专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系（16大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系（16大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识清单3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识清单4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识清单5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识清单7 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识清单8 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识清单10 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识清单11 两圆的公共弦】 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【知识清单12 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 题型1 求圆的方程 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 5．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 6．（24-25高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 10．（24-25高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 题型3 二元二次方程表示圆的条件 11．（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 15．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 题型4 点与圆的位置关系 16．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 19．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 题型5 轨迹问题——圆 21．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 23．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 25．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 题型6 直线与圆的位置关系 26．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 27．（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 28．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 29．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 30．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 题型7 直线与部分圆的相交问题 31．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·广西南宁·期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 35．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 题型8 到直线距离定值的圆上点个数 36．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 39．（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 40．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 题型9 圆的弦长与中点弦问题 41．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 43．（24-25高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 . 45．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 题型10 求圆的切线方程、切线长 46．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 47．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 48．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 50．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 题型11 直线与圆中的面积问题 51．（24-25高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 52．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 53．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 55．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 题型12 直线与圆有关的最值问题 56．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（24-25高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 60．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 题型13 直线与圆的实际应用 61．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 62．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 63．（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    65．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 题型14 圆与圆的位置关系 66．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 67．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 68．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 69．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 70．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 题型15 两圆的公共弦问题 71．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 72．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 73．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 74．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 75．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 题型16 两圆的公切线问题 76．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）圆与圆的公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 77．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 78．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 79．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 80．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系（16大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识清单3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识清单4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识清单5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识清单7 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识清单8 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识清单10 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识清单11 两圆的公共弦】 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【知识清单12 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 题型1 求圆的方程 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【解答过程】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B. 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【解答过程】解：设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆C的标准方程为 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解； （2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解； 【解答过程】（1）解： ， ，又因为CD的中点坐标为 ， 所以线段的垂直平分线的方程为：； （2）法一：由， ， 所以圆的标准方程为：， 法二：由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为. 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 6．（24-25高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可. 【解答过程】由， 所以圆心和半径分别为. 故选：D. 7．（24-25高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【解题思路】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【解答过程】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D. 9．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【解题思路】将一般式转化为标准式即可求解半径. 【解答过程】由可得， 所以半径为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【解答过程】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为. 题型3 二元二次方程表示圆的条件 11．（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【解答过程】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 12．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 13．（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程，由求解. 【解答过程】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B. 14．（24-25高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案. 【解答过程】方程表示一个圆， 则，得. 故答案为：. 15．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【答案】(1)； (2)圆心坐标为，半径为. 【解题思路】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解； （2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径. 【解答过程】（1）由题意，解得：， 所以的取值范围是； （2）圆的标准方程是， 圆心坐标为，半径为. 题型4 点与圆的位置关系 16．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【解答过程】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【解答过程】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系. 【解答过程】由圆，圆心为，半径为2， 因为直线与圆相切， 故，故，所以点在圆内. 故选：C. 19．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为， 又点是圆 外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为：. 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【解答过程】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 题型5 轨迹问题——圆 21．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【解答过程】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 22．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【解题思路】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解. 【解答过程】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D. 23．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 24．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【解题思路】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【解答过程】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【解题思路】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【解答过程】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 题型6 直线与圆的位置关系 26．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 27．（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C. 28．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B. 29．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【解答过程】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A. 30．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，理由见解析 【解题思路】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解； （2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论； 法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论. 【解答过程】（1）由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）法一： 因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二： 圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 题型7 直线与部分圆的相交问题 31．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 32．（24-25高二上·广西南宁·期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】是过定点的直线，曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，画出直线与曲线通过数形结合求得答案. 【解答过程】记曲线， 由题意，， ∴曲线表示以 为圆心，半径为的圆的上半部分， 记直线，即，∴直线过定点. 如图所示： ， 当直线与曲线相切时，. 由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，. 故选：B. 33．（24-25高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【解答过程】 ,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 34．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的范围. 【解答过程】依题意，， 则曲线表示为圆心，1为半径在直线及上方的半圆，如图：    当直线为曲线的切线时，，，解得，令切线为， 当直线过点时，它还过点，且这两点都在曲线上，此时，令此直线为， 当直线在直线与之间（不含，含）平行移动时，它与曲线始终有两个交点， 当直线由向右平移时，该直线与曲线最多一个交点， 所以实数b的取值范围是. 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可 【解答过程】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上半部分的半圆，如图所示： 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，解得. 当直线和曲线相切时，直线和半圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得， 结合图像可知，当时，直线和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 题型8 到直线距离定值的圆上点个数 36．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【解答过程】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C. 37．（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【解答过程】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 38．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以. 故选：A. 39．（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【解答过程】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 40．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得. （2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1，再列式计算得解. 【解答过程】（1）圆：的圆心，半径，， 由直线与相切于点，得. （2）要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1， 而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，由，解得或， 所以直线的方程为或. 题型9 圆的弦长与中点弦问题 41．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解答过程】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 42．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 43．（24-25高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 因为弦长为4，所以圆心到直线的距离， 对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，不符合题意； 故选：B. 44．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 . 【答案】2 【解题思路】先求出圆心的坐标和半径，设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短，利用半径、弦心距和弦的关系可求出弦长. 【解答过程】由，可得圆心，半径， 设，则过点与垂直的直线被圆所截的弦最短， ， 此时弦长为， 故答案为：2. 45．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【解答过程】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 题型10 求圆的切线方程、切线长 46．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【解答过程】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 47．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【解答过程】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 48．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 49．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解题思路】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【解答过程】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或. 50．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 题型11 直线与圆中的面积问题 51．（24-25高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积. 【解答过程】由题意，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则， 由此，. 故选：B. 52．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得，， 所以的面积为. 故选：B. 53．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求 的面积，结合对称性可得结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 54．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知圆，直线与交于两点，则的面积等于 . 【答案】 【解题思路】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解. 【解答过程】的圆心为半径为， 故圆心到直线的距离为， 弦长， 故， 故答案为：. 55．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【解答过程】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立， 所以当时，四边形有最大面积. 题型12 直线与圆有关的最值问题 56．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【解答过程】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 57．（24-25高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 58．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【解答过程】的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 可得⊥， 四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当⊥直线时，最小，最小值为， 此时. 故选：C. 59．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 60．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值，最小值. 【解题思路】（1）法一：利用直线的斜截式方程及两直线平行的条件及点斜式即可求解； 法二：利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解； （2）法一：根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径，结合圆的标准方程即可求解； 法二：利用待定系数法设出圆的方程，再结合点在圆上即可求解； （3）根据圆的性质及点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）法一：由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 法二：依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 （2）法一：由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. 法二：设圆的一般方程为，圆过， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 即. 所以圆的标准方程为. （3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，    所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为； 点到直线的距离最小值为. 题型13 直线与圆的实际应用 61．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 62．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【解答过程】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 63．（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 64．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解答过程】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65. 65．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【解题思路】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【解答过程】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 题型14 圆与圆的位置关系 66．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【解答过程】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 67．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【解题思路】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 68．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解题思路】利用几何法可判断两圆的位置关系. 【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，所以，， 因此，圆与圆相交. 故选：A. 69．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【解答过程】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 70．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用斜率的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程，最后结合勾股定理求解弦长即可. （2）利用圆与圆的位置关系建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】（1）由题意得直线过点，且倾斜角为， 由斜率的几何意义得， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 由勾股定理得. （2）易知圆的圆心坐标为，半径为； 若圆与圆相交，则， 即，解得， 故的取值范围为. 题型15 两圆的公共弦问题 71．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【解答过程】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 72．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A. 73．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两圆方程相减即可求解； 【解答过程】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 74．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【解题思路】将两圆作差即可求解. 【解答过程】：和圆：的圆心和半径分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即， 故答案为：. 75．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【解题思路】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【解答过程】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 题型16 两圆的公切线问题 76．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）圆与圆的公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，故两圆外切， 因此，两圆的公切线条数为. 故选：B. 77．（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【解答过程】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C. 78．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解题思路】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【解答过程】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 79．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据公切线的条数可得两圆的位置关系，即可根据圆心距与半径的关系求解. 【解答过程】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系， 由于，，, 所以,故，解得， 故答案为：. 80．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $