，所以数列中最小的项为，故C正确；对于D，因为为等差数列，且，， 所以，，则.则 ，故D错误.故选：AC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．设等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】由题意可设，，，再结合与的关系求解即可. 【详解】由题意，可设，，， 则，，所以.故答案为：. 13．在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.所以. 故答案为：. 14．在数列中，，，则数列的前10项和为 . 【答案】50 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可. 【详解】由，得． 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．则． 数列的前项和．当时，，当时，， 则数列的前10项和为 .故答案为：50. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解； （2）利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，且，解得，所以； （2）， 所以. 16．（15分）设数列的前n项和为，已知． (1)求的值和数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； ， (2)证明见解析 【分析】（1）由递推关系求出，再给出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而写出数列的通项公式； （2），由裂项相消法求出前n项和为，即可求证． 【详解】（1）数列中，， 当时，，而，则； 当时，，所以．， 当时，，两式相减，得， 即，整理，得．又因为， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即． （2）因为，所以 17．（15分）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可； （2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可； （3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，当时，，解得. （2）由可得， 两式相减得，即. 当时，，即， 由递推关系得，则。 且满足上式，故数列的通项公式为. （3）由（2）得，设，则， 可得，， 两式相减得， 故. 18．（17分）已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，结合等差数列的性质构成方程组解出，求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，然后求和即可. 【详解】（1）∵等差数列为递增数列，∴， ∵，即，∴，∴， 联立，解得，∴， ∴． （2）由（1）可得，∴， ∴数列的前n项和 . 19．（17分）设数列的前项之积为，已知. (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意代入计算即可求解； （2）由题意可得，代入可得，化简即可证明是等比数列，计算可得的通项公式； （3）由（2）可得，利用放缩法可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）已知， 当时，， 当时，， 所以； （2）因为数列的前项之积为， 所以，代入可得， 变形可得， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，不满足上式， 所以； （3）由（2）可知， 因为， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册第一章《数列》单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知等差数列{an}满足4+4+a,+41=36，则4=() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】c 【分析】根据等差中项的性质，分析计算，即可得答案 【详解】由等差中项的性质可得4+41=4，+a=2a。,故4a。=36,解得a。=9,故选：C 2.记S为等比数列{a}的前n项和，若S=-3,S。=7S2,则S。=() A.85 B.15 C.-85 D.-15 【答案】D 【分析】根据8S-S,心，-S成等比数列得到方程，求出8或-1，分两种情况进行求解，合去不符合 要求的根，得到答案 【详解】由题意得S2,S4-S2,S。-S4成等比数列，设S2=x,则x,-3-x,7x+3成等比数列，即(3-x)=(7x+3)x, 解得或1，若x则8=子及-心=3多号设和的公比为1，期9-983，合去： 若x=-1,则3=-1,8-3=-3+1=-2,3=73=-7，则q=S、3=2,满足要求， S、 由于S4-S2,S6-S4,S。-S6成等比数列，故-2，-4，S+7成等比数列，故(4)=-2(S+7),解得S=-15,故选：D 3.已知正项等差数列{a}的公差为d,若a+4=a+3a,则 d=() A.1 B.2 C.3 D. 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式列方程，即可得解 【详解】由已知数列{an}为等差数列，且a+a=a。+3a,即2a+6d=4a+5d,化简可得2a1=d, d=2,故选：B 即 a 4.已知数列{a,}的通项公式为a. 2-15'前n项和为S,则下列结论错误的是（) n-2 A.{a}的最小项是4，=-5，最大项是4=6 B.当n=7时，Sn最小 C.VneN,a<a D.3n∈N,a,<a+ 【答案】C 1 11 【分析】由题意得a立十22n-15,进而得a的单调性，即可判断A,当1≤n≤7时，a,<0,即可判断B, 由4=6a=7即可判断C,由a=-5,4=6即可判断D 【详解】由思意有a2-152+2/2115, 所以a.在1≤n≤7，n≥8单调递减数列，当1≤n≤7时，a,≤4= 3,当n≥8时，0<a≤a,=6, 又4，=-5，所以{a}的最小项是4，=-5，最大项是4=6，故A正确： 4>0,4=0,当3≤n≤7时，4<0，所以当n=7时，Sn最小，故B正确： 所以4>4，故C错误；由4=5,4三6，所以4<4，量 5.数列{a}的通项公式为a。=n+1),b}满足：b.=a P 则数列b}的最大项是第()项， 11 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A b2b1求解 【分析】设数列他，}的最大项为血，由6，≥b, 【详解】设数列{b}的最大项为b.则 b2b1,即 b.≥bnH 8 ≥+10+2 8)1 8 19 (n+1)≥n-1 1< 19 化简得 11 解得 6 所以6 ≤n≤ 3 :又neN*,所以n=6, 1n2 (n+2) n≥ 11 即数列{b}的最大项是第6项故选：A 6.设数列{a}的前n项和为Sn,若an=n+8,as=10,则S2g=() A.110 B.130 C.290 D.190 【答案】C 【分析】由题意求出入，进而求出an并判断数列{a,}是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为a,=1+8as=10,所以151+8=10，即1= 15 所以4忌08，测4合8侣。Q:8=后所以爱别私}是以号为首流后为公差的等整致列 15 则S29 29(4+4）-294,=290.故选：C 2 7.已知数列{a}:1,1,2,3,…满足a。+a+1=42,则21是该数列的第（)项 A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【分析】可根据已知的递推公式a。+a1=a2,结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数 值为21的项，从而确定其项数 【详解】4=1,4=1,4=4+4=1+1=2；a4=42+4=1+2=3;4=4+4=2+3=5; a=a4+4=3+5=8;4=4+a=5+8=13;4=a6+4=8+13=21;故可知21为数列{an}的第8项，故选：B 8。已知学比数到红}的前口项和为8，苦受-得则公比9=() A.贵 B.2 D.±2 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. a1-4) 【详解1由题蜘g1,所以受-21g分9=号故速：c Sa1-4) 64 1-q 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是() A.若数列{an}为等差数列，且4=3,4。=5，则S,=28 B.若数列{a}的前n项和为Sn,且S。=n2+1,则{a}是等差数列. C.若数列{a}为等比数列，Sn为前n项和，S,=2,S4=6,则S。=14 。若数列a为等比数列，且a>a4-1>0,子0，则9>】 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A:先求出a=2,再当n≥2时求出4.=21-1，判断当n=1 时有a.=1≠a4,判断B;根据等比数列的性质计算求值判断C由题意得q>0,a,>0可判断D. 【时聊1对于A由8，=7-+a上子53.正确 7 2 对于B,数列{a}的前n项和Sn=n2+1,当n=1时，4=S=1+1=2, 当n≥2时，a.=Sn-Sn-1=(m2+1)-(n-1)2+1=2n-1, 当n=1时，4，=1≠4，错误： 对于C,因为数列{a}是等比数列，所以S2,S,-S2,S。-S,成等比数列， 因为S2=2,S4=6,所以S4-S2=4,所以S。-S=2×4=8, 所以S。=6+8=14,正确： 对于D,由4>1，a,4=aq>1,则q>0,所以an>0, 若q21时，由4>1，可得a>1,a。>1, 所以>0，与已知条件矛盾，所以0<g<1,错误 4。-1 故选：AC 10.设等差数列{a}满足4=5，a+a=30,则下列说法正确的是() A.a=2n+1 B.{a}不是等差数列 c. 1=11 1 a2-14nn+1 D.数列 d-1 的前n项和是4n+ 【答案】ACD 【分析】先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列{am-}是 1 1 等差数列：选项C,由a一4n+0裂项可得；选项D,在C的基础上，可求得 【详解】选项A:等差数列{a}满足4，=5，a6+a=30,设公差为d, 由4g=红=2血+6=0则冬5解得4-3d-2.期a=3m-少21收选项A正雅 选项B:又aa1=2(21-1)+1=4-1，则aa-1-a2-1=4(n+1)-1-(4n-1)=4,且444=4=3. 故数列{a-}是以3为首项，4为公差的等差数列，故选项B错误， 1 1 选项c:由a,=2n+l,得a2n+少2n2n+24ntm+D 11 4nn+1 故选项C正确， 选项D:根据选项C的结果，设数列一 1 的前n项和为Tn 11.已知公差为d的等差数列{an},Sn为其前n项和，下列说法正确的是() A.若S1s=60,则4+4，=8 B.若a,=4,a1,a,43成等比数列，则d=1 C.若a+ao>0,S,<0,数列{Sn}中最小的项为S6 D.若4=8,4=-1，则4+4+…+a=32 【答案】AC 【分析】利用等差数列性质判断A,利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B,利用等差数列 前项和的性质判断C,逐步求出等差数列的前8项，再求和判断D即可 【详解】对于A,由等差数列性质得S:-15(a,+a_15色+a）-60, 2 2 解得a+43=8,故A正确：对于B,因为a1,a,43成等比数列，所以a=443, 可得(4+4d)=4.(4+12d,解得d=1或d=0,故B错误： 对于C由等差数列性质得a+a。=a,+a,>0,S,=1a+a-1la,<0, 2 则a,>0,所以数列{Sn}中最小的项为S。,故C正确；对于D,因为{a}为等差数列，且4=8，a,=-1, 所以3d=-9,d=-3,则a.=8-3(n-1)=-3n+11.则4+a2++4=8+5+2+1+4+7+10+13=50,故 D错误故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.设等差数列{an},b}的前n项和分别为Sn,.,若 S=n+1 T 2n+4' 则 【答案1 【分析】由题意可设Sn=k(n+1),T=(21+4),k≠0，再结合Sn与an的关系求解即可. 【详解】由题意，可设Sn=(n+1),T=(2+4),k≠0， =18k3 则4=S-S=90k-72k=18k,6。=7。-了=240k-198k=42k,所以云427故答案为： 3 13.在数列{a}中，a=0,41=2a-3°-n+2n+1,则a.= 【答案】2”-3”+2 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列{a}的通项公式. 【详解】由a1=2a,-3”-2+2n+1,得an1+3-(n+1)=2(an+3”-n2) 由4=0，得4+3-1=2，则a+3-r≠0，所以+3m+1=2 a+3"-n2 所以数列{a+3”-n2}是首项为2，公比为2的等比数列.所以a,+3”-=2×2-1=2”所以4.=2”-3+n2 故答案为：2”-3”+n2 14.在数列{a}中，4=-10，a+1=a,+2,则数列{a}的前10项和为 【答案】50 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可. 【详解】由an1=a+2,得a1-an=2. 所以数列{a}是以-10为首项，2为公差的等差数列.则a,=-10+(01-1)×2=21-12. 数列{a,的前n项和S.=-10+2-12)=0m-1n.当n≤6时，a≤0，当≥7时，a>0, 则数列{a}的前10项和为a+4++a+a+a+a,+l4o=-(4+42++45)+4+4+4,+4o =S。-2S。=(10-11)×10-2×(6-11)×6=50.故答案为：50. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知等差数列{a}的公差d≠0，且a=5,4,a:a成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)设b。= G+4n-2求数列物.}前n项和为S: 【答案】(1)an=2n-1 22n+1 【分析】(1)根据等差数列通项公式列方程组，即可求解： (2)利用裂项相消法，即可求解 「a+2d=5 【详解】(1)由条件可知 且d≠0，解得 a=1 (a+d)2=a(a+4d) d=2所以a=1+(n-1)x2=2m-1: 11(1 1 (2)b, a+4n-24n2-122n-12n+1 2n+1 16.（15分)设数列a}的前n项和为3，已知4=12S=m0+10n+2,neN。 (1)求a,4的值和数列{a}的通项公式； 2n+1 (2)数列 的前n项和为T,求证：Tn<1. aa 【答案】(1)42=4； 43=9,a=n2 (2)证明见解析 【分析】(1)由递推关系求出a2,a,再给出数列 a 是以首项为1，公差为1的等差数列，进而写出数列{a} n 的通项公式： 2n+12n+111 (2) a.a,1+少元n+),由裂项相消法求出前n项和为？，即可求证. 1 【详解】(1)数列a,}中，25.=a亏u+10+2,neN, 当n=1时，2a=42-2,而a=1,则a2=4: 当n=2时，从=4-4，所以a=S,+4=a+a,+4=9.28,=m40+0+2》neN, 3 当n≥2时，2S1=0-1)a,-0-1)n+ 3 ,两式相减，得2a,=naH-（0n-1a-01+1)。 即m4=0+)a,+0+1),整理，得出-=1.又因为号_-9=1， n+1 n 21 所以数列 是首项为9=1，公差为1的等差数列，所以品=1+1xa-)=n,即a,=n. n aa+京所以文-1空女 2n+12n+111 .11 (2)因为 1-1 ,<1 t(+1)2 (+1 17.(15分)记Sn为数列{a}的前n项和，已知a2=-2,2Sn=(a-4) (1)求a: (2)求数列{a}的通项公式： 3)求数列{《(2”+1)a}的前n项和工。 【答案】(1)41=-4 (2)an=2n-6 (3)T,=(0n-4)×2+2+n0-5)+16 【分析】(1)根据题中递推公式令n=1运算求解即可： (2)根据，与a,之间的关系整理可得当≥2时，a+4-0+4 ，结合常数列分析求解即可： n-1 (3)设bn=2”a,可得(2”+1)a。=b。+a.,利用分组求和法结合错位相减法运算求解 【详解】(1)因为2Sn=n(a-4,当n=1时，2a=a-4,解得a=-4 (2)由2S.=a-4n可得2S+1=(n+1)an+1-4(n+1), 两式相减得2a1=(n+1)an1-na,-4，即(n-1)a1=na.+4. 当n≥2时， ”nMn-可nn元即2,44 ,44 n n-1 由递推关系得+4 =4+4=2,则a=2-6。 n-1 且a=4满足上式，故数列{an}的通项公式为an=2n-6. （3)由(2)得s,=号a-40=m-列，设a=2a=2m-6p=a-3p,则(2+1a-6+a, 可得∑b=-2×22-1×2+0×2++(01-3)×2*1, 2∑b=-2×23-1×24+0×2++(02-4)×2m+(0n-3)×2me, 两式相减得空6=01-3列x2”-(亿++2+8=m-》×2-2×2-2 48=(n-4)x2+2+16, 1=1 1-2 故T=S.+∑b=1-4x22+n01-5)+16. =1 18.(17分)已知等差数列{a}为递增数列，其前n项和为Sn,满足a,4=63,S。=64 (1)求{a}的通项公式4.： ②若数列c}满足C,=(←1)加，求C}的前n项和7. aa 【答案】（①）a。=21-1 2)7,=1+0少 2n+1 【分析】(1)由条件，结合等差数列的性质构成方程组解出a,4,求出公差和首项，然后可得a: (2)由裂项可得c,=(-少（十，然后求和即可 2n-12n+1 【详解】(1)，等差数列{an}为递增数列，.a<a, :8=64,即8a+a2=64,4+a=16,a+a=4+a4=16, 联立/a+a=16 aa,=63,解得4=7，a=9,d=a-&=24=a-3d=7-6=l, .a.=a+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)可得a=21-1,÷c,=(1)1机=（←D a,a+H 2m-12n+D(10'(3 4n 2-12n+ ∴.数列{cn}的前n项和Tn=C+c2+c3+L+cn =n*学-3（传(）片3*4)t材 a9写9+9日*(1 1+1 2n+1 19.（17分)设数列a,}的前n项之积为，已知4=1aa=2+ 1 (1)求42,4： (2)证明T,+1}是等比数列，并求{a}的通项公式： 倒设c,=1-,数列c,}的前n项和为8，证明：S< 1 a 【答案】(0①4，=3，a,=3 7 [1,n=1 (2)证明见解析，a。=了2“-1 (27n≥2 (3)证明见解析. 【分析】(1)由题意代入计算即可求解： (2)由题意可得a+1= 会，代入可得7a=立+1，化简即可证明亿+号是等比数列，计第可得a}的通项 公式： 2” 2 (3)由(2)可得C 111 (21-12， 利用放缩法可得2-22-12， 根据裂项相消法计算即可 得证 【i详解】(1)已知4=1a1=2+ T 1 1 当n=1时，42=2+元=2+上=3， =2+17 1 当n=2时，4=2+ 9423 7 所以a,=3,4=3 (2)因为数列{a}的前n项之积为T., 所以a+1= =2+ 盘，代入可得 +7→712Z+1, 变形可得T+1=2(Tn+1), 因为T+1=4+1=2, 所以数列T,+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以T+1=2”,即Tn=2-1, 当2所&是号司 当n=1时，4=1不满足上式， [1,n=1 所以4=2”-1 20-1-1 n≥2 o由a之1多十公 (21-1) (21-1, 因为(2-1)=(21-1)(2-1)>(21-2)(21-1)， gma可8可产 2 所以866*6+号品+20