专题08 概率的进一步认识（期末复习知识清单，4知识8题型1易错）九年级数学上学期北师大版

该初中数学“概率的进一步认识”专题清单，系统涵盖求概率的直接列举法、列表法、树状图法，树状图法的步骤用法注意要点，用频率估计概率的概念及适用条件，以及频率与概率的区别联系，搭建从基础方法到实际应用的递进式学习支架。 清单通过8大题型分类（如由频率估计概率、已知概率求数量、树状图法在卡片转盘等情境应用）和易错点专项（有放回与无放回实验辨析）构建知识体系，例题与变式题结合。突出树状图步骤规范培养推理意识，频率与概率表格对比培养数据观念，既便于学生自主梳理知识，也为教师教学提供精准的重难点突破支持。

专题08 概率的进一步认识（4知识&8题型&1易错） 【清单01】求概率的方法 （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 【清单02】树状图法 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【清单03】用频率估计概率 ·概念：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝ ． ·适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【清单04】频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型一】由频率估计概率 【例1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色再放回，如此重复450次，摸出白色乒乓球50次，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个盒子中装有个白球和个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），月月想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型二】已知概率求数量 【例2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（   ） A．20支 B．12支 C．10支 D．8支 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为 ． 【变式2-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干个黑球，将袋子的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，发现模到白球的频率约为，估计袋子中黑球有 个． 【题型三】列表或树状图法求概率——类卡片或扑克牌问题 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着学期末的临近，数学孟老师为了鼓励同学们，准备了四张外观完全相同的卡片，卡片上分别标有“逢考”“必过”“一举”“夺魁”四个词语，然后将卡片放入一个不透明的袋中摇匀． (1)小明从袋中随机抽取一张卡片，则抽到卡片上写着词语“夺魁”的概率为_____； (2)小颖从袋中的四张卡片里随机抽出两张，请用列表或画树状图的方法求出两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的概率． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）陕西红色革命遗址中具有代表性的五处分别是：A．西安市红色旅游系列景区，B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址，C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址，D．汉中市川陕革命纪念馆，E．延安革命纪念地系列景区．小英和小阳想利用周末时间，各自从这五处革命遗址中选择一处进行参观，并相互分享观后感，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的五张卡片(卡片除正面内容不同外，其余均相同)，将卡片背面朝上洗匀后，小英先从中随机抽取一张，不放回，小阳再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己抽到的卡片为准进行参观． (1)小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为____________； (2)请用列表法或画树状图的方法，求小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝，并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．现将正面写有四个节目内容的卡片背面切上放在桌面上，四张卡片除正面所写的内容不同外，其他都相同． (1)乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是______； (2)乐乐先从四张卡片中随机抽取一张，不放回，作为第一个节目，接着再从剩下的三张卡片中随机抽取一张作为第二个节目，请用列表或画树状图的方法求第二个节目是“D弹古筝”的概率． 【例4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组准备从位群众中随机选择位进行采访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众均来自甲片区的概率． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动：音乐社团、体育社团、美术社团、电脑编程社团（要求每人必须参加且只参加一类活动）． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是_______； (2)现从“美术社团”里表现优秀的甲、乙，丙、丁四名同学中随机选取两名参加绘画比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中乙和丙两名同学的概率． 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）有四张扑克牌分别为红桃3、红桃4、红桃5和红桃7，这四张扑克牌的背面完全相同，将四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)甲从四张扑克牌中随机抽取一张，则甲抽到的扑克牌上的数字是奇数的概率为______； (2)甲先从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张，若将甲抽取到的数字作为一个两位数的十位，乙抽取到的数字作为这个两位数的个位，用画树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字组成的这个两位数是偶数的概率． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3，4，5，5． (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是_____； (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 【题型四】列表或树状图法求概率——摸球问题 【例6】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，请你估计口袋中红球的个数． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 【题型五】列表或树状图法求概率——转盘问题 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成3等份．甲、乙两人利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次的数字大于第二次的数字，则甲胜；否则乙胜，你认为这个游戏规则对两人公平吗？说明理由（请用列表或画树状图的方法）． 【变式7-1】数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． (1)转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； (2)若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【题型六】列表或树状图法求概率——新情景问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为了提升新教材的应用效果，某市教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子（每个方框代表一把椅子），横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座，根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)梁老师选择座位的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【变式8-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． (1)学生坐在②号座位的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【变式8-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【题型一】在用表格或树状图法求事件概率时，不能确定有放回实验还是无放回实验 ·方法点拨： 有放回：①题中给出“有放回的”条件；②转盘问题； 无放回：①题中给出“不放回”三个字；②任意选两个（一般为“四选二”或“五选二”）；③从剩下的选一个。 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． (1)若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； (2)若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，热闹非凡．游客既能体验游园的乐趣，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌，探索悠久的人文底蕴．据统计《盛唐密盒》的问题可分为：．诗词类；．历史类；．百科类；．科技类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同，且同一类问题可以多次被提问． (1)若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是_____． (2)用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率的进一步认识（4知识&8题型&1易错） 【清单01】求概率的方法 （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 【清单02】树状图法 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【清单03】用频率估计概率 ·概念：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． ·适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【清单04】频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型一】由频率估计概率 【例1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色再放回，如此重复450次，摸出白色乒乓球50次，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由题意可知： 摸一次可以摸出白色乒乓球的频率为，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为， 故选：． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个盒子中装有个白球和个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解答本题的关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），月月想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估算概率，概率公式的运用，根据题意可得长方形的面积为，频率稳定在，根据概率的计算方法即可求解，理解题意，掌握概率公式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积为， 根据图可得，频率稳定在， 设不规程图形的面积为， ∴， 解得：， 故选：． 【题型二】已知概率求数量 【例2】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率、利用概率求数量等知识点，正确根据频率估计概率成为解题的关键． 根据频率估计概率可得摸到黑球的概率为，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计摸到黑球的概率为，估计其中黑球的个数为个． 故选C． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（   ） A．20支 B．12支 C．10支 D．8支 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设盒子中蓝笔有x支，根据题意可知从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子中蓝笔有x支， ∵通过多次重复试验发现摸出黑笔的频率稳定在， ∴从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴盒子中蓝笔有支． 故选：D 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为 ． 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：∵观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， ∴摸到白球的概率会接近， ∵袋中白球的个数为6， ∴估计袋子中共有个球， ∴可估计袋子中黑球的个数为个， 故答案为：24个． 【变式2-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干个黑球，将袋子的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，发现模到白球的频率约为，估计袋子中黑球有 个． 【答案】14 【难度】0.94 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设黑球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以估计袋子里黑球的个数是14个． 故答案为：14． 【题型三】列表或树状图法求概率——类卡片或扑克牌问题 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着学期末的临近，数学孟老师为了鼓励同学们，准备了四张外观完全相同的卡片，卡片上分别标有“逢考”“必过”“一举”“夺魁”四个词语，然后将卡片放入一个不透明的袋中摇匀． (1)小明从袋中随机抽取一张卡片，则抽到卡片上写着词语“夺魁”的概率为_____； (2)小颖从袋中的四张卡片里随机抽出两张，请用列表或画树状图的方法求出两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的概率． 【答案】(1) (2)两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的概率为 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片上写着词语“夺魁”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片上写着词语“夺魁”的结果有1种， ∴抽到卡片上写着词语“夺魁”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 逢考 必过 一举 夺魁 逢考 （逢考，必过） （逢考，一举） （逢考，夺魁） 必过 （必过，逢考） （必过，一举） （必过，夺魁） 一举 （一举，逢考） （一举，必过） （一举，夺魁） 夺魁 （夺魁，逢考） （夺魁，必过） （夺魁，一举） 共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的结果有：（一举，夺魁），（夺魁，一举），共2种， ∴两张卡片上的词语能组成“一举夺魁”的概率为． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）陕西红色革命遗址中具有代表性的五处分别是：A．西安市红色旅游系列景区，B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址，C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址，D．汉中市川陕革命纪念馆，E．延安革命纪念地系列景区．小英和小阳想利用周末时间，各自从这五处革命遗址中选择一处进行参观，并相互分享观后感，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的五张卡片(卡片除正面内容不同外，其余均相同)，将卡片背面朝上洗匀后，小英先从中随机抽取一张，不放回，小阳再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己抽到的卡片为准进行参观． (1)小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为____________； (2)请用列表法或画树状图的方法，求小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种， ∴小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为 故答案为：． （2）列表如下： 共有20种等可能的结果，其中小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果有12种， ∴小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率为 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝，并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．现将正面写有四个节目内容的卡片背面切上放在桌面上，四张卡片除正面所写的内容不同外，其他都相同． (1)乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是______； (2)乐乐先从四张卡片中随机抽取一张，不放回，作为第一个节目，接着再从剩下的三张卡片中随机抽取一张作为第二个节目，请用列表或画树状图的方法求第二个节目是“D弹古筝”的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：乐乐随机从四张卡片中抽取一张作为第一个节目，则他抽取的节目是“C说相声”的概率是； （2）解：列表得： 第一次第二次 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中第二个节目是“D弹古筝”的情况有种， ∴第二个节目是“D弹古筝”的概率为． 【例4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组准备从位群众中随机选择位进行采访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众均来自甲片区的概率． 【答案】选择的群众均来自甲片区的概率为． 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，画树状图得到所有等可能的情况以及符合要求的情况数，利用概率公式进行计算即求解，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 共有 种等可能的结果，选择的群众均来自甲片区的有种情况，   ∴选择的群众均来自甲片区的概率为． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动：音乐社团、体育社团、美术社团、电脑编程社团（要求每人必须参加且只参加一类活动）． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是_______； (2)现从“美术社团”里表现优秀的甲、乙，丙、丁四名同学中随机选取两名参加绘画比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中乙和丙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了概率公式和用列表法与树状图法求概率． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中乙和丙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）由于体育社团是五类社团之一，所以小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中乙和丙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中乙和丙两名同学的概率． 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）有四张扑克牌分别为红桃3、红桃4、红桃5和红桃7，这四张扑克牌的背面完全相同，将四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)甲从四张扑克牌中随机抽取一张，则甲抽到的扑克牌上的数字是奇数的概率为______； (2)甲先从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张，若将甲抽取到的数字作为一个两位数的十位，乙抽取到的数字作为这个两位数的个位，用画树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字组成的这个两位数是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率的计算，用画树状图或列表的方法求概率，熟练掌握用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键. （1）用概率计算公式计算即可； （2）列表，得到所有等可能的两位数，再计算两位数是偶数的概率即可. 【详解】（1）解：甲抽到的扑克牌上的数字是奇数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲乙 3 4 5 7 3 33 43 53 73 4 34 44 54 74 5 35 45 55 75 7 37 47 57 77 一共有16种等可能的情况，其中甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字组成的这个两位数是偶数的情况有4种， 甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字组成的这个两位数是偶数的概率有． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3，4，5，5． (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是_____； (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是； （2）解：方法一：列表如下： 3 4 5 5 3 - 12 15 15 4 12 - 20 20 5 15 20 - 25 5 15 20 25 - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 方法二：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率为． 【题型四】列表或树状图法求概率——摸球问题 【例6】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，请你估计口袋中红球的个数． 【答案】18个 【难度】0.94 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用白球个数除以摸到白球的频率，可估计出球的总数，再减去白球个数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计口袋中红球的个数为（个）． 答：估计口袋中红球的个数为18个． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的布袋中装有6个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球记下颜色后放回并搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在，估计布袋中黑球的个数． 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率；在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设袋中黑球的个数为， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计布袋中黑球的个数为． 【题型五】列表或树状图法求概率——转盘问题 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成3等份．甲、乙两人利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次的数字大于第二次的数字，则甲胜；否则乙胜，你认为这个游戏规则对两人公平吗？说明理由（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】游戏不公平，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的应用，画出树状图分别求出甲乙两人获胜的概率即可求解． 【详解】解：不公平，画树状图如下： 由树状图可得：所有等可能的结果有9种，第一次的数字大于第二次的数字的情况有3种，所以甲胜的概率为：，乙胜的概率为：，而， 所以游戏不公平． 【变式7-1】数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． (1)转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； (2)若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率． （1）先求出转盘红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分， ∴转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为：． （2）转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， 同时转动盘和盘，配成紫色的概率是 【题型六】列表或树状图法求概率——新情景问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为了提升新教材的应用效果，某市教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子（每个方框代表一把椅子），横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座，根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)梁老师选择座位的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中梁老师选择座位的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位老师刚好坐在同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中梁老师选择座位的结果有1种， ∴梁老师选择座位的概率是． 故答案为：； （2）列表如下： 梁老师杨老师                                              由表格可知，共有9种等可能的结果，其中这两位老师刚好坐在同一列的结果有，，共2种， ∴这两位老师刚好坐在同一列的概率为． 【变式8-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． (1)学生坐在②号座位的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率． （2）解：列表如图： 学生B        学生 ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况， 故学生和学生入座后相邻的概率． 【变式8-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，概率所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有3种，其中小灯泡发光的情况只有一种，求出小灯泡发光的概率即可； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合， 其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合， 则（小灯泡发光）； 故答案为：； （2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， 能够让灯泡发光的概率为：． 【题型一】在用表格或树状图法求事件概率时，不能确定有放回实验还是无放回实验 ·方法点拨： 有放回：①题中给出“有放回的”条件；②转盘问题； 无放回：①题中给出“不放回”三个字；②任意选两个（一般为“四选二”或“五选二”）；③从剩下的选一个。 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． (1)若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； (2)若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的定义直接进行计算即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：一共有4名学生，其中女有2名，所以从中随机选中女生的文章的概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率为． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）西安大唐不夜城出了新玩法——《盛唐密盒》，由两位历史人物“房玄龄”和“杜如晦”，带着游客花样互动，热闹非凡．游客既能体验游园的乐趣，也能梦回大唐，亲身感受繁华的盛唐风貌，探索悠久的人文底蕴．据统计《盛唐密盒》的问题可分为：．诗词类；．历史类；．百科类；．科技类，两位历史人物随机选取四类问题提问，每类问题被问到的可能性相同，且同一类问题可以多次被提问． (1)若小颖参加这个节目，第一个问题被问到科技类问题的概率是_____． (2)用树状图或列表的方法，求小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵小颖参加这个节目，第一个问题可能被问到的问题共有种等可能的结果， ∴第一个问题被问到科技类问题的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中前两个问题均没有被问到百科类问题的结果有种， ∴小颖前两个问题均没有被问到百科类问题的概率为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $