第三章《概率的进一步认识》 讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第三章《概率的进一步认识》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第三章《概率的进一步认识》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “概率的本质” 为起点，按 “直观认知（频率与概率的关系）→核心求法（列表法→树状图法）→性质应用（等可能事件、公平性判断）→实际应用（决策、模拟试验）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦 “基础概念（频率、概率、等可能事件）、关键性质（频率稳定性、概率公式）、两种核心求法（适用场景与步骤）、实际应用模型” 四大模块，通过对比梳理（如列表法与树状图法的适用情况）、重点标注（如放回与不放回试验的区别），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定扎实的理论基础。 一、回归课本 本本章以 “频率的稳定性” 为核心，从实际试验出发，逐步过渡到理论概率的计算，构建概率的认识与应用体系，具体内容分为五个模块： 概率的直观认识：通过重复试验（如掷硬币、摸球）体会频率的稳定性，理解频率与概率的区别与联系，明确概率的定义（表示随机事件发生可能性大小的数值）。 概率的核心求法：探究两种核心计算方法，从简单到复杂逐步推进：列表法（适用于两步随机试验）、树状图法（适用于两步及以上随机试验），掌握每种方法的步骤与适用场景，区分 “放回试验” 与 “不放回试验” 的差异。 概率的关键性质：理解等可能事件的条件（所有结果有限且每个结果发生的可能性相同），掌握等可能事件概率公式；了解互斥事件的概率加法原则（不能同时发生的事件，概率相加）。 概率的实际应用：结合生活实际，运用概率知识判断游戏公平性、制定决策、通过模拟试验估计复杂事件的概率，掌握 “分析事件→选择方法→计算概率→得出结论” 的完整解题流程。 综合拓展：结合统计图表（条形图、扇形图）提取信息，计算概率，提升综合运用能力，为后续学习奠定基础。 二、知识点梳理 （1） 核心概念 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与总次数 n 的比值（即\(\frac{m}{n}\)），叫做事件 A 发生的频率。 概率：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记作 P (A)，取值范围为0 ≤P(A) ≤1（必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0）。 等可能事件：如果一个随机试验中，所有可能出现的结果是有限的，且每个结果出现的可能性相等，这样的事件叫做等可能事件。 互斥事件：不能同时发生的两个事件（如 “掷骰子得到奇数” 与 “掷骰子得到偶数”）。 放回试验：试验中取出的物品后放回原总体，总体数量不变（如连续掷两次硬币、有放回摸球）。 不放回试验：试验中取出的物品不再放回原总体，总体数量减少（如无放回摸球、抽卡片）。 （2） 关键性质 频率的稳定性：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率。 等可能事件概率公式：若一个试验共有 n 个等可能结果，事件 A 包含其中 k 个结果，则\(P(A) =。 互斥事件概率加法：若事件 A 与事件 B 互斥，则P(A或B) = P(A) + P(B）。 对立事件概率：若事件 A 与事件 B 是对立事件（即必有一个发生且不能同时发生），则P(A) + P(B) = 1。 （3） 核心解法 方法 适用情况 核心步骤 频率估计概率 无法直接计算理论概率（如复杂随机事件），需通过试验估计 1. 设计合理试验方案； 2. 重复试验 n 次，记录事件 A 发生的频数 m； 3. 计算频率； 4. 用频率估计事件 A 的概率 列表法 两步随机试验（放回或不放回），结果较少 1. 确定试验的两个步骤（如第一步摸球、第二步摸球）；2. 列表格：横向表示第一步所有结果，纵向表示第二步所有结果； 3.标出表格中所有等可能结果（共 n 个）； 4. 找出事件 A 包含的结果数 k； 5. 代入公式P(A) = 计算 树状图法 两步及以上随机试验（放回或不放回），结果较多 1. 确定试验步骤（如第一步、第二步、第三步）； 2. 按步骤画树状图，每个步骤列出所有可能结果； 3. 数出所有等可能结果总数 n； 4. 找出事件 A 包含的结果数 k； 5. 代入公式\(P(A) = 计算 （四）实际应用 游戏公平性判断：计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平；若不公平，可通过调整规则（如改变得分、修改试验条件）使概率相等。 决策问题：比较不同方案的概率（如中奖概率、成功概率），选择概率更优的方案。 模拟试验：用替代物（如卡片、骰子）模拟实际试验，估计复杂事件的概率（如估计池塘中鱼的数量）。 统计与概率综合：从条形图、扇形图、统计表中提取数据，计算相关事件的概率。 三、考点考题汇编 考点一：频率与概率的关系 核心考向：考查频率的计算、频率稳定性的理解、用频率估计概率，注意 “大量重复试验” 是频率趋近于概率的前提。 典例1（2024·秋· 渠县期末） 在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 变式练习1（2024-25· 云南模拟） 九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A.抛一枚硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率 C.将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率 D.从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰 变式练习2（2025· 云南模拟） 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的__________，__________． （2）“摸到白球”的概率的估计值是_________（精确到）． （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 考点二：用列表法或树状图法求概率 核心考向：考查两步及以上随机试验的概率计算，区分放回与不放回试验，能根据试验步骤选择合适的方法（列表法或树状图法），准确列出所有等可能结果。 典例1（2025· 成都一模） 有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． 随机抽取一张卡片，求抽到数字“”的概率； 随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的数字之积是负数的概率． 变式练习1（2024-2025上· 山东期末） 有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率． 变式练习2（2024-2025上· 漳州期末） 为了解我国的数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《缀术》（依次用表示）四本书中随机抽取两本进行阅读． 请利用画树状图或列 考点三：概率的实际应用（公平性判断） 核心考向：考查游戏公平性的判断，能计算双方获胜的概率，若概率不相等，会修改规则使游戏公平，重点关注 “规则与概率的匹配”。 典例1（2025· 淮阴月考） 华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设张小图片分别用表示） （1）小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； （2）若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 变式练习1（2024秋· 辽阳期末） 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的个白球个红球和个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 变式练习2（2025秋· 福建月考） 小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，个面上的点数分别为，，，，，)的试验， （1）他们共做了次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为”的频率是 . ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 考点四：概率与统计综合 核心考向：结合条形图、扇形图、统计表提取数据，分析事件类型，计算概率，考查数据解读与概率计算的综合能力。 典例1（2024秋· 陕西期末） 年月日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩分 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 说明：七年级抽取的名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为，，，，，，，．根据以上信息，解答下列问题． （1）_______；______； （2）______（填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了名学生，其中有名男生和名女生，若从这名学生中随机选取名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的名学生恰好是名男生的概率． 变式练习1（2023-2024秋· 绵阳月考） 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 变式练习2（2024秋· 达州期末） 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 四、题型汇总 题型 1：频率估计概率 题型解读：考查频率的计算、频率稳定性的理解，以及用频率估计概率的实际应用，关键是明确 “大量重复试验” 的意义，区分频率与概率的概念（频率是试验结果，概率是理论值）。 典例（2025秋· 渠县月考） 下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数 合格数 合格率 （1）______； （2）估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） （3）若从这批衬衣中抽检件，估计其中的次品有多少件？ 变式 1（2024秋· 大竹校级期末） 个不透明的盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件．将这些产品混匀后，随机摸出一件，记录后再放回盒子中．不断重复这一过程，已知一共摸了次，其中摸到不合格产品次，请你估计这个盒子中不合格产品和合格产品的数量． 变式 2（25-26·山东月考） 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． ． 题型 2：列表法求概率（两步试验） 题型解读：适用于两步随机试验（放回或不放回），重点是准确列出所有等可能结果，避免重复或遗漏，注意 “有序” 与 “无序” 的区别（如摸球问题中，放回试验有序，不放回试验可有序也可无序，结果数一致）。 典例（2024秋· 南充期末） 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有张外观相同的卡片，分别写有材料：《论语》，材料：《三字经》，材料：《弟子规》，材料：《千字文》．活动规则如下：将张卡片洗匀后，小明先从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回洗匀，小亮再从盒子中任意抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读． （1）小明抽到的诵读材料是材料：《论语》的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率．． 变式 1（25秋·合肥月考） 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、、，它们除数字外都相同． 随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字的概率为_； 小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标．请用树状图或表格列出点所有可能的坐标，并求出点在坐标轴上的概率． 变式 2（2025秋·合肥月考） 中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九班根据活动分别制作了编号为、、、的张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从张卡片中随机抽取张，该班的小军再从余下的张卡片中随机抽取张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 题型 3：树状图法求概率（三步及以上试验） 题型解读：适用于三步及以上随机试验，或两步但结果较多的试验，树状图能清晰呈现每一步的所有结果，避免遗漏，解题时需按 “步骤分层” 绘制，准确数出总结果数和目标结果数。 典例（2024秋·安徽期末） 有部影片在“六一”档上映，分别是《哆啦梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》．小红和小海两名同学分别从《哆啦梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》三部电影中随机选择一部观看，将《哆啦梦：大雄的地球交响乐》表示为 ，《维和防暴队》表示为 ，《猩球崛起：新世界》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小红同学的选择为，小海同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小红和小海两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 变式 1（2024-2025秋·郑州月考） 阅读对话，解答问题： 试用树状图或列表法写出满足关于的方程的所有等可能结果； 在中方程有两个实数根的概率是______． 变式 2（2024秋·甘肃月考） 秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，源于西府，成熟于秦，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷和刘爷爷需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，其余均相同．卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“．龙凤呈祥”的概率是______； （2）若李爷爷先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的张卡片中随机抽取一张，求他们两人中，有一个人抽中“．周仁回府”这个曲目的概率． 题型 4：概率与公平性判断 题型解读：核心是计算游戏双方的获胜概率，比较概率是否相等判断公平性；若不公平，需修改规则（如调整得分、改变试验条件、增加 / 减少结果数）使双方概率相等，注意规则的合理性与可操作性。 典例（2024秋·甘肃月考） 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的个白球个红球和个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 变式 1（2025秋·成都月考） 张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的张卡片中任意抽取张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为_______； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 变式 2（2024秋·临沂月考） 如图,有四张背面完全相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀. 从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率; 小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用表示). 题型 5：概率的实际应用（决策与模拟） 题型解读：结合生活实际场景（如抽奖、摸奖、决策选择），运用概率知识分析方案的合理性，或通过模拟试验估计复杂事件的概率，重点是将实际问题转化为概率模型，遵循 “建模→计算→决策” 的流程。 典例（25-26·广东期中） 你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗？某人设摊“摸彩”，他手拿一个布袋，内装除颜色外完全相同的个红球和个绿球，每次让顾客“免费”从袋中摸出个球，输赢的规则是： 所摸球的颜色 顾客的收益 个全红 得元 红绿 得元 红绿 失元 红绿 得元 个全绿 得元 若你摸出了红绿则失元，而对于其他四种情况，你均能赢钱．乍一看，此规则似乎对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客大多数都免不了以失败告终，而且试的次数越多，输的也就越多．假如种情况是等可能的，则赢的机会为，输的机会仅为，平均每摸次有次都应该赢，但游戏的妙处就在于这种情况的发生不是等可能的．经过计算可知，这种情况出现的概率如下： 所摸球的颜色 出现的概率 个全红 红绿 红绿 红绿 个全绿 从表中可以看出，要想摸出“个全红”或“个全绿”的概率仅为，而摸到红绿的概率为，即有超过一半的机会失元． 请你计算这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益． 变式 1（2024秋·达州月考） 体育组为了了解九年级名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段 频数 频率 表中的数   ，     ； 估算该九年级排球垫球测试结果小于的人数； 排球垫球测试结果小于的为不达标，若不达标的人中有个男生，个女生，现从这人中随机选出人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的人为一个男生一个女生的概率． 变式 2（2024秋·湖南期末） 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得元、元，元的购物券，（转盘被等分成个扇形），已知甲顾客购物元． 他获得购物券的概率是多少？ 他得到元、元、元购物券的概率分别是多少？ 若要让获得元购物券的概率变为，则转盘的颜色部分怎样修改？（直接写出修改方案即可）． 题型 6 ：概率与统计综合 题型解读：结合条形图、扇形图、统计表等统计图表，提取数据信息（如各类别数量、比例），分析事件类型（等可能、互斥等），计算相关事件的概率，考查统计与概率的综合运用能力，关键是准确解读图表数据。 典例（2025秋·四川模拟） 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 变式 1（2024秋·辽宁期末） 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，_____，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 变式 2（2024-2025秋·山西期末） 为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校个班中随机抽取了、、、共个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）张老师所调查的个班共征集到作品______件，在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为，则班的扇形周心角的度数为______，并补全条形统计图； （2）如果全校参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章《概率的进一步认识》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第三章《概率的进一步认识》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “概率的本质” 为起点，按 “直观认知（频率与概率的关系）→核心求法（列表法→树状图法）→性质应用（等可能事件、公平性判断）→实际应用（决策、模拟试验）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦 “基础概念（频率、概率、等可能事件）、关键性质（频率稳定性、概率公式）、两种核心求法（适用场景与步骤）、实际应用模型” 四大模块，通过对比梳理（如列表法与树状图法的适用情况）、重点标注（如放回与不放回试验的区别），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定扎实的理论基础。 一、回归课本 本本章以 “频率的稳定性” 为核心，从实际试验出发，逐步过渡到理论概率的计算，构建概率的认识与应用体系，具体内容分为五个模块： 概率的直观认识：通过重复试验（如掷硬币、摸球）体会频率的稳定性，理解频率与概率的区别与联系，明确概率的定义（表示随机事件发生可能性大小的数值）。 概率的核心求法：探究两种核心计算方法，从简单到复杂逐步推进：列表法（适用于两步随机试验）、树状图法（适用于两步及以上随机试验），掌握每种方法的步骤与适用场景，区分 “放回试验” 与 “不放回试验” 的差异。 概率的关键性质：理解等可能事件的条件（所有结果有限且每个结果发生的可能性相同），掌握等可能事件概率公式；了解互斥事件的概率加法原则（不能同时发生的事件，概率相加）。 概率的实际应用：结合生活实际，运用概率知识判断游戏公平性、制定决策、通过模拟试验估计复杂事件的概率，掌握 “分析事件→选择方法→计算概率→得出结论” 的完整解题流程。 综合拓展：结合统计图表（条形图、扇形图）提取信息，计算概率，提升综合运用能力，为后续学习奠定基础。 二、知识点梳理 （1） 核心概念 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与总次数 n 的比值（即\(\frac{m}{n}\)），叫做事件 A 发生的频率。 概率：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记作 P (A)，取值范围为0 ≤P(A) ≤1（必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0）。 等可能事件：如果一个随机试验中，所有可能出现的结果是有限的，且每个结果出现的可能性相等，这样的事件叫做等可能事件。 互斥事件：不能同时发生的两个事件（如 “掷骰子得到奇数” 与 “掷骰子得到偶数”）。 放回试验：试验中取出的物品后放回原总体，总体数量不变（如连续掷两次硬币、有放回摸球）。 不放回试验：试验中取出的物品不再放回原总体，总体数量减少（如无放回摸球、抽卡片）。 （2） 关键性质 频率的稳定性：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率。 等可能事件概率公式：若一个试验共有 n 个等可能结果，事件 A 包含其中 k 个结果，则\(P(A) =。 互斥事件概率加法：若事件 A 与事件 B 互斥，则P(A或B) = P(A) + P(B）。 对立事件概率：若事件 A 与事件 B 是对立事件（即必有一个发生且不能同时发生），则P(A) + P(B) = 1。 （3） 核心解法 方法 适用情况 核心步骤 频率估计概率 无法直接计算理论概率（如复杂随机事件），需通过试验估计 1. 设计合理试验方案； 2. 重复试验 n 次，记录事件 A 发生的频数 m； 3. 计算频率； 4. 用频率估计事件 A 的概率 列表法 两步随机试验（放回或不放回），结果较少 1. 确定试验的两个步骤（如第一步摸球、第二步摸球）；2. 列表格：横向表示第一步所有结果，纵向表示第二步所有结果； 3.标出表格中所有等可能结果（共 n 个）； 4. 找出事件 A 包含的结果数 k； 5. 代入公式P(A) = 计算 树状图法 两步及以上随机试验（放回或不放回），结果较多 1. 确定试验步骤（如第一步、第二步、第三步）； 2. 按步骤画树状图，每个步骤列出所有可能结果； 3. 数出所有等可能结果总数 n； 4. 找出事件 A 包含的结果数 k； 5. 代入公式\(P(A) = 计算 （四）实际应用 游戏公平性判断：计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平；若不公平，可通过调整规则（如改变得分、修改试验条件）使概率相等。 决策问题：比较不同方案的概率（如中奖概率、成功概率），选择概率更优的方案。 模拟试验：用替代物（如卡片、骰子）模拟实际试验，估计复杂事件的概率（如估计池塘中鱼的数量）。 统计与概率综合：从条形图、扇形图、统计表中提取数据，计算相关事件的概率。 三、考点考题汇编 考点一：频率与概率的关系 核心考向：考查频率的计算、频率稳定性的理解、用频率估计概率，注意 “大量重复试验” 是频率趋近于概率的前提。 典例1（2024·秋· 渠县期末） 在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 详解：箱子中原有红球个，蓝球个，放入个蓝球后，蓝球数量为个， 则球的总数量为（个）， 摸到蓝球的频率稳定在，即摸到蓝球的概率为， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 的值为． 变式练习1（2024-25· 云南模拟） 九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A.抛一枚硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率 C.将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率 D.从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰 详解：．抛一枚硬币，正面朝上的概率是，故选项不符合题意； ．掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率为，即频率在附近波动，故选项符合题意； ．将一副新的扑克牌（张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率为，故选项不符合题意； ．从装有个红球和个白球（个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率为，故选项不符合题意． 故选：． 变式练习2（2025· 云南模拟） 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的_____0.78_____，____158______． （2）“摸到白球”的概率的估计值是_____0.8_____（精确到）． （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 详解：（1），； 故答案为：；； （2）解：由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 摸到白球的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（个）； 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 考点二：用列表法或树状图法求概率 核心考向：考查两步及以上随机试验的概率计算，区分放回与不放回试验，能根据试验步骤选择合适的方法（列表法或树状图法），准确列出所有等可能结果。 典例1（2025· 成都一模） 有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． 随机抽取一张卡片，求抽到数字“”的概率； 随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的数字之积是负数的概率． 详解：随机抽取一张卡片，求抽到数字“”的概率为； 画树状图如图： 共有个等可能的结果，两次抽到的数字之积是负数的结果有个， 两次抽到的数字之积是负数的概率为． 变式练习1（2024-2025上· 山东期末） 有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率． 详解：将第张画片的上半部分记为“上”，下半部分记为“下”，依此类准，可列表如下： 从第二个盒子摸出的结果 从第一个盒子摸出的结果 下 下 下 上 （上，下） （上，下） （上，下） 上 （上，下） （上，下） （上，下） 上 （上，下） （上，下） （上，下） 总共有种等可能的结果，其中能拼成原来的一幅画的结果有种：（上，下）（上，下）（上，下），所以所求的概率为：． 变式练习2（2024-2025上· 漳州期末） 为了解我国的数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《缀术》（依次用表示）四本书中随机抽取两本进行阅读． 请利用画树状图或列 详解：所有可能的结果如下∶ 共有 种等可能结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的有 种结果， 答： 小明抽取两本书中有《九章算术》的概率为． 考点三：概率的实际应用（公平性判断） 核心考向：考查游戏公平性的判断，能计算双方获胜的概率，若概率不相等，会修改规则使游戏公平，重点关注 “规则与概率的匹配”。 典例1（2025· 淮阴月考） 华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设张小图片分别用表示） （1）小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； （2）若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 详解：（1）小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， 小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用，，，表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：    共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， 小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， 小辰获胜的概率为； ， 游戏不公平． 变式练习1（2024秋· 辽阳期末） 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的个白球个红球和个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 详解：（1）游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有种可能，摸到“一白一红”有种，摸到“一红一蓝”的情况有种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 变式练习2（2025秋· 福建月考） 小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，个面上的点数分别为，，，，，)的试验， （1）他们共做了次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为”的频率是 . ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 详解：（1）①； ②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率． （2）小亮获胜的可能性大，理由如下． 列表如下： 第枚骰子掷得第枚的点数骰子掷得的点数 由表格可知,所有可能的结果共有种，每一种结果出现的可能性相同． 所以(点数之和超过)，(点数之和不超过)． 因为，所以小亮获胜的可能性大． 考点四：概率与统计综合 核心考向：结合条形图、扇形图、统计表提取数据，分析事件类型，计算概率，考查数据解读与概率计算的综合能力。 典例1（2024秋· 陕西期末） 年月日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩分 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 说明：七年级抽取的名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为，，，，，，，．根据以上信息，解答下列问题． （1）____16___；___19____； （2）_______（填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了名学生，其中有名男生和名女生，若从这名学生中随机选取名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的名学生恰好是名男生的概率． 详解：（1）将七年级抽取的名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名的成绩为， ． 由八年级抽取的名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为的人数最多， ． 故答案为：，； （2）由图表信息可知， 七年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为， ． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； （3）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有种等可能的结果，其中所选取的名学生恰好是两名男生的结果有种， 所选取的名学生恰好是名男生的概率为． 变式练习1（2023-2024秋· 绵阳月考） 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，____8__，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 详解：（1））％人， ， ， （2），（人） 这次活动能顺利开展. （3）树状图如下： 由此可见，共有种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有种 ． 变式练习2（2024秋· 达州期末） 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 详解（1）由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） （2）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为，，，，，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种， 小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 四、题型汇总 题型 1：频率估计概率 题型解读：考查频率的计算、频率稳定性的理解，以及用频率估计概率的实际应用，关键是明确 “大量重复试验” 的意义，区分频率与概率的概念（频率是试验结果，概率是理论值）。 典例（2025秋· 渠县月考） 下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数 合格数 合格率 （1）__0.956____； （2）估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为____0.95__；（精确到） （3）若从这批衬衣中抽检件，估计其中的次品有多少件？ 详解：（1）， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， 抽合格品的频率为：， 估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检件，估计其中的次品有件． 变式 1（2024秋· 大竹校级期末） 个不透明的盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件．将这些产品混匀后，随机摸出一件，记录后再放回盒子中．不断重复这一过程，已知一共摸了次，其中摸到不合格产品次，请你估计这个盒子中不合格产品和合格产品的数量． 详解：摸了次，其中摸到不合格产品次， 摸到不合格产品的频率为， 盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件， 盒子中不合格产品的数量约为件， 盒子中合格产品的数量约为件． 变式 2（25-26·山东月考） 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 详解：（1）由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ； （2）解：； （3）解：设西游记为，红楼梦为，水浒传为，三国演义为， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有种， ． 题型 2：列表法求概率（两步试验） 题型解读：适用于两步随机试验（放回或不放回），重点是准确列出所有等可能结果，避免重复或遗漏，注意 “有序” 与 “无序” 的区别（如摸球问题中，放回试验有序，不放回试验可有序也可无序，结果数一致）。 典例（2024秋· 南充期末） 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有张外观相同的卡片，分别写有材料：《论语》，材料：《三字经》，材料：《弟子规》，材料：《千字文》．活动规则如下：将张卡片洗匀后，小明先从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回洗匀，小亮再从盒子中任意抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读． （1）小明抽到的诵读材料是材料：《论语》的概率是_______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小亮抽取的诵读材料不同的概率． 【解答】（1）解：诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， 小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 小明小亮 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． ． 变式 1（25秋·合肥月考） 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、、，它们除数字外都相同． 随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字的概率为_； 小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标．请用树状图或表格列出点所有可能的坐标，并求出点在坐标轴上的概率． 【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸出的球为标有数字的结果有种， 摸出的球为标有数字的概率为； （2）列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果． 其中点在坐标轴上的结果有：，，，，，共种， 点在坐标轴上的概率为． 变式 2（2025秋·合肥月考） 中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九班根据活动分别制作了编号为、、、的张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从张卡片中随机抽取张，该班的小军再从余下的张卡片中随机抽取张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 【解答】（1）解：从张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为． 题型 3：树状图法求概率（三步及以上试验） 题型解读：适用于三步及以上随机试验，或两步但结果较多的试验，树状图能清晰呈现每一步的所有结果，避免遗漏，解题时需按 “步骤分层” 绘制，准确数出总结果数和目标结果数。 典例（2024秋·安徽期末） 有部影片在“六一”档上映，分别是《哆啦梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》．小红和小海两名同学分别从《哆啦梦：大雄的地球交响乐》《维和防暴队》《猩球崛起：新世界》三部电影中随机选择一部观看，将《哆啦梦：大雄的地球交响乐》表示为 ，《维和防暴队》表示为 ，《猩球崛起：新世界》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小红同学的选择为，小海同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小红和小海两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【解答】 （1）解：画树状图如下： 由树状图可知，有种等可能结果，分别是： ． （2）解：由的树状图可以看出，小红和小海两名同学选择观看同一部电影的情况有种，即(小红和小海两名同学恰好选择观看同一部电影) ． 变式 1（2024-2025秋·郑州月考） 阅读对话，解答问题： 试用树状图或列表法写出满足关于的方程的所有等可能结果； 在中方程有两个实数根的概率是_______． 【解答】（1）如图所示： 所有可能结果为：，；，； ，； ，； ，； ，； ①；②；③；④；⑤，⑥； 对于①；对于②；对于③；对于④；对于⑤；对于⑥； 共种情况，其中①②④个方程有解，所以概率为． 故答案为：． 变式 2（2024秋·甘肃月考） 秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，源于西府，成熟于秦，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷和刘爷爷需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，其余均相同．卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“．龙凤呈祥”的概率是___ ____； （2）若李爷爷先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的张卡片中随机抽取一张，求他们两人中，有一个人抽中“．周仁回府”这个曲目的概率． 【解答】（1）解：李爷爷从张卡片中随机抽取一张，卡片正面是“．龙凤呈祥”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中李爷爷和刘爷爷两人中，有一个人抽中“．周仁回府”这个曲目的结果有种， 他们两人中，有一个人抽中“．周仁回府”这个曲目的概率为． 题型 4：概率与公平性判断 题型解读：核心是计算游戏双方的获胜概率，比较概率是否相等判断公平性；若不公平，需修改规则（如调整得分、改变试验条件、增加 / 减少结果数）使双方概率相等，注意规则的合理性与可操作性。 典例（2024秋·甘肃月考） 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的个白球个红球和个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 详解：（1）游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有种可能，摸到“一白一红”有种，摸到“一红一蓝”的情况有种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 变式 1（2025秋·成都月考） 张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的张卡片中任意抽取张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为_______； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 详解：（1）张相同的卡片上分别写有数字、、、， 第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有种 第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； （2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 变式 2（2024秋·临沂月考） 如图,有四张背面完全相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀. 从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率; 小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用表示). 详解 ：共有张牌，正面是中心对称图形的情况有种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是； 列表得： 共产生种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有种， （两张都是轴对称图形），因此这个游戏公平． 题型 5：概率的实际应用（决策与模拟） 题型解读：结合生活实际场景（如抽奖、摸奖、决策选择），运用概率知识分析方案的合理性，或通过模拟试验估计复杂事件的概率，重点是将实际问题转化为概率模型，遵循 “建模→计算→决策” 的流程。 典例（25-26·广东期中） 你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗？某人设摊“摸彩”，他手拿一个布袋，内装除颜色外完全相同的个红球和个绿球，每次让顾客“免费”从袋中摸出个球，输赢的规则是： 所摸球的颜色 顾客的收益 个全红 得元 红绿 得元 红绿 失元 红绿 得元 个全绿 得元 若你摸出了红绿则失元，而对于其他四种情况，你均能赢钱．乍一看，此规则似乎对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客大多数都免不了以失败告终，而且试的次数越多，输的也就越多．假如种情况是等可能的，则赢的机会为，输的机会仅为，平均每摸次有次都应该赢，但游戏的妙处就在于这种情况的发生不是等可能的．经过计算可知，这种情况出现的概率如下： 所摸球的颜色 出现的概率 个全红 红绿 红绿 红绿 个全绿 从表中可以看出，要想摸出“个全红”或“个全绿”的概率仅为，而摸到红绿的概率为，即有超过一半的机会失元． 请你计算这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益． 详解：根据题意，这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益为： （元）． 变式 1（2024秋·达州月考） 体育组为了了解九年级名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段 频数 频率 表中的数   ，     ； 估算该九年级排球垫球测试结果小于的人数； 排球垫球测试结果小于的为不达标，若不达标的人中有个男生，个女生，现从这人中随机选出人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的人为一个男生一个女生的概率． 详解：抽查了九年级学生数：（人）， 的人数：（人），即， 的人数：（人）， ， 故答案为，； 该九年级排球垫球测试结果小于的人数（人）， 答：该九年级排球垫球测试结果小于的人数为人； 列表如下 ． 变式 2（2024秋·湖南期末） 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得元、元，元的购物券，（转盘被等分成个扇形），已知甲顾客购物元． 他获得购物券的概率是多少？ 他得到元、元、元购物券的概率分别是多少？ 若要让获得元购物券的概率变为，则转盘的颜色部分怎样修改？（直接写出修改方案即可）． 详解：共有种等可能事件，其中满足条件的有种， （中奖）， 由题意得：共有种等可能结果，其中获元购物券的有种，获得元购物券的有种，获得元购物券的有种， （获得元）； （获得元）； （获得元）； 因为要让获得元购物券的概率变为，所以直接将个无色扇形涂为黄色． 题型 6 ：概率与统计综合 题型解读：结合条形图、扇形图、统计表等统计图表，提取数据信息（如各类别数量、比例），分析事件类型（等可能、互斥等），计算相关事件的概率，考查统计与概率的综合运用能力，关键是准确解读图表数据。 典例（2025秋·四川模拟） 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 详解：（1）由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） （2）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为，，，，，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种， 小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 变式 1（2024秋·辽宁期末） 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：积极参与，一定参与，可以参与，不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图. 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 合计 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有名学生，如果“不参与”的人数不超过人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ （3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果. 详解：（1））％人， ， ， （2），（人） 这次活动能顺利开展. （3）树状图如下： 由此可见，共有种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有种 ． 变式 2（2024-2025秋·山西期末） 为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校个班中随机抽取了、、、共个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）张老师所调查的个班共征集到作品_______件，在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为，则班的扇形周心角的度数为_______，并补全条形统计图； （2）如果全校参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 详解：（1）根据题意，调查的总件数（件）； 班的作品数为（件）， 班的扇形周心角的度数为：， 补全条形统计图为： （2）设男生为，女生为，画树状图如下： 一共有种等可能性，一男一女有种等可能性， 所以恰好抽中一男一女的概率． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $