第1章 数列（复习课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第一章数列 湘教版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式（推导与应用）及核心性质（中项、下标和）.牢固掌握等差、等比数列的求和公式的推导及应用. 3. 等差数列、等比数列与函数的关系及其单调性判断，数列中的参数问题、数列新定义问题. 2. 数列通项公式的构造及其证明、求解通项公式、数列求和 . 单元学习目标 单元知识图谱 （一）数列的相关概念 （二）数列的通项与通项公式 （1）数列：按照一定次序排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（首项），第2项…… （3）项数：组成数列的项的个数称为数列的项数 （1）通项：数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的通项，一般将整个数列简记为． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 考点串讲 （三）数列的分类 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列；若满足，则是常数列． 考点串讲 （四）最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值． ②利用求数列中的最大项；利用求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增恒成立；数列递减恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 考点串讲 （五）数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 考点串讲 （六）数列的递推关系 （七）累加法求通项公式 （八）累乘法求通项公式 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（递推公式或递归公式）． 若数列满足，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 若数列满足，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 考点串讲 （九）等差数列的定义 （十）等差数列通项公式的变形及推广 一般地，如果数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即恒成立，则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的公差. （1）， （2） （3），且. 考点串讲 （十一）等差中项 （十二）等差数列的下标性质 若a，A，b成等差数列，则是a与b的等差中项，且有/或，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 在等差数列中，若，则/．特别地，若，则有． 考点串讲 （十三）等差数列构造新等差数列的性质 数列 结论 公差为的等差数列为任一常数） 公差为的等差数列（为任一常数） 公差为的等差数列为常数， 公差为的等差数列为常数） （1）若an，bn分别是公差为d,d'的等差数列，则有 （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 考点串讲 （十四）等差数列通项公式与函数关系 （十五）等差数列的前n项和公式 考点串讲 （十六）等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和.若等差数列的项数为2n（n∈N*），则，（S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为（）. ⑤ 考点串讲 （十七）等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有最大值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有最小值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 考点串讲 （十八）证明数列为等差数列的方法 （十九）等比数列的定义 一般地，如果数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即恒成立，则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的公比. （1）（c为常数），则为等差数列； （2）通项公式：（一次函数），前n项和：（无常数项的二次函数）； （3）若 2B=A+C，则 A，B，C 三个数成等差数列. 考点串讲 （二十）等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广：或 考点串讲 （二十一）等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数. 考点串讲 （二十二）等比数列“下标和”性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 考点串讲 （二十三）等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是q，，． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是等比数列． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 考点串讲 （二十四）等比数列的单调性 （二十五）等比数列的前n项和公式 等比数列的首项为，公比为 （1）当或时，数列为递增数列； （2）当或时，数列为递减数列； （3）当时，数列为常数列： （4）当时，数列为摆动数列. 考点串讲 （二十六）等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的指数型函数 (2)当公比时，因为，所以是的正比例函数. 温馨提醒：当，所以的结构形式. 考点串讲 （二十七）等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则0； （2）当时，，，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则/； （4）若是公比为q的等比数列，则（）． 考点串讲 （二十八）证明数列为等比数列的方法 （二十九）倒序相加法求和 （三十）分组转化法求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 一个数列的通项公式是若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 考点串讲 （三十一）裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 考点串讲 （三十二）错位相减法求和 （三十三）万能公式法求和 （三十四）奇偶并项法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 考点串讲 题型一、数列的概念及辨析 【例1】 已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 题型剖析 27 题型二、观察法求数列的通项公式 【例2】 数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所给数列可以写出， 故. 故选：D 题型剖析 28 【变式2-1】 数列{an}：1，，，，…，的一个通项公式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意． 故选：D 针对训练 【变式2-2】 公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C 针对训练 题型三、数列周期性的应用 【例3】 对于数列，若，且，则（） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】B 【详解】因，， 则，，， ，，……， 所以以此类推，对即数列是周期为4的数列， 故. 故选：B. 题型剖析 【变式3-1】 已知数列满足，，则（） 【答案】C 【详解】由题设，，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：C 针对训练 【变式3-2】 已知数列满足，记，则（） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【详解】，，， ，……， 故的一个周期为3，且， 故. 故选：C. 针对训练 题型四、数列单调性的应用 【例4】 已知数列满足，若，则为（） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以，且， 所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，则 所以数列为递减数列. 故选：D 题型剖析 【变式4-1】 设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当“为递增数列”，则“，使得”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的必要条件； 当，则，使得，但是“不为递增数列”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的不充分条件； 故选：B. 针对训练 【变式4-2】 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 针对训练 【变式4-2】 【答案】D 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以， 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若，，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D. 针对训练 【变式4-3】 已知是公比为的等比数列，且其前n项和满足对任意恒成立，则给出的下列结论中不正确的是（） A．是递增数列 B．时，是递增数列 C．是递减数列 D．时，是递减数列 【答案】C 【详解】依题意可知，移项整理得对恒成立． 当时，不满足题意，舍去；当时，得恒成立， 所以或，所以为递增数列，故A正确C错误； 当时，由上面结论可知，所以，故是递增数列，故B正确； 当时，由上述结论可知，所以，故是递减数列，故D正确. 故选：C． 针对训练 题型五、用an与Sn的关系求通项或项 【例5】 已知数列中，前n项和，求的通项公式为. 【答案】 【详解】①，当时，， 当时，， 显然不满足， 综上，. 故答案为： 题型剖析 【变式5-1】 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】 当时，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为． 故答案为：. 针对训练 【变式5-2】 已知数列满足，则数列的通项公式为. 【答案】 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 针对训练 【变式5-3】 记等差数列的前项和为，且，则 【答案】 【详解】由代入已知可得：， 可得是公差为2的等差数列，因为，所以， 即， 所以， 故答案为：. 针对训练 题型六、累加法求数列通项公式 【例6】 已知数列中，，，则． 【答案】 【详解】由已知得， 再由累加法得：． 故答案为： 题型剖析 【变式6-1】 已知数列满足，，则的通项公式为． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以， 故答案为：． 针对训练 【变式6-2】 已知数列满足，，则． 【答案】 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由两边同时除以，得， 则，，，， 上面的式子相加可得：， 所以， 故答案为：. 针对训练 题型七、累乘法求数列通项公式 【例7】 已知数列中，，则. 【答案】 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 题型剖析 【变式7-1】 数列中，若,，则. 【答案】 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 针对训练 【变式7-2】 已知是数列的前项和，，，则. 【答案】 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 针对训练 题型八、递推数列构造等差数列 【例8】 已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 题型剖析 【变式8-1】 已知数列中，. (1)求； (2)证明：为等差数列； (3)求的前项和. 【详解】（1）因为，. 所以，即， 所以即. （2）证明：因为， 所以， 又， 所以数列为首项为，公差为2的等差数列. （3）由（2）得 所以， 则， 所以， 所以 ， 所以. 针对训练 【变式8-2】 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. (1)求的值； (2)证明：数列为等差数列； (3)记，求数列的前n项和为. 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 当时，，即，所以， 因为成等比数列，所以， 当时，，即，所以 （2）由条件可得，且，又， 故，代入中，得时， 有，即， 所以数列为等差数列 针对训练 【变式8-2】 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. (1)求的值； (2)证明：数列为等差数列； (3)记，求数列的前n项和为. （3）由（1）（2）知数列为等差数列且， 所以数列是首项为2，公差1为的等差数列， 得，即， 故，即， 所以时，，且也符合上式，故， 则， 数列的前n项和为， 针对训练 题型九、递推数列构造等比数列 【例9】 已知数列中，，且. (1)求，并证明是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【详解】（1）由，， 得， ，， ∴， 是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（1）知. 题型剖析 【变式9-1】 已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 针对训练 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 针对训练 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 针对训练 【变式9-2】 在数列中，已知，． (1)求，； (2)证明：是等比数列； (3)求数列的前n项和． 【详解】（1）由题意知，∴． ∵，∴． （2）由，整理得， 又，∴是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）可知，∴， ∴ ． 针对训练 题型十、等差数列的性质 【例10】 已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 题型剖析 【变式10-1】 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】等差数列2，6，10，…，190，公差为， 等差数列2，8，14，…，200，公差为， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为，首项为， 所以通项为， 所以，解得， 而，所以的最大值为， 即新数列的项数为. 故选：B. 针对训练 【变式10-2】 将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 【答案】 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 针对训练 题型十一、等差数列前n项和的性质 【例11】 已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 题型剖析 【变式11-1】 设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 针对训练 【变式11-2】 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 针对训练 题型十二、等差数列通项公式与前n项和的最值 【例12】 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 题型剖析 【变式12-1】 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 针对训练 【变式12-2】 记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【详解】由已知可得， 的公差为，故， 故， 令，又，所以，故n的最大值为41， 验证，， 所以n的最大值为41. 故选：B. 针对训练 【变式12-3】 记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 针对训练 题型十三、等差数列中的数学文化 【例13】 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了 尺布.” 【答案】11 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 题型剖析 【变式13-1】 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 针对训练 【变式13-2】 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）       A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 针对训练 题型十四、等差数列奇偶项的和 【例14】 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 题型剖析 【变式14-1】 若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 针对训练 【变式14-2】 等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 针对训练 题型十五、含等差等比混考的中项应用 【例15】 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 题型剖析 【变式15-1】 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设首项为，公差为，由已知得， 因为，所以， 化简得，因为成等比数列，所以， 故，解得或(舍去)， 故，且设前项和为， 则，得到，故A正确. 故选：A 针对训练 题型十六、等比数列的性质 【例16-1】 【例16-2】 设是等比数列，，，则 ． 【答案】16 【详解】因为是等比数列， 所以， 又，所以.故答案为：16. 已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为 . 【答案】162 【详解】由已知得， 又是等比数列，且， 则，即， 所以，即.故答案为：162. 题型剖析 【变式16-1】 已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：，所以， 又 故选：B. 针对训练 【变式16-2】 已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 = A． B．7 C．6 D． 针对训练 题型十七、等比数列前n项和的性质 【例17】 正项等比数列前项和为，，则（    ） A．144 B． C．162 D．240 【答案】D 【详解】由题意可知成等比数列，设其公比为， 则，即，整理可得， 分解因式可得，解得或（舍去）， 由，则，解得. 故选：D. 题型剖析 【变式17-1】 已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又，所以.故选：D 针对训练 【变式17-2】 等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 针对训练 81 题型十八、等比数列的函数特性与最值 【例18】 设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型剖析 【例18】 【答案】C 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件，故选：C 题型剖析 【变式18-1】 设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 针对训练 84 【变式18-2】 已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 针对训练 【变式18-3】 已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确；故选：D． 针对训练 题型十九、等比数列中的数学文化 【例19】 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ）． A．80 B．96 C．100 D．112 【答案】B 【详解】依题意，有，， 时，不是正整数； 时，； 时，，不是正整数.所以，，.故选：B 题型剖析 【变式19-1】 “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设第n个单音的频率为， 则由题意知数列是等比数列，且公比为，， 所以第十二个单音的频率为. 故选：D 针对训练 【变式19-2】 杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（    ） A．62 B．61 C．31 D．30 【答案】A 【详解】根据题意，取每边的中点构成， 则的各边均为对应的中位线，长度减半，由此， 依次类推可得，所以是首项为，公比的等比数列， 故其前项和，解得，即的边长.故选：A. 针对训练 【变式19-3】 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1轮影响后，国内消费总额为， 2轮影响后，国内消费总额为，……， 30轮影响后，国内消费总额为. 故选：D 针对训练 题型二十、公式法直接求和 【例20】 已知数列，其前项和为，，． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 所以，，即， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，. （2）因为，则且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 题型剖析 【变式20-1】 已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)或13， 【详解】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 针对训练 【变式20-2】 已知等比数列的前项和为，，且，公比． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得，，解得（舍）或， 由得，，解得， 所以． （2）， 所以是以4为首项，为公比的等比数列， 所以． 针对训练 题型二十一、分组转化求和 【例21】 已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得，则. （3）由（2）有 . 题型剖析 【变式21-1】 已知数列为等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在等比数列中，由，，得公比， ，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以. 针对训练 【变式21-2】 已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 【详解】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为 依题意可得的公比为，的公比为， 所以，， 则，故为定值. （2）由， 故. 针对训练 题型二十二、裂项相消求和 【例22】 已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【详解】（1）因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②-①得，即， 所以，即， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以，即． 题型剖析 【变式22-1】 已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，，成等比数列，所以， 即，所以， 联立解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以. 针对训练 【变式22-2】 已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得 ，证毕. 针对训练 题型二十三、错位相减求和 【例23】 已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）由数列的前项和为，可知， ， 经检验当时，也满足上式，所以． 在等差数列中，因为，， 所以，解得， 所以． 题型剖析 题型二十三、错位相减求和 【例23】 （2）由（1）知，， 所以． 则， 两式相减，得 化简得：． 题型剖析 【变式23-1】 已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【详解】（1）时，， 时， 时符合上式，∴． ∴，∴，∴，∴或． 针对训练 【变式23-1】 （2），设，设其前项和为，则 ，① ，② ①②得 ， ∴， 时，， 时，， 综上． 针对训练 【变式23-2】 已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）依题意，，解得，所以． 当时，， 当时，，满足上式，综上所述，． （2）依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ， 则． 针对训练 题型二十四、奇偶并项求和 【例24】 若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 题型剖析 题型二十四、奇偶并项求和 【例24】 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ，， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 题型剖析 【变式24-1】 设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 针对训练 【变式24-2】 已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【详解】（1）设数列的公差为，由，则， 即，解得， 所以． 针对训练 【变式24-2】 （2）由可知， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 综上所述，． 针对训练 题型二十五、数列求和之不等式综合 【例25】 已知数列的首项为3，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的都成立，求的范围． 【详解】（1）由，则，又， 所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）由，则，即对均成立， 所以，对任意均成立， 令，由，， 当时，，即， 当时，，即， 所以，，即的取值范围为. 题型剖析 【变式25-1】 已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ， 则当时，；时，.则在时，取最大值，则，因，则不存在正整数m，使得成立. 针对训练 【变式25-2】 设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； (3)设，若，，求m的取值范围． 【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，①则，② ②①得：，即， 可得，又，是等比数列． （2）由（1）知，则． 针对训练 【变式25-2】 （3）由，且，得， 当时，，当时，，， 若，则， 若，则，可得， 因此数列的最大项为， 由，，得， 即，整理得，则，即， 的取值范围是． 针对训练 113 题型二十六、数列新定义 【例26】 若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. (1)分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. (2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. (3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 题型剖析 题型二十六、数列新定义 【例26】 【详解】（1）对于数列 因为 因为存在两个连续三项的和相等，所以数列不具有性质； 对于数列 因为所有连续三项的和互不相等，所以数列具有性质. 题型剖析 题型二十六、数列新定义 【例26】 （2）因为数列的各项均为正整数，所以为了使最小，数列的项应尽可能小，从1开始尝试， 构造数列， ，要求互不相等， 当数列A的项全为1时，，所有连续三项的和为，不满足互不相等； 当数列A的项有5个1时，若有4个或5个1相邻，不满足互不相等，当有3个1相邻时，如， 不满足互不相等； 当数列A的项有4个1时，若有4个1相邻，不满足互不相等， 若有3个1相邻，如或或， 均不满足互不相等； 当数列A的项有3个1时，如或，满足题意； 此时数列的和最小，最小值为. 题型剖析 题型二十六、数列新定义 【例26】 （3）记 ，又因为为互不相等， 即，且所以，。由于要用到，我们先计算 ， 将按从小到大重新排序，不影响的值， 不妨设为， 要使最小，则相邻间的间隔最小，只能为1， 即 所以， 题型剖析 题型二十六、数列新定义 【例26】 那么， （其中取） 所以， ①当时，。 这就是说，当时，的最小值不会为都不满足条件。 ②当时，由（2）的解析知不满足条件，所以不取$4，5，6$ ③当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 题型剖析 题型二十六、数列新定义 【例26】 这时，所以m不取7． 当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 这时，所以m不取8． 同样可算得 当时，； 当时，； 当时，. 所以m不取9，10，11． 综上，满足条件的不存在. 题型剖析 【变式26-1】 已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 针对训练 【变式26-1】 【详解】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 针对训练 【变式26-2】 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 针对训练 【变式26-2】 【详解】（1）由变换的定义可得. （2）数列中连续两项相等的数对至多有19对. 证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项， 在中每一个0在中对应的连续四项为， 因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 在中若出现连续两项的数对最多， 对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对， 所以中至多有19对连续相等的数对. 比如：取，则 . 针对训练 【变式26-2】 （3）设中有个0，1数对， 中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以， 中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到， 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个. 所以，得， 由可得， 所以， 当时， 若为偶数，． 上述各式相加可得， 针对训练 【变式26-2】 经检验，时，也满足． 若为奇数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 所以． 针对训练 本章单元复习题型汇总 题型一、数列的概念及辨析 题型二、观察法求数列的通项公式 题型三、数列周期性的应用 题型四、数列单调性的应用 题型五、用an与Sn的关系求通项或项 题型六、累加法求数列通项公式 题型七、累乘法求数列通项公式 题型八、递推数列构造等差数列 题型九、递推数列构造等比数列 题型十、等差数列的性质 题型十一、等差数列前n项和的性质 题型十二、等差数列通项公式与前n项和的最值 题型十三、等差数列中的数学文化 题型十四、等差数列奇偶项的和 题型十五、含等差等比混考的中项应用 题型十六、等比数列的性质 题型十七、等比数列前n项和的性质 题型十八、等比数列的函数特性与最值 题型十九、等比数列中的数学文化 题型二十、公式法直接求和 题型二十一、分组转化求和 题型二十二、裂项相消求和 题型二十三、错位相减求和 题型二十四、奇偶并项求和 题型二十五、数列求和之不等式综合 题型二十六、数列新定义 课堂总结 感谢聆听! $